北师大版(2019)高中数学选择性必修1第2章1.1椭圆及其标准方程
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于是有 =
−
= −
令 = ，则 = − ,即 = −
解：因为 |PF1 | =
所以： +
x+c
2
2
+ 2 +
化简①，移项后，得
+ y 2 |2 | =
−
x+c
2
2
x−c
+ 2 = 2
+ y 2 = 2 −
02
寻找生活中相关椭圆的历史文化，并
记录一篇不少于五百字的资料。
感谢
聆听
解：因为△ABC的周长为10，且|BC|=4，
02
所以|AB|+|AC|=6，且|AB|+|AC|>|BC|
03
根据椭圆的定义可知，△ABC的定点A
的轨迹是以B，C为焦点，焦距长为4的
椭圆
“蛋壳屋”是一群坐落在江
西某森林中的椭圆形度假
小屋
二：椭圆的标准方程
化简求曲
线方程
设点坐标
建立直角
坐标系
列出等式
x
由椭圆的定义可知 = 2，
2 =
5
3 2
5
3 2
2
2
( + 2) +(− ) + ( − 2) +(− )
2
2
2
2
= 2 10
所以 = 10
所以 2 = 2 − 2 = 10 − 4 = 6
2
2
因此所求椭圆的标准方程为： +
=1
10 6
（方法二）
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
F1
F2
P1
线段F 1 F 2 的垂直平分线MN也是椭圆的对称轴。
线段F 1 F 2 的中点O是椭圆的对称中心。
01
椭圆是轴对称图形，
都是它的对称轴；
02
椭圆也是中心对称图形，
是它的对称中
心。
实战应用
例1：已知△ABC的周长为10，且|BC|=4，则△ABC
的定点A的轨迹是什么？并说明理由。
01
⑤
②
2 2
+ 2 = 1(＞＞0)
2
y
P
表示焦点在轴上，
O
F1
F2
x 焦点坐标为F1(-c,0）,F2(c,0)的椭圆
y
x
思考：焦点在y轴上，你能否建立其标准方程？
y
y
x
F2 (0 , c)
P
O
x
F1 (0,-c)
y2 x2
2 1
2
a
b
a b 0
x2 y2
2 1
2
a b
焦点坐标
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
P
O
F1
x
y 2 x2
+ 2 = 1 a > b > 0
2
a b
F1 0,- c ，F2 0,c
2 = 2 + 2
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
课后作业
01
课本 50 页练习 1-5 题
2023年5月17日10时49分，
我国在西昌卫星发射中心用
长征三号乙运载火箭，成功
发射第五十六颗北斗导航卫
星。该卫星属地球静止轨道
卫星，是我国北斗三号工程
的首颗备份卫星。
椭圆
2.1.1
椭圆及其标准方程
高中数学北师大版
选择性必修一
探究一：椭圆的定义
圆：平面内到一个定点的
距离等于定长（大于0）
的点的轨迹是圆。
设椭圆的焦距 = ( > ) ,椭圆上任意一点到
两个焦点F1,F2的距离之和为( > ) 。
椭圆与直线F1F2相交于点A1,A2的，与线段F1F2的垂
直平分线相交于B1,B2
根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得
+ = 且 = 所以 = =
把细绳的两端拉开一段距离，分
别固定在图板的两点F1和F2，
套上铅笔，移动笔尖,画出的轨迹
是什么曲线？ 椭圆
定义
1. 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |）的点
的集合（或轨迹）叫椭圆。
a) 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
b) 两个焦点之间的距离|F1F2 |叫做焦距。
2 2
+ 2 = 1(＞＞0)
2
因为椭圆的焦点坐标是 (−2,0), (2,0)
所以 = 2
从而 2 − 2 = 2 = 4
①
又因为点（ ， − ）在椭圆上，
25 9
所以 42 + 42 = 1(＞＞0)
2
2
由①②解得 = 10， = 6
2 2
所以椭圆的标准方程为 10 + 6 = 1
➢ 椭圆是否具有对称性？椭圆的对称轴？
设点P为椭圆上任意一点，
P
根据椭圆的定义可知|PF 1 |+|PF 2 |=2a
(a为＞0的常数）
设点P 1 为点P关于直线F 1 F 2 的对称点，此
时可以发现|P 1 F 1 |+|P 1 F 2 |=2a，这说明P 1 也
在椭圆上，
直线F 1 F 2 是椭圆的对称轴。
2
a
b
y2 x2
2 1
2
a
b
a b 0
椭圆的
a b 0
标准方程
实战应用
1.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0）、（2，0），并经过（ ，
−
）,
求它的标准方程。
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
y
2 2
+ 2 = 1(＞＞0)
2
P
F1
F2
②两边平方，整理得
⇒ 2 − = − 2 + 2 ③
③两边再平方，整理得
⇒ 2 − c 2 2 + 2 y 2 = 2 2 − c 2
2
+ y2
①
x−c
2
+ y2
④
2
2
④两边同时除以2 2 − c 2 得 ⇒ 2 + 2
=1
2
−
2 2
将 2 = 2 − 2 代入上式，得 2 + 2 = 1(＞＞0)
②
待
定
系
数
法
求椭圆的标准方程的步骤：
✓ 首先要判断焦点位置，设出标准方程
✓ 根据椭圆定义或待定系数法求 、
说一说本节课你
学到了哪些呢？
课堂小结
课堂小结
定 义
|PF1 |+|PF2|=2（2>2c>0）
y
y
