标题-2018-2019学年高中新创新一轮复习文数通用版：第六章 第二节 等差数列及其前n项和
第6章 §6.2 等差数列--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第六章§6.2 等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为_______________________ .(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝ .2同一个常数d a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)2.等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ .(2)前n 项和公式：S n ＝ 或S n ＝ .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则.(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为的等差数列.a 1＋(n －1)d (n －m )d a k ＋a l ＝a m ＋a n md(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)a n.(6)等差数列{a n}的前n项和为S n，为等差数列.1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d ＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(4)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列.( )√√×√教材改编题1.已知等差数列{a n}中，a2＝3，前5项和S5＝10，则数列{a n}的公差为√设等差数列{a n}的公差为d，∵S5＝5a3＝10，∴a3＝a2＋d＝2，又∵a2＝3，∴d＝－1.90 2.在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a5＝_____.3.已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝126______.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型例1 (1)(多选)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则下列选项正确的是A.a 2＋a 3＝0B.a n ＝2n －5C.S n ＝n (n －4)D.d ＝－2√题型一等差数列基本量的运算√√∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②∴a n＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；(2)(2022·内蒙古模拟)已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于√A.13B.14C.15D.16教师备选1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝5，S4＝24，则a9等于√A.－5B.－7C.－9D.－11∵a3＝5，S4＝24，∴a1＋2d＝5,4a1＋6d＝24，解得a1＝9，d＝－2，∴a n＝11－2n，∴a9＝11－2×9＝－7.∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，a n，S n，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1 (1)(多选)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3＋a6＝24，S6＝48，则下列正确的是√√A.a1＝－2B.a1＝2C.d＝4D.d＝－4(2)(2020·全国Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，25则S10＝______.设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.题型二等差数列的判定与证明例2 (2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，①②⇒③.②③⇒①.所以a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{a n}是等差数列.教师备选(2022·烟台模拟)已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n－1＋1(n≥2，n∈N*)，记b n＝log2(a n＋1).(1)判断{b n}是否为等差数列，并说明理由；{b n}是等差数列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，当n≥2时，b n－b n－1＝log2(a n＋1)－log2(a n－1＋1)∴{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)求数列{a n }的通项公式.2nb 由(1)知，b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＋1＝＝2n ，∴a n ＝2n －1.判断数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一常数.(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足a n＝pn＋q(p，q为常数).(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足S n＝An2＋Bn(A，B为常数).跟踪训练2 已知数列{a n}满足a1＝1，且na n＋1－(n＋1)a n＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；由题意可得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.命题点1 等差数列项的性质例3 (1)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 3＋a 4等于A.6B.7C.8D.9√题型三等差数列的性质因为2a n＝a n－1＋a n＋1，所以{a n}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＋a4＝3＋4＝7.(2)(2022·宁波模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于√A.225B.250C.270D.300等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30，命题点2 等差数列前n项和的性质例4 (1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于√A.110B.150C.210D.280因为等差数列{a n}的前n项和为S n，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列.故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.1.若等差数列{a n }的前15项和S 15＝30，则2a 5－a 6－a 10＋a 14等于A.2B.3C.4D.5√教师备选∵S 15＝30，∴ (a 1＋a 15)＝30，∴a 1＋a 15＝4，∴2a 8＝4，∴a 8＝2.∴2a 5－a 6－a 10＋a 14＝a 4＋a 6－a 6－a 10＋a 14＝a 4－a 10＋a 14＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝ 2.√∴S2 023＝2 023×2＝4 046.(1)项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1).②S2n－1＝(2n－1)a n.③依次k项和成等差数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列.√跟踪训练3 (1)(2021·北京){a n }和{b n }是两个等差数列，其中 (1≤k ≤5)为常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3等于A.64B.128C.256D.512√设等差数列{a n}的公差为d，K E S H I J I N G L I A N 课时精练1.(2022·芜湖模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＝30，a 4＝11，则{a n }的公差为A.－2B.2C.－3D.3基础保分练√设公差为d ，因为a 3＋a 9＝2a 6＝30，2.(2022·莆田模拟)已知等差数列{a n}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9－a11的值为√A.－3B.3C.－12D.12由等差中项的性质可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3.3.(2022·铁岭模拟)中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是√由题设知在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3.4.(2022·山东省实验中学模拟)已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为√A.28B.29C.30D.31设等差数列{a n}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为a n＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝a n＋1，所以a n＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.5.(多选)等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有√√A.a7B.a8C.S15D.S16由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第六章 数列6-2
第六章
数列
§6.2 等差数列及其前n项和
考纲展示► 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关 知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
考点 1
等差数列的基本运算
1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义
∴a7＝a1＋6d＝10＋6×(－2)＝－2.
[点石成金]
等差数列运算的解题技巧
技巧 1：巧用基本量 a1 和 d 求解． 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到代换作用， 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量， 用它们表示已知和未知是常用 方法． 技巧 2：巧借方程思想求解． 在等差数列中，已知五个基本量 a1，d，n，an，S n 中，知三 即可求二，数列的基本运算实质是基本量的运算．要注意方程思 想的应用．
整除的数．
知三求二． 等差数列中，有五个基本量，a1，d ，n，an，Sn，这五个
前 n 项和公式 联系起来，如果已 通项公式 ，_________________ 基本量通过___________
知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其 间主要是通过方程思想，列方程组求解．
[典题 1]
解析：由 an＋1＝an＋2，知{an}为等差数列，其公差为 2，故 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)若数列{an}满足 a1＝1，an＋1－an＝n，则数列{an}的通项
nn－1 1＋ 公式为 an＝____________. 2
解析：由 an＋1－an＝n，得 a2－a1＝1，a3－a2＝2，„，an－ an － 1 ＝ n － 1 ， 各 式 相 加 ， 得 an － a1 ＝ 1 ＋ 2 ＋ „ ＋ n － 1 ＝ n－11＋n－1 nn－1 nn－1 ＝ ，故 an＝1＋ . 2 2 2
2018-2019学年高中新创新一轮复习英语译林版：选修6 Unit 4 高考试卷分块专练 含解析
选修6 Unit 4 高考试卷分块专练(安排3课时作业)练(一)阅读理解提速练(限时35分钟)第一节(共15小题；每小题2分，满分30分)A(2018·张家界模拟)Planning to go to a gym? If you are one ofthose who have spent many days planning to join a gym or to attendit regularly, then why not choose some home exercises? Here aresome home exercises without equipment.Jumping jacksThis one is the best home workout without weights, which is a great exercise that will work your hands and legs. Perform this exercise by standing with your feet placed together and arms at your sides. Now tuck in your abs (收腹) and jump by bending your knees. At the same time, move your feet apart as much as you can and raise your hands to bring into line with your shoulders. While you come back you must be in a starting position, feet together, hands at sides and knees bent. Y ou must land on your heels and again jump.JoggingJogging is one of the best home exercises without weights. You don't need to have a lawn or jogging track at home to perform this exercise. There are many benefits of jogging. It will work your entire legs. Moreover, it is a classic cardiovascular (心血管的) workout. Make sure you wear jogging footwear even if you are jogging at home to avoid any stress on your feet. Also, you can gradually increase the jogging time and speed.Rotating (旋转) exerciseStart by rotating your wrists, clockwise (顺时针方向地) and anticlockwise. Now, alternately rotate your feet in the same fashion. Now place both your hands on the shoulders and start rotating your shoulders clockwise and anticlockwise. Place an exercise mat and lie flat on your back. Now lift your left leg and rotate it clockwise; do not bend your knees. Now rest the left leg, lift your right leg and rotate it anticlockwise.It is necessary to set a perfect mood for exercise which will help you stick to the exercise routine and excitement. Make sure you wear proper exercise clothes to perform the workout with ease. Also, putting on your favorite music will make your exercise session more lively. If you get bored with exercises, just dance, after all it's also one of the best home exercises.语篇解读：本文介绍了几种在家锻炼的方法及具体步骤。
2018-2019学年高中新创新一轮复习文数江苏专版：课时
