全品学练考高中数学必修第二册12页16题

全品学练考高中数学必修第二册12页16题
16. 已知函数$f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + a$，若$f(x)$在区间$( - 1,1)$内有且仅有一个零点，则实数$a$的取值范围是____．
首先求导数：
$f^{\prime}(x) = x^{2} - 2x$
令 $f^{\prime}(x) = 0$ ，解得：
$x = 0 \quad 或 \quad x = 2$
考虑 $f^{\prime}(x)$ 的符号变化，我们可以得到以下结论：
当 $x < 0$ 或 $x > 2$ 时， $f^{\prime}(x) > 0$ ，即 $f(x)$ 在这些区间内是增函数。

当 $0 < x < 2$ 时， $f^{\prime}(x) < 0$ ，即 $f(x)$ 在这些区间内是减函数。

接下来，我们考虑 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 的性质：
由于 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上是增函数，并且在 $(0,2)$ 上是减函数，因此 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内有且仅有一个零点的条件是：
$f(-1) \cdot f(1) < 0$
代入 $f(x)$ 的表达式，得到：
$\frac{1}{3}(-1)^{3} - (-1)^{2} + a < 0$
$\frac{1}{3}(1)^{3} - (1)^{2} + a > 0$
解得：
$- \frac{5}{3} < a < \frac{1}{3}$
故答案为：$( - \frac{5}{3},\frac{1}{3})$。