P
图 形
F2
F1
O F2
x
标准方程
x2 y2
+ 2 = 1 a > b > 0
−
= −
令 = ，则 = − ,即 = −
解：因为 |PF1 | =
所以： +
x+c
2
2
+ 2 +
化简①，移项后，得
+ y 2 |2 | =
−
x+c
2
2
x−c
+ 2 = 2
+ y 2 = 2 −
02
寻找生活中相关椭圆的历史文化，并
记录一篇不少于五百字的资料。
感谢
聆听
解：因为△ABC的周长为10，且|BC|=4，
02
所以|AB|+|AC|=6，且|AB|+|AC|>|BC|
03
根据椭圆的定义可知，△ABC的定点A
的轨迹是以B，C为焦点，焦距长为4的
椭圆
“蛋壳屋”是一群坐落在江
西某森林中的椭圆形度假
小屋
二：椭圆的标准方程
化简求曲
线方程
设点坐标
建立直角
坐标系
列出等式
x
由椭圆的定义可知 = 2，
2 =
5
3 2
5
3 2
2
2
( + 2) +(− ) + ( − 2) +(− )
2
2
2
2
= 2 10
所以 = 10
所以 2 = 2 − 2 = 10 − 4 = 6
2
2
因此所求椭圆的标准方程为： +
=1
10 6
（方法二）
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
F1
F2
P1
线段F 1 F 2 的垂直平分线MN也是椭圆的对称轴。
线段F 1 F 2 的中点O是椭圆的对称中心。
01
椭圆是轴对称图形，
都是它的对称轴；
02
椭圆也是中心对称图形，
是它的对称中
心。
实战应用
例1：已知△ABC的周长为10，且|BC|=4，则△ABC
的定点A的轨迹是什么？并说明理由。
01
⑤
②
2 2
+ 2 = 1(＞＞0)
2
y
P
表示焦点在轴上，
O
F1
F2
x 焦点坐标为F1(-c,0）,F2(c,0)的椭圆
y
x
思考：焦点在y轴上，你能否建立其标准方程？
y
y
x
F2 (0 , c)
P
O
x
F1 (0,-c)
y2 x2
2 1
2
a
b
a b 0
x2 y2
2 1
2
a b
焦点坐标
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
P
O
F1
x
y 2 x2
+ 2 = 1 a > b > 0
2
a b
F1 0,- c ，F2 0,c
2 = 2 + 2
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
课后作业
01
课本 50 页练习 1-5 题
2023年5月17日10时49分，
我国在西昌卫星发射中心用
长征三号乙运载火箭，成功
发射第五十六颗北斗导航卫
星。该卫星属地球静止轨道
卫星，是我国北斗三号工程
的首颗备份卫星。
椭圆
2.1.1
椭圆及其标准方程
高中数学北师大版
选择性必修一
探究一：椭圆的定义
圆：平面内到一个定点的
距离等于定长（大于0）
的点的轨迹是圆。
设椭圆的焦距 = ( > ) ,椭圆上任意一点到
两个焦点F1,F2的距离之和为( > ) 。
椭圆与直线F1F2相交于点A1,A2的，与线段F1F2的垂
直平分线相交于B1,B2
根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得
+ = 且 = 所以 = =
把细绳的两端拉开一段距离，分
别固定在图板的两点F1和F2，
套上铅笔，移动笔尖,画出的轨迹
是什么曲线？ 椭圆
定义
1. 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |）的点
的集合（或轨迹）叫椭圆。
a) 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
b) 两个焦点之间的距离|F1F2 |叫做焦距。
2 2
+ 2 = 1(＞＞0)
2
因为椭圆的焦点坐标是 (−2,0), (2,0)
所以 = 2
从而 2 − 2 = 2 = 4
①
又因为点（ ， − ）在椭圆上，
25 9
所以 42 + 42 = 1(＞＞0)
2
2
由①②解得 = 10， = 6
2 2
所以椭圆的标准方程为 10 + 6 = 1
➢ 椭圆是否具有对称性？椭圆的对称轴？
设点P为椭圆上任意一点，
P
根据椭圆的定义可知|PF 1 |+|PF 2 |=2a
(a为＞0的常数）
设点P 1 为点P关于直线F 1 F 2 的对称点，此
时可以发现|P 1 F 1 |+|P 1 F 2 |=2a，这说明P 1 也
在椭圆上，
直线F 1 F 2 是椭圆的对称轴。
2
a
b
y2 x2
2 1
2
a
b
a b 0
椭圆的
a b 0
标准方程
实战应用
1.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0）、（2，0），并经过（ ，
−
）,
求它的标准方程。
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
y
2 2
+ 2 = 1(＞＞0)
2
P
F1
F2
②两边平方，整理得
⇒ 2 − = − 2 + 2 ③
③两边再平方，整理得
⇒ 2 − c 2 2 + 2 y 2 = 2 2 − c 2
2
+ y2
①
x−c
2
+ y2
④
2
2
④两边同时除以2 2 − c 2 得 ⇒ 2 + 2
=1
2
−
2 2
将 2 = 2 − 2 代入上式，得 2 + 2 = 1(＞＞0)
②
待
定
系
数
法
求椭圆的标准方程的步骤：
✓ 首先要判断焦点位置，设出标准方程
✓ 根据椭圆定义或待定系数法求 、
说一说本节课你
学到了哪些呢？
课堂小结
课堂小结
定 义
|PF1 |+|PF2|=2（2>2c>0）
y
y
P
图 形
F2
F1
O F2
x
标准方程
x2 y2
+ 2 = 1 a > b > 0