课时达标检测(五） 函数及其表示[练基础小题——强化运算能力]1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的序号是________．解析：①中的值域不对，②中的定义域错误，④不是函数的图象，由函数的定义可知③正确．答案：③2．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6.即函数f (x )的定义域为[－3,6)． 答案：[－3,6)3．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋1 4．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2 x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2-52b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，x ＞1，x ≠2，解得1＜x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．答案：(1,2)∪(2,10]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于________． 解析：f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 答案：33．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2. 答案：24．(2018·盐城检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么a ＝________，c ＝________.解析：因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4＜a ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16. 答案：16 605．(2018·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2(1－x )，x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________________．解析：f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1；当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 答案：5 ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x＝1，－x ，1x＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③ 7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－348．若函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋3的定义域为[－1,3]，则函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为________．解析：因为函数f (x )的定义域为[－1,3]，所以ax 2＋2bx ＋3≥0的解集为[－1,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－1＋3＝－2b a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以g (x )＝ln(3－2x －x 2)．由3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，即函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为(－3,1)． 答案：(－3,1)9．(2018·连云港中学模拟)已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎫38＋f ⎝⎛⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则不等式(x ＋1)f (x )＞2的解集是____________．解析：①当x ＞0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x ＞1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x ＜0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x ＜－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )＞2的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．答案：{x |x ＜－3或x ＞1} 二、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用(课件+讲义)第六章 第2节
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基础诊断
考点突破
[常用结论与微点提醒] 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数
列，且公差为p. 2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注
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基础诊断
考点突破
所以当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21n－2（n1－1）＝2n（－n－1 1）， 所以 an＋1＝2n（－n＋1 1），又 an＋1－an＝2n（－n＋1 1）－2n（－n－1 1）＝－2n1n＋1 1－n－1 1＝
1 n（n－1）（n＋1）.
所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列.
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基础诊断
考点突破
【迁移探究 2】 将本例条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12”改为“Sn(Sn－an)＋2an
＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解. (1)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0. ∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0， 即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0. 即S1n－Sn1－1＝12.又S11＝a11＝12. 故数列S1n是以首项为12，公差为12的等差数列.
C.36
D.27
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基础诊断
考点突破
解析 (1)依题意得 S11＝11（a12＋a11）＝11（a32＋a9）＝11×2 16＝88.
(2)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列. 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45. 答案 (1)A (2)B
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第六章 第四节 数列的综合问题
1 1 1 ＝ － ＝1－ n＋1 ，n∈N *. S1 Sn＋1 2 －1
[ 方法技巧]
用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直 到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
n n n＋ 1 2 1 － 2 3 1 － 3 3 7 2 n n ＋1 3 ＋…＋3 )＝ ＋ ＝2 ＋ － . 2 2 1－ 2 1－3
4.[考点二](2018· 山东省实验中学诊断性考试 )已知等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn，公比 q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2. (1)求数列{an}的通项公式； n (2)设 bn＝a ，求{bn}的前 n 项和 Tn. n 解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，
裂项相消求和
几种常见的裂项方式
数列(n 为正整数)
1 n n ＋ k
裂项方式 1 1 1 1 ＝kn－n＋k nn＋k 1 1 1 1 － ＝ 4n2－1 2 2n－1 2n＋1 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n
3.[考点一](2018· 安徽合肥模拟)已知数列{an}，{bn}满足 a1＝5， an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N *)，bn＝an－3n(n∈N *)． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：(1)∵an＝2an－1＋3n 1(n∈N *，n≥2)，∴an－3n＝2(an－1－
－
3n 1)，∴bn＝2bn－1(n∈N *，n≥2)．∵b1＝a1－3＝2≠0，
2018-2019学年高中语文 第六课 第二节 语言表达的十八般武艺--修辞手法学案 新人教版选修《
第二节语言表达的十八般武艺——修辞手法学习重点 1.认识、理解修辞的特点和类别。
2.学会正确使用修辞格。
思考：引子引用钱钟书的婉言拒绝说明了什么？答：________________________________________________________________________答案语言中恰当地运用修辞会起到意想不到的效果，它可以让枯燥的知识变得生动，让单调乏味的陈述变得异常吸引人，它可以让抽象的事理形象化，甚至可以以恰当的修辞来解决人际交往中存在的棘手问题。
阅读“广告修辞大擂台”，思考以下问题：1．修辞在广告中有何作用？答：________________________________________________________________________答案信息发达的现代社会，广告成了各种传媒中最常见的宣传形式，其自身也逐渐形成了一种特殊的文化。
广告语之所以丰富多彩，能够引起受众的注意，修辞手法起到了不可或缺的作用。
由广告语看修辞：当你看到“晶晶亮，透心凉”“万家乐，乐万家”等家喻户晓的广告语时，是否感到很亲切呢？想必大家的感受是一样的，亲切而难忘，究其原因，主要是这些广告语中运用了大量的修辞手法。
修辞手法就是修辞格。
它能修饰、调整语言，提高语言表达效果。
运用了修辞格的广告语形象、生动，让人过目、过耳均不忘。
广告语主要采用的修辞格有：双关、顶真、比喻、对偶、排比、夸张等。
2．在广告中运用修辞应注意什么？答：________________________________________________________________________答案在写广告语时，一定要注意创新，不能总是生搬硬套，人云亦云，这样的广告只会使人产生厌恶之感，而不会留下好的印象。
广告中的修辞运用得恰如其分，广告便会脍炙人口，反之，则会成为“败笔”。
因此，我们要学会使用修辞。
写广告时，在认识到修辞的有效性的同时，也要了解修辞运用中可能出现的问题：(1)修辞的目的是更有效地传达和沟通。
2018-2019学年高中新创新一轮复习文数江苏专版：第二
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . [例1] (1)(2018·苏北四市联考)y ＝ x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是________________．(2)(2018·连云港检测)函数y ＝sin x ＋tan x ＋π4的定义域是____________________．[解析](1)要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2＞0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，借助数轴可得2k π≤x ＜2k π＋π4或2k π＋π4＜x ≤2k π＋π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π，2k π＋π4∪2k π＋π4，2k π＋π，k ∈Z.[答案] (1)(－2,0)∪[1,2) (2)⎣⎡⎭⎫2k π，2k π＋π4∪⎝⎛⎦⎤2k π＋π4，2k π＋π，k ∈Z [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连结，而应该用并集符号“∪”连结．求抽象函数的定义域(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为____________．(2)(2018·苏州中学月考)函数f (2x －1)的定义域为(－1,5]，则函数y ＝f (|x －1|)的定义域是____________．[解析] (1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．(2)由题意得x ∈(1,5]，则2x －1∈(1,9]即外函数y ＝f (t )的定义域为(1,9]． 即1＜|x －1|≤9，解得－8≤x ＜0或2＜x ≤10， 所以函数y ＝f (|x －1|)的定义域是[－8,0)∪(2,10]． [答案] (1)[0,1) (2)[－8,0)∪(2,10] [易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] (2018·苏州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．[解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝m 2－4m ≤0， 解得0＜m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] [0,4][方法技巧] 解决已知定义域求参数问题的思路方法能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017·山东高考改编)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：[－2,1)2.[考点一](2018·江苏南京师范大学附中模拟)函数f (x )＝log 12(2x －3)的定义域是________．解析：由题意得log 12(2x －3)≥0，即0＜2x －3≤1，解得32＜x ≤2，则定义域是⎝⎛⎦⎤32，2. 答案：⎝⎛⎦⎤32，2 3.[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4.[考点二]若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________．解析：令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1,2 018]，可知1≤t ≤2 018.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 018，解得0≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[0，2017]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 017，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 017]．答案：[0,1)∪(1,2 017]5.[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为列表法、解析法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(2)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．3．函数的三种表示方法的优缺点[典例] (1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连结(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为_________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝____________________.(3)(2018·南通模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为____________________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．(3)用1x 代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)y ＝12x 3－12x 2－x (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，通过换元的方法可得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝____________________.