2023-2024学年贵州省镇远县高二下学期3月月考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年贵州省镇远县高二下册3月月考数学
模拟试题
一、单选题
1．下列四个数中，属于数列{(1)}n n +中的一项是（）
A ．380
B ．392
C ．321
D ．232
【正确答案】A
【分析】分别令选项中的数值等于(1)n n +，求出n 是自然数时的这一项，即可得到答案．【详解】由题意，令(1)380n n +=，解得19n =，所以A 是正确的；
再令()()()1392,1321,1232n n n n n n +=+=+=均无整数解，所以B 、C 、D 都不正确，故选：A ．
2．抛物线24y x =的准线方程为（）
A ．=1x -
B ．12x =-
C ．18
y =-
D ．116
y =-
【正确答案】D
【分析】把抛物线方程化成标准形式，直接写出准线方程作答.
【详解】抛物线24y x =的标准方程为2
1
4
x y =
，所以所求准线方程为116y =-.
故选：D
3．在等差数列{}n a 中，若3a 和9a 是方程2410x x -+=的两实数根，则6a =（）
A ．1
2
B ．1
C ．2
D ．4
【正确答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】因为3a 和9a 是方程2410x x -+=的两实数根，所以394a a +=，因为{}n a 是等差数列，所以6396422a a a a =⇒==+.故选：C.
4．过点(2,1)的等轴双曲线的标准方程为（
）
A ．2
21
33
y x -=B ．22
1
55x y -=C ．22
1
33y x -=D ．22
1
55
y x -=【正确答案】A
【分析】先设出双曲线的方程为22x y λ-=（0λ≠），代点进行求解即可.【详解】设双曲线的方程为22x y λ-=（0λ≠），代入点(2,1)，得3λ=，
故所求双曲线的方程为223x y -=，
其标准方程为22133
y x -=．
故选：A ．
5．设{n a }为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（）
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
【正确答案】B
【详解】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d 表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s 10=s 11，得到a 1+a 2+…+a 10=a 1+a 2+…+a 10+a 11即a 11=0，所以a 1-2（11-1）=0，解得a 1=20．故选B 等差数列的性质
点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题
6．点P 在直线3450x y --=上，O 为原点，则OP 的最小值是（）A ．1
B ．2
C
D ．
【正确答案】A
【分析】利用垂线段的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】原点O 到直线3450x y --=1=，
根据垂线段的性质可知OP 的最小值是1，故选：A
7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=
（
）
A ．0
B ．1
C ．
32
D ．2
【正确答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ，
所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--
，所以，14422AE BD ⋅=-+=
.
故选：
D
8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知36S =，915S =，则12S =（）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．22
【正确答案】B
【分析】根据等差数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为d ，因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，
所以由36S =，915S =，可得111191332692119981529a a d a d d ⎧⎧
=+⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+⨯⨯==-⎪⎪⎩⎩
，
所以12191112121118929S ⎛⎫
=⨯
+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
故选：B 二、多选题
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，44a =，则（）
A ．48
n a n =-B ．24
n a n =-C ．2
26n S n n
=-D ．2
3n S n n
=-【正确答案】BD
【分析】由已知，结合等差数列前n 项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前n 项和公式即可.
