集合与简易逻辑

集合与简易逻辑
⼀、集合
集合的概念及表⽰⽅法
A.集合的相关概念
集合：某些指定的对象集中在⼀起就成为⼀个集合。

构成集合的这些对象成为集合的元素。

不含任何元素的集合叫做空集，记作$ \phi $。

B.集合中元素的性质
确定性:设A是⼀个给定的集合,x是某⼀个具体的对象,则x或者是集合A的元素或者不是,两种情况必须满⾜⼀种。

互异性：⼀个给定的集合中，各个元素互不相同。

⽆序性：⼀个给定的集合中，元素之间不存在排列顺序的关系。

C.集合的表⽰⽅法
列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，卸载⼤括号内。

描述法：把集合中的元素的公共属性特征描述出来，写在⼤括号内。

图⽰法
D.集合间的关系
全集:含有我们所研究的各个集合的全部元素的集合。

⼦集：对于两个集合A与B，若A中任何⼀个元素都是集合B的元素，则集合A是B的⼀个⼦集，记作$ A \subseteq B$。

真⼦集：对于两个集合A与B，若A是B的⼦集且B中⾄少存在⼀个元素不属于集合A,则称集合A是B的真⼦集。

由n个元素组成的集合，其⼦集的个数为$ 2^n $个，真⼦集的个数为$ 2^{n-1} $个。

（其中减去的那个⼦集是是全部元素构成的。

）
E.集合与元素之间的关系
F.集合与元素间的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作$ a\in A $,否则$ a \notin A$
集合的运算
⼆、简易逻辑
逻辑联结词：“或（$ \vee $）”“且（$ \wedge $）”“⾮（$ \neg$）”
命题
A.命题的概念
可以判断真假的语句称为命题。

不含逻辑联结词的命题称为简单命题；含有的称为复合命题。

B.四种命题
原命题：若p,则q。

若x>3,则x>4。

否命题：若$ \neg p$,则$\neg q$。

若x<=3,则x<=4。

逆命题：若q,则p。

若x>4,则x>3。

逆否命题：若$\neg q$,则$\neg p$。

若x<=4,则x<=3。

C.四种命题之间的相互关系
原命题与其逆否命题的真假性⼀致。

(三)全称命题与特称命题
A.全称量词
逻辑中“对所有的”，“对任意⼀个”，⽤符号$ \forall $表⽰。

B.存在量词
逻辑中“存在⼀个”，“⾄少⼀个”，⽤符号$ \exists $表⽰。

C.全称命题
含有全称量词的命题。

D.特称命题
含有存在量词的命题。

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

【例】（2012年下半年-初级中学-选择题）设${a_n}$为数列，对于“存在正数M，对任意正整数n，有$|a_n|$<=M”的否定(即数列{$a_n$}⽆界)是()
[答案]对任意正数M,存在正整数n,有$|a_n|$>M
(四)充分条件与必要条件
1. 前=>后:充分条件;
2. 后=>前:必要条件;
3. 前=>后,后推不到前:充分不必要条件;
4. 后=>前,前推不到后:必要不充分条件;
5. 既不从分也不必要。

【例】（2015年上半年-⾼级中学-选择题$\forall a,b\in$R,"a<b"是“ $a^3|b| $<$b^3|b|$”成⽴的（）
答案充分必要条件
[解析]：1. 当a>=0,b>0时，前推得到后，后也推得到前；2.当a<=0,b>0,前推得到后，后也推得到前;3.当a<0,b<0时，前推得到
后，后也推得到前。