解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x ＞0)． 答案：23x ＋13(x ＞0) 2．(2018·南通中学月考)函数f (x )满足2f (x )＋f (2－x )＝2x ，则f (x )＝____________________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (2－x )＝2x ，2f (2－x )＋f (x )＝2(2－x )，解得f (x )＝2x －43.答案：2x －433．(2018·如皋中学月考)已知f (sin x ＋cos x )＝cos 2x －π4，则f (x )的解析式为____________________．解析：设t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]，t 2＝1＋2sin x cos x ， cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin 2x ＝2sin x cos x ＝t 2－1， 所以f (t )＝t 2－1(－2≤t ≤2)，即f (x )＝x 2－1(－2≤x ≤2)． 答案：f (x )＝x 2－1(－2≤x ≤2)4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R .5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式．解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的解析表达式，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.[例1] (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.(2)(2018·启东中学检测)设函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )＋x ，且当0≤x ＜2时，f (x )＝[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，则f (5.5)＝________.(3)(2018·南通高三月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为________．[解析] (1)∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.(2)由题意当0≤x ＜2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ＜1，1，1≤x ＜2，由f (x ＋2)＝2f (x )＋x ，得f (5.5)＝2f (3.5)＋3.5＝2(2f (1.5)＋1.5)＋3.5＝4f (1.5)＋6.5＝4×1＋6.5＝10.5.(3)因为2＜log 25＜3，所以3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，则f (1＋log 25)＝f (1＋log 25＋1)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫122＋log 25＝14×⎝⎛⎭⎫12log 25＝14×15＝120.[答案] (1)9 (2)10.5 (3)120[方法技巧]分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．求参数或自变量的值或范围[例2] (1)(2018·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(3)(2018·阜宁中学高三月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞).若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．[解析] (1)f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，当a ＞0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1.(2)当x ＜1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x ＜1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.(3)因为f (2)＝4，若2∈(－∞，a )，则f (2)＝2，矛盾，所以2∈[a ，＋∞)，f (2)＝4成立所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]．[答案] (1)－1或2 (2)(－∞，8] (3)(－∞，2] [方法技巧]求分段函数自变量的值或范围的方法求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2，x ≤0，x 2，x ＞0，则f (f (－1))＝________.解析：由题意得f (－1)＝1－2－1＝12，则f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14.答案：142.[考点一]已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为________． 解析：f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋1＝－12. 答案：－123.[考点一]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝________.解析：由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a＝12.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x＋1，x ≤0，故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.答案：24.[考点二]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))＞3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ， 若f (f (1))＞3a 2，则9＋6a ＞3a 2，即a 2－2a －3＜0， 解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3)5.[考点一、二](2018·无锡月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x ＜2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.解析：当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2；当2－a ＜2，即a ＞0时，f (2－a )＝－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，舍去．∴f (a )＝－2. 答案：－26.[考点二]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的序号是________．解析：①中的值域不对，②中的定义域错误，④不是函数的图象，由函数的定义可知③正确．答案：③2．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6.即函数f (x )的定义域为[－3,6)． 答案：[－3,6)3．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋1 4．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，x ＞1，x ≠2，解得1＜x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．答案：(1,2)∪(2,10]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于________． 解析：f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3.答案：33．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2. 答案：24．(2018·盐城检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x ＜a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么a ＝________，c ＝________.解析：因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4＜a ，且c 4＝c2＝30.②联立①②解得c ＝60，a ＝16. 答案：16 605．(2018·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2(1－x )，x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________________．解析：f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1；当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 答案：5 ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x＝1，－x ，1x＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③ 7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－348．若函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋3的定义域为[－1,3]，则函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为________．解析：因为函数f (x )的定义域为[－1,3]，所以ax 2＋2bx ＋3≥0的解集为[－1,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－1＋3＝－2b a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以g (x )＝ln(3－2x －x 2)．由3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，即函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2)的定义域为(－3,1)． 答案：(－3,1)9．(2018·连云港中学模拟)已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则不等式(x ＋1)f (x )＞2的解集是____________．解析：①当x ＞0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x ＞1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x ＜0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x ＜－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )＞2的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．答案：{x |x ＜－3或x ＞1} 二、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．1．单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减；(2)若k ＞0，则kf (x )与f (x )单调性相同，若k ＜0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反； (4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1] (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的序号是________．①f (x )＝3－x ；②f (x )＝x 2－3x ； ③f (x )＝－1x ＋1；④f (x )＝－|x |. (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． [解析] (1)当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． (2)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] (1)③ (2)[3，＋∞) [易错提醒](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连结，也不能用“或”连结．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．函数单调性的应用应用(一) [例2] (1)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为____________． (2)(2017·天津高考改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．[解析] (1)由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c .(2)由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数． 因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0， 所以当x ＞0时，f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＞0. 又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 3＝log 28＞log 25.1＞log 24＝2＞20.8， 所以c ＞a ＞b .[答案] (1)b ＞a ＞c (2)c ＞a ＞b 应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________．[解析] 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.[答案] (8,9] [方法技巧]含“f ”号不等式的解法原不等式――→函数的性质f (g (x ))＞f (h (x ))――→函数的单调性去“f ”号，转化为“g (x )＞h (x )”型具体的不等式――→解不等式求得原不等式的解集[提醒] 上述g (x )与h (x )的值域应在外层函数f (x )的定义域内．应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述得－14≤a ≤0.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.[答案] (1)⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)(－∞，1]∪[4，＋∞) [易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.(2018·宜春模拟)函数f (x )＝log 3(3－4x ＋x )的单调递减区间为________． 解析：由3－4x ＋x 2＞0得x ＜1或x ＞3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．答案：(－∞，1)2.[考点二·应用(一)]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为________________．解析：由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π＞1，|b |＝(ln π)2＞|a |，|c |＝12ln π，且0＜12ln π＜|a |，故|b |＞|a |＞|c |＞0，∴f (|c |)＞f (|a |)＞f (|b |)，即f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：f (c )＞f (a )＞f (b )3.[考点二·应用(二)]已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________．解析：由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.答案：(－1,0)∪(0,1)4.[考点二·应用(三)]设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，因为函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1＞0，－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，a ≥1⇒a ≥1.答案：[1，＋∞)5.[考点一]用定义法讨论函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)的单调性．