【详解】由题意，314
133034S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12
2a d =-⎧⎨=⎩，
所以2(1)224n a n n =-+-⋅=-，()
221232
n n n S n n n -=-+=-.故选：BD
10．已知双曲线22
:1812
y x C -=，则下列说法正确的是（
）
A ．双曲线C
的实轴长为B ．双曲线C
的焦距为C ．双曲线C
D ．双曲线C
的渐近线方程为y x =【正确答案】BC
【分析】根据双曲线方程求解出a ，b ，c ，由双曲线的性质逐一判断．
【详解】双曲线22
:1812
y x C -=
，则a b c ===，
双曲线C
的实轴长为2a =A 错误；双曲线C
的焦距为2c =B 正确；双曲线C
的离心率c e a =
C 正确；双曲线C
的渐近线方程为a y x b =±=±，故D 错误．故选：BC ．
11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，(1,2,2)AB =-
，(0,1,3)AD = ，(2,1,0)AP = 下
列结论中正确的是（
）
A ．AP AB
⊥B ．存在实数λ，使AP BD λ=C ．AP
不是平面ABCD 的法向量
D ．四边形ABCD
【正确答案】ACD
【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量的性质，结合法向量的性质、空间向量模的公式、空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】A ：1221200AP AB AP AB AP AB ⋅=-⨯+⨯+⨯=⇒⊥⇒⊥
，所以本选项结论正确；
B ：()1,1,1BD AD AB =-=-
，假设存在存在实数λ，使AP BD λ=，
()()22,1,01,1,110AP BD λ
λλλλ=⎧⎪
=⇒=-⇒=-⎨⎪=⎩
，显然方程组无实数解，因此假设不成立，所以不存在
实数λ，使AP BD λ=，因此本选项说法不正确；
C ：0211301,AP A
D AP AB ⋅=⨯+⨯+⨯=⇒ 不互相垂直，所以AP
不是平面ABCD 的法向量，因此
本选项说法正确；
D ：
cos ,15
AB AD AB AD AB AD
⋅〈〉==⋅
，
所以sin ,AB AD 〈〉==
四边形ABCD
的面积为：
12sin ,2
15
AB AD AB AD ⨯⋅⋅⋅〈〉⨯
，因此本选项说法正确，故选：ACD
关键点睛：利用空间向量夹角公式，结合三角形面积公式是解题的关键12．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（）
A ．圆C
的半径为16
B ．圆
C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()2
2
621x y -+-=相外切
D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是
()()
19,2426,21⋃--【正确答案】BC
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1
【详解】A:将一般式配方可得：()()2
2
3216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为
=B 对；
C:5,C E CE r r =
==+外切，C 对；
D:圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为
111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之:()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；
故选：BC 三、填空题
13．若圆22220x y ax by +--=被直线1x y +=平分，则a b +=_________．【正确答案】1
【分析】根据圆的性质，结合配方法、代入法进行求解即可.【详解】由()()2
2
2222220x y ax by x a y b a b +--=⇒-+-=+，所以该圆的圆心坐标为(),a b ，
因为圆22220x y ax by +--=被直线1x y +=平分，所以圆心(),a b 在直线1x y +=上，因此有1a b +=，故1
14．已知直线1:20l ax y -+=与2:2(3)10l x a y +-+=垂直，则=a _____________．【正确答案】3
-【分析】由题可得2(3)0a a --=，进而即得.【详解】由题可得2(3)0a a --=，解得3a =-．故答案为.3
-15．已知向量(2,4,)m a = ，(1,,3)n b =- ，若n m λ=
，则||n m -= ___________.
【正确答案】【分析】根据n m λ= ，列出1243b a λ
λλ-=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m - 的值.
【详解】 n m λ= ，故1243b a λλλ-=⎧⎪
=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪
⎩
，故(2,4,6)m =- ，(1,2,3)n =-- ，
(3,6,9)n m -=--
，则||3n m -=
故16．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○○●○○○○○●○○○○○○○●○○○○○○○○○●…若依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前420个圆中●的个数是___________．【正确答案】20
【分析】根据圆中的●将圆分组，然后归纳出结论．【详解】将圆分组：第一组：○●，有2个圆；第二组：○○○●，有4个圆；第三组：○○○○○●，有6个圆；…
每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n 组圆的总个数为
2462(1)
n S n n n =++++=+ 令420n S =，解得20n =，即包含了20整组，即有20个黑圆．故20.四、解答题
17．在等差数列{}n a 中，已知公差3d =-，34a =-．
(1)判断12-和58-是否是数列{}n a 中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．【正确答案】(1)答案见解析(2)23
72
2
n n
-+【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可．（2）利用等差数列的前n 项和公式求解即可．
【详解】（1） 等差数列{}n a 中，公差3d =-，34a =-，
142(3)a ∴-=+⨯-，12a ∴=，2(1)(3)53n a n n ∴=+-⨯-=-，
令5312n -=-，17
3
n ∴=
，12∴-不是数列{}n a 中的项，令5358n -=-，21n ∴=，58∴-是数列{}n a 中的项，是第21项（2）2(253)37
222
n n n S n n
+-=
=-+18．已知圆22
1:(3)(2)1C x y ++-=与圆2C 关于直线4210x y -+=对称．
(1)求圆2C 的方程；
(2)求直线280x y --=被圆2C 截得的弦AB 的长．【正确答案】(1)()2
2(3)11x y -++=
(2)5
【分析】（1）根据题意利用垂直平分得出圆C 2的圆心坐标的方程组，即可写出圆的方程（2）利用垂径定理直接求解
【详解】（1）设2(,)C a b 则由题意得2
132324210