解：函数的定义域为{x |x ≠0}．任取x 1，x 2∈{x |x ≠0}，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1·x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 令x 1＝x 2＝x 0,1－ax 20＝0可得到x 0＝±a ，这样就把f (x )的定义域分为(－∞，－a ]，[－a ，0)，(0，a ]，[a ，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性． 若0＜x 1＜x 2≤a ，则x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜a ， 所以x 1x 2－a ＜0.所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1·x 2＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0，a ]上单调递减．同理可得，f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a ]上单调递增，在[－a ，0)上单调递减．故函数f (x )在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．突破点(二) 函数的最值(1)设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)．(2)设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．1．(1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值． 2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[典例] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， ∴原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，又∵t ≥0，∴y ≥14＋34＝1. 故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x ＝1时y 取最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2(x 2－x ＋1)＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝⎛⎭⎫x －122＋34. ∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴2＜2＋1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤2＋43＝103.故函数的值域为⎝⎛⎦⎤2，103. (3)当x ≤a 时，由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象．①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞(x 3－3x )max ， 所以a ＜－1.[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎤2，103 (3)①2 ②(－∞，－1) [方法技巧] 求函数最值的五种常用方法1．已知a ＞0，设函数f (x )＝2 0182 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________.解析：由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a＋1－22 018－a ＋1＝4 034.答案：4 0342．(2018·宜兴月考)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，且1－2＝13－2＝－1.∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案：63．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f (x )在区间[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：34．(2018·常州模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，785．(2017·浙江高考改编)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则关于M －m 的结果中，叙述正确的序号是________．①与a 有关，且与b 有关；②与a 有关，但与b 无关； ③与a 无关，且与b 无关；④与a 无关，但与b 有关． 解析：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， 当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；当－a2＜0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；当－a2＞1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 答案：②1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的序号是________． ①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1； ③y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；④y ＝x ＋1x .解析：函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数；y ＝－x ＋1与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是减函数；y ＝x ＋1x 在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．答案：①2．(2017·浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋4x －a ＋a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[1,4]，∴x ＋4x ∈[4,5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a ＞92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，解得a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，92 3．函数y ＝|x |(1－x )的单调增区间为________．解析：y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x ＜0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x ＜0.画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增．答案：⎣⎡⎦⎤0，12 4．(2018·扬州中学单元检测)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，且log 22＝1＝－2＋3，则h (x )max ＝h (2)＝1.答案：15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，12 [练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则f (－1)与f (3)的大小关系是________．解析：依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)＜f (1)＝f (3)．答案：f (－1)＜f (3)3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为________．解析：令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18.因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，34 4．(2018·宜兴第一中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )为R 上的单调递减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，2(a －2)≤⎝⎛⎭⎫122－1，解得a ≤138. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 5．(2018·淮安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.答案：(－2,1)6．(2018·连云港海州中学模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，∴a ＞0，∴0＜a ≤1.答案：(0,1]7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x ＞2(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x ＞2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a ＞1，∴a ∈(1,2]． 答案：(1,2]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－310．(2018·苏州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a ＜－2.答案：(－∞，－2) 二、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1＜x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a ＞0，x 2－x 1＞0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a， 当a ＞1时，a －1a ＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0＜a ＜1时，a －1a ＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数， ∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a ＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.1．函数的奇偶性(1)如果函数f (x )是奇函数，且在x ＝0上有意义，则f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．[例1] (1)f (x )＝x lg(x ＋x 2＋1)； (2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.[解] (1)∵x 2＋1＞|x |≥0，∴函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )lg(－x ＋(－x )2＋1) ＝－x lg(x 2＋1－x )＝x lg(x 2＋1＋x )＝f (x )， 即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当且仅当1＋x1－x ≥0时函数有意义，∴－1≤x ＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f (x )是非奇非偶函数． (3)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )， 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．(4)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，解得－2≤x ≤2且x ≠0，∴函数的定义域关于原点对称， ∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x .又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． [方法技巧]判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．函数奇偶性的应用[例2] (1)a )的值为________．(2)(2018·姜堰中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m log 2 017x ＋3sin x ，x ＞0log 2 017(－x )＋n sin x ，x ＜0为偶函数，则m －n ＝________.(3)(2018·盐城高三第一次检测)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋3x ＋b ，则f (－1)＝________.[解析] (1)设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－F (a )＝－1，从而f (－a )＝0.(2)因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m log 2 017(－x )－3sin x ，x ＜0log 2 017x －n sin x ，x ＞0＝f (x )，所以m ＝1，n ＝－3，∴m －n ＝4.(3)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，而f (0)＝1＋b ＝0，解得b ＝－1.所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋3－1)＝－4.[答案](1)0(2)4(3)－4[方法技巧]利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.下列函数中为偶函数的序号是________．①f(x)＝x－1；②f(x)＝x2＋|x|；③f(x)＝2x－2－x；④f(x)＝x2＋cos x.答案：②④2.[考点一]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的序号是________．①f(x)＝1＋x2；②f(x)＝x＋1 x；③f(x)＝2x＋12x；④f(x)＝x＋ex.解析：①的定义域为R，由于f(－x)＝1＋(－x)2＝1＋x2＝f(x)，所以是偶函数．②的定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，所以是奇函数．③的定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋12－x＝12x＋2x＝f(x)，所以是偶函数．④的定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝1e x－x，所以是非奇非偶函数．答案：④3.[考点二]设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝________.解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log22＝1 2.答案：1 24.[考点二]设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，∴f(1)＋f(－1)＝0，。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第六章 第三节 等比数列及其前n项和
2．(2018· 赣州摸底)Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若 S4，S3， S5 成等差数列，则{an}的公比 q 的值为 1 A. 2 B．2 ( )
1 C．－ D．－2 2 解析：由 S4，S3，S5 成等差数列，得 2S3＝S5＋S4，即 2(a1＋
a5 a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5，整理得 a5＝－2a4，所以 ＝ a4 －2，即 q＝－2，故选 D.
3 b2b7b12＝b3 ＝ 2 ＝8. 7
答案：D
2．(2018· 西安模拟)在等比数列{an}中，若 a4a5a6＝27，则 a1a9＝ ( A．3 C．27 B．6 D．9 )
解析：在等比数列{an}中，由 a4a5a6＝a3 5＝27，得 a5＝3， 所以 a1a9＝a2 5＝9，故选 D.
突破点(一) 等比数列基本量的计算
01
抓牢双基·自学区
完成情况
[基本知识]
1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于 同一常数 ( 不为零 ) ，那么这个数列就叫做等比数 列．这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示，定 an＋1 ＝q a 义的表达式为 . n (2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比 数列⇒G2＝ ab .
[全练题点]
1．(2018· 湖南师大附中月考)已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a6 －a2 数列{bn}是等比数列，பைடு நூலகம்且 b7＝a7， 则 b2b8b11＝( 7＋a8＝0， A．1 C．4 B．2 D．8 )
解析：由等差数列的性质，得 a6＋a8＝2a7.由 a6－a2 7＋a8＝0， 可得 a7＝2，所以 b7＝a7＝2.由等比数列的性质得 b2b8b11＝
2018-2019学年高中新创新一轮复习语文浙江专版：板块二 专题六 标点符号 含答案 精品
专题六|标点符号1．(2017·浙江高考，有改动)阅读下面的文字，完成后面的题目。
有人曾将人工智能与人类之间存在的微妙关系，称为“智慧争夺战”。
[甲]也是在这个意义上，欧洲开启了“人脑项目”，集神经科学、医学和计算机等多领域为一体，试图从科学高地上把握技术。
这种“智慧竞争”不只是人类脑科学研究的自我赶超，更包括心理与情绪在内的自我认知。
让这场智能革命惠及所有的人群，使得人人可以享受智能的红利，这是时代赋予我们的使命。
[乙]不管达到临界值，超过人类智能总和的“奇点时刻”能否到来，我们都应当从智慧的延伸中，努力升华那独一无二的想象与思考，理性与善良。
[丙]这或许才是人类认识自己、激发潜力的关键所在。
文段中画线的甲、乙、丙句，标点有误的一项是(2分)()A．甲B．乙C．丙解析：选B“想象与思考”和“理性与善良”之间的逗号应改成顿号，因为二者是并列的关系，同作“升华”的宾语。
2．(2017·浙江省考试院样题)阅读下面的文字，完成后面的题目。
清点故宫艺术珍藏工作启动后，封存的奇珍拱璧终于得以重见天日。
[甲]其中有足以乱真的玉琢西瓜，有“雨过天青”色的瓷器，有经历三千年沧桑的铜器，还有皇帝御用的玉玺。
[乙]唐宋元明清历代名画，更是美不胜收。
有些山水画，描写大自然的朝暾夕阴，气象万千；有些名家画的马惟妙惟肖，跃然纸上；鱼儿遨游水中，栩栩如生；鹅鸣鸡唱，如闻其声；竹影扶疏，迎风摇曳；荷塘新叶，晨露欲滴；兰蕙飘香，清芬可挹。
[丙]中国的名画，不仅力求形似，而且要表现动态、声音、色泽等特征，希望启发想象、甚至激发情感。
换一句话说，就是要模写事物的神韵。
文段中画横线的甲、乙、丙句，标点有误的一项是(2分)()A．甲B．乙C．丙解析：选C“甚至”表递进，其前不能用顿号。
3．(2004·浙江高考)下列句子标点符号使用正确的一项是(3分)()A．茫茫宇宙到底有没有外星人，生命能不能合成，人果真由命运主宰？这一切都引起人们深深地思考。
2018届高考数学一轮复习2.6
������ 2������
上单调递增,
+ ∞ 上单调递减.
第二章
知识清单 基础自测
第六节
幂函数与二次函数
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-7-
3.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系 (1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的实根. (2)若x1,x2为方程f(x)=0的实根,则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1x2|= (3)当
①若-2������∈[m,n],则f(x)max=max{f(m),f(n)},f(x)min=f − 2������ ; ②若-2������∉[m,n],则f(x)max=max{f(m),f(n)},f(x)min=min{f(m),f(n)}.
另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离对称轴越远,则对应的函数值越 大; 反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离对称轴越远,则对应的函数值 越小. 4.常用的数学方法与思想 配方法、待定系数法、分类讨论思想、数形结合思想.
2 5
,则a,b,c的大小关系是
2 ������ 5
在������上单调递减, 得������ =
3 5
2 5
2 5
3 5
< ������ =
2 5
2 5
2 5
2 5
,
又由幂函数������ = ������ 在(0, +∞)上单调递增, 则������ =
> ������ =
,故a>c>b.
第二章
������
������
【通用版】2018-2019学年高中理数新创新一轮复习 第六章 数列含解析
第六章⎪⎪⎪数 列第一节 数列的概念与简单表示本节主要包括2个知识点： 1.数列的通项公式； 2.数列的性质.突破点(一) 数列的通项公式[基本知识]1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．[基本能力]1．判断题(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．填空题(1)已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，则数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 2＝________. 答案：15(3)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[全析考法]数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系．[例1] (1)(2018·江西鹰潭一中期中)数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2 B ．a n ＝(－1)n n 2 C ．a n ＝(－1)n ＋1n 2D ．a n ＝(－1)n (n ＋1)2(2)(2018·山西太原五中调考)把1,3,6,10,15，…，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第7个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30[解析] (1)法一：该数列中第n 项的绝对值是n 2，正负交替的符号是(－1)n ＋1，故选C.法二：将n ＝2代入各选项，排除A ，B ，D ，故选C.(2)观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即a n ＝a n －1＋n (n ≥2)．所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是a 7＝a 6＋7＝a 5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.故选B.[答案] (1)C (2)B[方法技巧]由数列的前几项求通项公式的思路方法(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n 项和第n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控． (3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．[提醒] 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．利用an 与S n 的关系求通项数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，通过纽带：a n ＝S n－S n －1(n ≥2)，根据题目已知条件，消掉a n 或S n ，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[解] (1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.[方法技巧]已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．利用递推关系求通项[例3] (1)n 1n ＋1n n (2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． (3)在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (4)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] (1)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2， 所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n 2.(2)因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)， 所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．[方法技巧] 典型的递推数列及处理方法[全练题点]1.[考点一](2018·湖南衡阳二十六中期中)在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选C 观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是与它相邻的前两项的和，所以x ＝5＋8＝13，故选C.2.[考点一]数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 3＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：选D 所给数列各项可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，…，通过对比各选项，可知选D.3.[考点二](2018·黑龙江双鸭山一中期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2解析：选A 因为S n ＝2a n －4，所以n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－4, 两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，即a na n －1 ＝2(n ≥2)．因为S 1＝a 1＝2a 1－4，所以a 1＝4，所以a n ＝2n ＋1.4.[考点三](2018·山东潍坊期中)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：选A 法一：由已知得a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ，而a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1＋a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1，n ≥2，所以a n ＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝ln n ＋2，n ≥2.当n ＝1时，a 1＝2＝ln 1＋2.故选A. 法二：由a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝a n －1＋ln nn －1＝a n －1＋ln n －ln(n －1)(n ≥2)，可知a n －ln n ＝a n －1－ln(n －1)(n ≥2)．令b n ＝a n －ln n ，则数列{b n }是以b 1＝a 1－ln 1＝2为首项的常数列，故b n ＝2，所以2＝a n －ln n ，所以a n ＝2＋ln n ．故选A.突破点(二) 数列的性质[基本知识]数列的分类[基本能力](1)已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．答案：递增(2)数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大． 答案：4或5(3)现定义a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n ，其中n ∈N *，则{a n }是_______数列(填“递增”或“递减”)． 答案：递增(4)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的____________条件． 答案：充分不必要[全析考法](1)数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．(2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去．[例1] (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫23n，则数列{a n }中的最大项为( ) A.89 B ．23C.6481D ．125243(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋tn ＋1，若{a n }是单调递增数列，则实数t 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－6)C ．(－∞，－3)D ．()－3，＋∞[解析] (1)法一(作差比较法)：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n ⎝⎛⎭⎫23n ＝2－n 3·⎝⎛⎭⎫23n ， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝⎛⎭⎫232＝89.故选A. 法二(作商比较法)：a n ＋1a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n ＋1n ⎝⎛⎭⎫23n ＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n ， 令a n ＋1a n >1，解得n <2；令a n ＋1a n＝1，解得n ＝2；令a n ＋1a n<1，解得n >2. 又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝⎛⎭⎫232＝89.故选A. (2)法一：因为{a n }是单调递增数列， 所以对于任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ， 即2(n ＋1)2＋t (n ＋1)＋1>2n 2＋tn ＋1， 化简得t >－4n －2，所以t >－4n －2对于任意的n ∈N *都成立， 因为－4n －2≤－6，所以t >－6.故选A.法二：设f (n )＝2n 2＋tn ＋1，其图象的对称轴为n ＝－t 4，要使{a n }是递增数列，则－t 4<1＋22，即t >－6.故选A. [答案] (1)A (2)A [方法技巧]1．判断数列单调性的两种方法 (1)作差比较法a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．(2)作商比较法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．通常是求出数列的前n 项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．[例2] (1)(2018·黄冈质检)已知数列{x n }满足x n ＋2＝|x n ＋1－x n |(n ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，且x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，则数列{x n }的前2 017项和S 2 017＝( )A ．672B ．673C ．1 342D ．1 345(2)(2018·广东四校联考)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，则a 2 018＝( )A ．－2B ．－1C ．2D ．