22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得31a b =⎧⎨=-⎩，
∴圆1C 的方程为()22(3)11x y -++=．
（2）圆心2(3,1)C -
到直线的距离d =
280x y --=被圆2C 截得的弦
AB =19．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11A B 上的一点，且112A E EB =，点F 是棱11A D 上的一点，且112A F FD =
．
(1)求异面直线1AD 与CF 所成角的余弦值；(2)求直线BD 到平面CEF 的距离．【正确答案】
(1)19
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可.【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()13,0,0,0,0,3,0,3,0,1,0,3,3,2,3A D C F E ，
()()13,0,3,1,3,3AD CF =-=-
，所以
111cos ,19AD CF AD CF AD CF
⋅〈〉===⋅
，
所以异面直线1AD 与CF
（2）连接11D B ，显然11//D B DB ，因为112A E EB =，112A F FD =．所以11//D B EF ，于是//DB EF ，因为BD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//BD 平面CEF ，
因此直线BD 到平面CEF 的距离就是点D 到平面CEF 的距离，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，
()()1,3,3,3,1,3CF CE =-=-
，
则有()0330
3,3,43300n CF x y z n x y z n CE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩
，()0,3,0DC = ，9
cos ,DC n DC n DC n DC n
⋅〈〉==⋅⋅
点D 到平面CEF 的距离为：
()
2
22
9
934cos ,3434
334DC DC n n
⋅〈〉==
=
=
-++ 20．已知在等差数列{}n a 中，148a a +=，2315a a ⋅=．(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最值．【正确答案】(1)21n a n =-，或29n a n =-+(2)答案见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据等差数列前n 项和，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由()()1114112313882215151a a d a a d a d a d a a a ++=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨++=⋅==⎩⎩⎩
，或127d a =-⎧⎨=⎩，当1
21d a =⎧⎨=⎩时，()11221n a n n =+-⋅=-，当1
27d a =-⎧⎨=⎩时，()()71229n a n n =+-⋅-=-+，即21n a n =-，或29n a n =-+；
（2）当21n a n =-时，()21212
n n n S n +-==，当1n =时，n S 有最小值211=，没有最大值；
当29n a n =-+时，()()27294162n n n n S -+==--+，
当4n =时，n S 有最大值16，没有最小值.
21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为(9,0)P -．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作斜率为4直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，求AB ．
【正确答案】(1)212y x
=(2)51
4
【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，因为F 关于抛物线C 的准线的对称点为(9,0)P -，所以有()29612222
p p p p y x ⎛⎫--=---⇒=⇒= ⎪⎝⎭；（2）直线l 的方程为()43y x =-，与抛物线方程联立，得
()224342736012y x x x y x
⎧=-⇒-+=⎨=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，因此有12274
x x +=，
则有()()12122751336644
AB AF BF x x x x =+=--+--=++=+=关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键
22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
2,3⎛ ⎝⎭
．(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线:1l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，
垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅ 为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【正确答案】(1)22164
x y +=(2)存在定点1(0,)4P ，定值为6316
-【分析】（1
）根据题意得,a b ==，将点代入方程即可解决；
（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅ 222
292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决
【详解】（1
）由题知，,c a b a ===，所以椭圆C 为2222132x y c c +=
，由点⎛ ⎝
⎭在椭圆上得2242133c c +=解得22c =，故椭圆方程为22
164
x y +=（2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由22
1641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+>所以121222
69,2323k x x x x k k +=-
=-++，所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA
⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅ 1122(,)(,)
x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)
x x kx t kx t =++-+-22
1212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-
222296(1)()(1)()(1)2323k k k t t k k
=+-+-⋅-+-++222
2
92(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以22
31292(1)32
t t --+-=，解得14t =，所以存在定点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅ 为定值6316-.。