12[解析] (1)∵x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，∴x 3＝|x 2－x 1|＝|a －1|＝1－a ，∴x 1＋x 2＋x 3＝1＋a ＋(1－a )＝2，又x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，∴数列{x n }的周期为3，所以数列{x n }的前2 017项和S 2 017＝S 672×3＋1＝672×2＋1＝1 345.故选D.(2)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，∴a 2＝11－2＝－1，a 3＝11－(－1)＝12，a 4＝11－12＝2，…，可知此数列有周期性，周期T ＝3，即a n ＋3＝a n ，则a 2 018＝a 672×3＋2＝a 2＝－1.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．[全练题点]1.[考点二](2018·安徽名校联盟考前模拟)在数列{a n }中，若对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 1＝2，a 9＝3，a 98＝4，则数列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．132B ．299C ．68D ．99解析：选B 因为对任意的n ∈N *均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，所以a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，所以a n ＋3＝a n ，所以数列{a n }是周期数列，且周期为3.故a 2＝a 98＝4，a 3＝a 9＝3，a 100＝a 1＝2，所以S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 100＝299.故选B.2.[考点一](2018·山东枣庄第八中学阶段性检测)已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋2n ，欲使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 由数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋2n 的前n 项的乘积31·42·53·…·n ＋2n ＝(n ＋1)(n ＋2)2>36，得n 2＋3n－70>0，解得n <－10或n >7.又因为n ∈N *，所以n 的最小值为8，故选B.3.[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a9-22+11x x ，x >2(a >0，且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎣⎡⎭⎫83，3 C ．(2,3)D ．(1,3)解析：选C因为{a n}是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×2＋2<a 2，解得2<a <3，所以实数a 的取值范围是(2,3)．4.[考点二](2018·辽宁重点中学协作体联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．0B ．2 018C ．1 010D ．1 009解析：选C 由a 1＝1及a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，得a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 4π2＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，a 6＝a 5＋sin 6π2＝1，a 7＝a 6＋sin 7π2＝0，a 8＝a 7＋sin 8π2＝0，…，可见数列{a n }为周期数列，周期T ＝4，所以S 2 018＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝1 010.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n , a 8＝2，则a 1 ＝________. 解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.答案：123．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫23a n ＋13－⎝⎛⎭⎫23a n －1＋13 ＝23a n －23a n －1， 所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 数列的通项公式1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则14是这个数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项解析：选B 由a n ＋1＝2a na n ＋2可得1a n ＋1＝1a n ＋12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，故1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即a n ＝2n ＋1，由2n ＋1＝14，解得n ＝7，故选B.2．(2018·南昌模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B ．158 C.34 D ．38解析：选C 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.3．(2018·河南郑州一中考前冲刺)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝( )A.2 0172 018 B ．2 0182 019 C.4 0342 018D ．4 0362 019解析：选D ∵a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝2⎣⎡⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝4 0362 019，故选D. 4．(2018·甘肃天水检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．12n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫32n －1解析：选D 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1S n＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选D. 5．(2018·兰州模拟)在数列1,2，7，10，13，…中219是这个数列的第________项．解析：数列1,2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，∴该数列的通项公式为a n ＝3(n －1)＋1＝3n －2，∴3n －2＝219＝76，∴n ＝26，故219是这个数列的第26项． 答案：266．(2018·河北冀州中学期中)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 3＝________，a n ＝________.解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝nn －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n (n ≥2)，∴a 3＝3.∵a 1＝1满足a n ＝n ，∴a n ＝n .答案：3 n7．(2018·福建晋江季延中学月考)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．解析：已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1，将n ＝1代入，得a 1＝2；当n ≥2时，将n －1代入得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n ，两式相减得na n ＝(n ＋1)－n ＝1，∴a n ＝1n，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2对点练(二) 数列的性质1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)．则下列说法正确的是( ) A ．这个数列的第10项为2731B.98101是该数列中的项C ．数列中的各项都在区间⎣⎡⎭⎫14，1内 D ．数列{a n }是单调递减数列解析：选C a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得a 10＝2831.故选项A 不正确，令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300，此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以数列{a n }是单调递增数列，所以14≤a n <1，所以数列中的各项都在区间⎣⎡⎭⎫14，1内，故选项C 正确，选项D 不正确，故选C.2．(2018·湖北黄冈中学期中)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，则a 2 018＝( )A ．－2B ．12C ．－13D ．3解析：选D ∵a 1＝12，∴a 2＝1＋a 11－a 1＝3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－2，a 4＝1＋a 31－a 3＝－13，a 5＝1＋a 41－a 4＝12，…，∴数列{a n }是周期数列且周期T ＝4，∴a 2 018＝a 2＝3，故选D. 3．(2018·河南郑州质量预测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝m ，a 2＝n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017的值为( )A ．2 017n －mB ．n －2 017mC ．mD ．n解析：选C 根据题意计算可得a 3＝n －m ，a 4＝－m ，a 5＝－n ，a 6＝m －n ，a 7＝m ，a 8＝n ，…，因此数列{a n }是以6为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，所以S 2 017＝S 336×6＋1＝a 1＝m .故选C.4．(2018·安徽淮南模拟)已知{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：选C ∵{a n }是递增数列，∴∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，化简得λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3.故选C.5．(2018·北京海淀区模拟)数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋(a －1)n ，n ≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是________．解析：当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15.当n ≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －a －122＋(a －1)24.∵a 5是{a n}中的最大值，∴⎩⎨⎧a －12≤5.5，－25＋5(a －1)≥15，解得9≤a ≤12.∴a 的取值范围是[9,12]．答案：[9,12][大题综合练——迁移贯通]1．(2018·东营模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)令n ＝1，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1 ＝2a n －2n ＋1.因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)， 所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1， 所以a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.2．(2018·浙江舟山模拟)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得，a 1＝12a 21＋12a 1， 解得a 1＝1，a 1＝0(舍)．S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2， 解得a 2＝2(负值舍去)；同理可得a 3＝3，a 4＝4. (2)因为S n ＝12a 2n ＋a n 2，①所以当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋a n －12，②①－②得a n ＝12(a n －a n －1)＋12(a 2n －a 2n －1)，所以(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n . 3．(2018·山西太原月考)已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12，又数列{b n }满足b n ＝2log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求S n;(2)若对任意n ∈N *，都有S n a n≤S ka k成立，求正整数k 的值．解：(1)因为{a n }是等比数列，则a 2a 5＝a 3a 4＝32，又a 3＋a 4＝12，且{a n }是递增数列， 所以a 3＝4，a 4＝8，所以q ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.所以b n ＝2log 2a n ＋1＝2log 22n ＝2n . 所以S n ＝2＋4＋…＋2n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n .(2)令c n ＝S n a n ＝n 2＋n2n －1，则c n ＋1－c n ＝S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n －n (n ＋1)2n －1＝(n ＋1)(2－n )2n .所以当n ＝1时，c 1<c 2； 当n ＝2时，c 3＝c 2；当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c 3>c 4>c 5>…， 所以数列{c n }中最大项为c 2和c 3.所以存在k ＝2或3，使得任意的正整数n ，都有S k a k ≥S na n .第二节 等差数列及其前n 项和本节主要包括3个知识点：1.等差数列基本量的计算；等差数列的基本性质及应用；等差数列的判定与证明.突破点(一) 等差数列基本量的计算[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. [基本能力]1．判断题(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．填空题(1)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________. 答案：－15－n(2)已知等差数列5,427，347，…，则该数列的第5项为________．答案：217(3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________. 答案：12(4)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案：6[全析考法][典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A ，B ，C ，D ，E 五人分5钱，A ，B 两人所得与C ，D ，E 三人所得相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E 所得为( )A.23钱 B ．43钱C.56钱 D ．32钱(3)(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. ①求数列{a n }的通项公式；②令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. (2)由题意，设A 所得为a －4d ，B 所得为a －3d ，C 所得为a －2d ，D 所得为a －d ，E所得为a ，则⎩⎪⎨⎪⎧5a －10d ＝5，2a －7d ＝3a －3d ，解得a ＝23，故E 所得为23钱．故选A.(3)①设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， 所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.②由①，可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)． ∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1) ＝(－2)×n ＝－2n .[答案] (1)C (2)A[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，一般可设出a 1和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．[全练题点]1．(2018·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C 法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得d ＝－3.法二：a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m－S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m . 由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得正整数m 的值为5. 答案：53．(2018·福州模拟)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n .解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)， 所以a n ＝2n －1. (2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n －1) ＝2×(1＋3＋32＋…＋3n )－(n ＋1) ＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.突破点(二) 等差数列的基本性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.[基本能力](1)(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝________.答案：100(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，若S n T n ＝n ＋1n －1，则a 1＋a nb 1＋b n＝________. 答案：n ＋1n －1(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.答案：60(4)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.答案：S 5[全析考法][例1] (1)(2018·银川模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(2)(2018·山西太原模拟)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3(3)(2018·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．3[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，∴a 8＝8，∴m ＝8.故选A.(2)由等差数列的性质可知2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6×2a 6＝36，得a 6＝3，故选D.(3)根据等差数列的性质，可得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，因此S 2＝0.[答案] (1)A (2)D (3)B[方法技巧]利用等差数列性质求解问题的注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．[提醒] 一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .等差数列前n 项和最值问题n n 差数列前n 项和S n 的最值问题．[例2] 等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？[解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一(函数法)： S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1， 因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法二(通项变号法)：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9， 又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．[方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[全练题点]1.[考点一](2018·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )A ．9B ．15C ．18D ．36解析：选C 由等差数列的通项公式及性质，可得S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C.2.[考点一](2018·辽宁鞍山一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9解析：选C 因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝38.所以将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.3.[考点二](2018·成都模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，则使S n 取得最小值时n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 根据等差数列的性质可得a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝9，得a 7＝3.S 14－S 3＝11a 9＝77，解得a 9＝7，所以等差数列的通项公式为a n ＝2n －11.当n ＝6时，a n >0；当n ＝5时，a n <0，所以使S n 取得最小值的n 的值为5.4.[考点二](2018·吉林长春外国语学校期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则在数列中绝对值最小的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项解析：选C 根据等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 13<0，S 12>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 13<0，a 1＋a 12>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 13＝2a 7，a 1＋a 12＝a 6＋a 7，得⎩⎪⎨⎪⎧a 7<0，a 6＋a 7>0，所以数列{a n }中绝对值最小的项为第7项．突破点(三) 等差数列的判定与证明[全析考法][典例] (2018·n 1n (a n ＋1－n －1)＝(n＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．(1)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n . [解] (1)∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a n n＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15， 则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.5.∴当n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . 当n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.[方法技巧] 等差数列的判定与证明方法[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[全练题点]1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线(图略)，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.2．(2018·岳阳模拟)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2.又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0.又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24. 2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100B ．99C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C.法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.3．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49.∴nS n 的最小值为－49.答案：－494．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一)等差数列基本量的计算1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n＋2－S n＝36，则n＝() A．5 B．6C．7 D．8解析：选D由题意知S n＋2－S n＝a n＋1＋a n＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.2．在等差数列{a n}中，a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为() A．37 B．36C．20 D．19解析：选A a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×82d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A.3．在数列{a n}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有a m＋k＝a m＋a k，则{a n}的前n 项和S n＝()A．n(3n－1) B．n(n＋3)2C．n(n＋1) D．n(3n＋1)2解析：选C依题意得a n＋1＝a n＋a1，即a n＋1－a n＝a1＝2，所以数列{a n}是以2为首项、2为公差的等差数列，a n＝2＋2(n－1)＝2n，S n＝n(2＋2n)2＝n(n＋1)，故选C.4．(2018·太原一模)在单调递增的等差数列{a n}中，若a3＝1，a2a4＝34，则a1＝()A ．－1B ．0 C.14D ．12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 对点练(二) 等差数列的基本性质及应用1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n ＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选D 因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21，故选D. 2．(2018·南阳质检)设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C ∵S 6＝5a 1＋10d ，∴6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，得a 1＋5d ＝0，即a 6＝0.∵数列{a n }是公差d <0的等差数列，∴n ＝5或6时，S n 取最大值．3．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．选C.。
创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 第6节 精品
◆考纲·了然于胸◆ 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12 的图象， 了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
[要点梳理]
考点三 二次函数的图象与性质(高频型考点——全面发 掘)
[考情聚焦] 二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式 等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点，考查求解 一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的 分布等问题．
归纳起来常见的命题角度有： (1)二次函数的最值问题； (2)二次函数中恒成立问题； (3)二次函数的零点问题
角度二 二次函数中恒成立问题 3．已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3 在 x∈[－1,1]上 恒小于零，求实数 a 的取值范围．
[解] 2ax2＋2x－3＜0 在[－1,1]上恒成立． 当 x＝0 时，适合； 当 x≠0 时，a＜321x－132－16，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋ ∞)，当 x＝1 时，右边取最小值12，所以 a＜12. 综上，实数 a 的取值范围是－∞，12.
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
[解析] 选 B 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解
得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 适合题意，故选 B.
[答案] B
1
3．(2015·山西太原模拟)当 0＜x＜1 时，f(x)＝x2，g(x)＝x2 ， h(x)＝x－2，则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是______________．
[题组集训] 1．幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x)的图 象是( )
第6章 §6.6 数列中的综合问题--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第六章§6.6 数列中的综合问题考试要求1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.例1 (1)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块√题型一数学文化与数列的实际应用公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－S n)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，(2)(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，5则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次，那么＝____________ dm2.依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，……1.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺教师备选√冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{a n}，设公差为d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分时节的日影长为4.5尺.A.30.3 mB.30.1 mC.27 mD.29.2 m√设|AB|＝x，a≈0.618，因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，所以有|BC|＝ax，|CF|＝a2x，|FG|＝a3x，|GJ|＝a4x，|JK|＝a5x，|KM|＝a6x.解得26.786<x<28.796，故选项C符合题意.数列应用问题常见模型(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑a n与a n＋1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者S n与S n＋1(或者相邻三项)之间的递推关系.跟踪训练1 (1)(2022·佛山模拟)随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到√A.2022年12月B.2023年2月C.2023年4月D.2023年6月每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，化简整理得，n2＋9n－860＝0，解得n≈25.17或n≈－34.17(舍)，所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25个月，也就是到2023年2月.(2)(多选)(2022·潍坊模拟)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{a n}，则A.a4＝12B.a n＋1＝a n＋n＋1C.a100＝5 050D.2a n＋1＝a n·a n＋2√√由题意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，a n＋1＝a n＋n＋1，故B正确；2a n＋1＝(n＋1)(n＋2)，显然2a n＋1≠a n·a n＋2，故D错误.题型二等差数列、等比数列的综合运算例2 (2022·滨州模拟)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝2，b2＝4，a n＝2log2b n，n∈N*.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；设等差数列{a n}的公差为d，因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以a n＝2＋(n－1)×2＝2n.又a n＝2log2b n，即2n＝2log2b n，所以n＝log2b n，所以b n＝2n.(2)设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n }，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 100.由(1)得b n＝2n ＝2·2n －1＝a 2n －1，即b n 是数列{a n }中的第2n －1项.设数列{a n }的前n 项和为P n ，数列{b n }的前n 项和为Q n ，因为b 7＝＝a 64，b 8＝ ＝a 128，所以数列{c n }的前100项是由数列{a n }的前107项去掉数列{b n }的前7项后构成的，所以S 100＝P 107－Q 762a 72a(1)若{b n }为等比数列，公比q >0，且b 1＋b 2＝6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式；教师备选∴a n＋1－a n＝4n－1，可得b n＋2·c n＋1＝b n·c n，两边同乘b n＋1，可得b n＋1·b n＋2·c n＋1＝b n·b n＋1·c n，∵b1b2c1＝b2＝1＋d，∴数列{b n b n＋1c n}是一个常数列，且此常数为1＋d，即b n b n＋1c n＝1＋d，又∵b1＝1，d>0，∴b n>0，∴c1＋c2＋…＋c n对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d>0证明不等式成立.另外本题在探求{a n}与{c n}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.跟踪训练2 已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{a n}的通项公式；设等差数列{a n}的公差为d.因为a1＝1，a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2.所以a n＝2n－1.(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.设等比数列{b n}的公比为q.因为b2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9.又b1＝1，所以q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.题型三数列与其他知识的交汇问题命题点1 数列与不等式的交汇(1)求数列{a n}的通项公式；依题意可知命题点2 数列与函数的交汇1 022得f′(x)＝x2－12x＋32，所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点，因为q>1，所以a2＝4，a3＝8，故q＝2，教师备选1.已知函数f(x)＝log2x，若数列{a n}的各项使得2，f(a1)，f(a2)，…，f(a n)，2n＋4成等差数列，则数列{a n}的前n项和S n＝_________.设等差数列的公差为d，则由题意，得2n＋4＝2＋(n＋1)d，解得d＝2，于是log2a1＝4，log2a2＝6，log2a3＝8，…，从而a1＝24，a2＝26，a3＝28，…，数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.设等比数列{a n}的公比为q，解得a1＝4，q＝4，故{a n}的通项公式为a n＝4n，n∈N*.b n＝log2a n＝log24n＝2n，(2)若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S2＝4.①求数列{a n}的通项公式；设{a n}的公差为d(d≠0)，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以a1·(4a1＋6d)＝(2a1＋d)2.所以2a1d＝d2.因为d≠0，所以d＝2a1.又因为S2＝4，所以a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1.因为m∈N*，所以m的最小值为30.K E S H I J I N G L I A N 课时精练。
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a4＋a5＝24， 则由 S6＝48， 2a1＋7d＝24，2)由题意，设 A 所得为 a－4d，B 所得为 a－3d，C 所得为 a－ 2d，D 所得为 a－d，E 所得为 2 故 E 所得为 钱．故选 A. 3 (3)①设等差数列{an}的公差为 d， 由 S3＋S4＝S5，可得 a1＋a2＋a3＝a5，即 3a2＝a5， 所以 3(1＋d)＝1＋4d，解得 d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ②由①，可得 bn＝(－1)n－1· (2n－1)． ∴T2n＝1－3＋5－7＋„＋(4n－3)－(4n－1)＝(－2)×n＝－2n. [答案] (1)C (2)A
1．判断题 (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列． ( × )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N *，都有 2an＋1 ＝an＋an＋2. (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的． ( √ ) (√ )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次 函数． ( √ )
05
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突破点(一) 等差数列基本量的计算
01
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[基本知识]
1．等差数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从 第 2 项 起， 每一项与它的前一项 的 差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表 示为 an＋1－an＝d (n∈N *，d 为常数)．
答案：12
(4)已知{an}为等差数列， Sn 为其前 n 项和． 若 a1＝6， a3＋a5＝0， 则 S6＝________.
答案：6
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[全析考法]
等差数列基本量的计算
[ 典例 ] (1)(2017· 全国卷Ⅰ ) 记 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项 和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为 ( ) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)(2018· 安徽江南十校模拟 )《九章算术》是我国古代的数学 名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二 人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知 A，B，C， D，E 五人分 5 钱，A，B 两人所得与 C，D，E 三人所得相同，且 A ， B ， C ， D ， E 每人所得依次成等差数列．问五人各得多少 钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E 所得为 ( ) 2 4 5 3 A. 钱 B． 钱 C. 钱 D． 钱 3 3 6 2
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(3)(2018· 南昌模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1 ＝1，S3＋S4＝S5. ①求数列{an}的通项公式； ②令 bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前 2n 项和 T2n.
[解析]
(1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， a1＋3d＋a1＋4d＝24， 得 6×5 6a ＋ d＝48， 2 1
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[全练题点]
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1． (2018· 武汉调研)已知数列{an}是等差数列， a1＋a7＝－8， a2＝2， 则数列{an}的公差 d 等于 A．－1 C．－3 B．－2 D．－4 ( )
a1＋a1＋6d＝－8， 解析：法一：由题意可得 a1＋d＝2，
解得 d＝－3. 法二：a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4， ∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.
5a－10d＝5， a，则 2a－7d＝3a－3d，
2 解得 a＝ ， 3
[ 方法技巧]
解决等差数列基本量计算问题的思路 (1)在等差数列{an}中，a1 与 d 是最基本的两个量，一般 可设出 a1 和 d， 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列 方程(组)求解即可． (2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项 na1＋an 公式 an＝a1＋(n－1)d 和前 n 项和公式 Sn＝ ＝na1 2 nn－1 ＋ d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an， 2 Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求 出剩余的两个量．
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2．填空题
(1)已知等差数列{an}，a5＝－20，a20＝－35，则 an＝________.
答案：－15－n 2 4 (2)已知等差数列 5,4 ，3 ，„，则该数列的第 5 项为________． 7 7 1 答案：2 7 (3)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝2，S3＝12，则 a6＝ ________.
A (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是___
a＋b ＝ 2 ，其中 A 叫做 a，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a ＝a1＋(n－1)d .
n
nn－1 na1＋an na1＋ d 2 2 (2)前 n 项和公式：Sn＝ ＝ .
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[ 基本能力]
第二节 等差数列及其前n项和
本节主要包括 3 个知识点： 1.等差数列基本量的计算； 2.等差数列的基本性质及应用； 3.等差数列的判定与证明.
01 02
03 04
突破点(一) 等差数列基本量的计算
突破点(二) 等差数列的基本性质及应用
突破点(三) 等差数列的判定与证明
全国卷5年真题集中演练——明规律
答案：C
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2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1 ＝3，则正整数 m 的值为________．
解析：因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0， Sm＋1＝3，所以 am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，数列的 公差 d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5， 即 2a1＋2m－1＝5，所以 a1＝3－m. mm－1 由 Sm＝(3－m)m＋ ×1＝0， 2 解得正整数 m 的值为 5.