怀柔区第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

怀柔区第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9
2． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a
+2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
3． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝10，则输出的i ＝（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4． i 是虚数单位，
=（ ）
A ．1+2i
B ．﹣1﹣2i
C ．1﹣2i
D ．﹣1+2i
5． 函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到 D ．向左右平移
个单位得到
6． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）
A ．
13 B ．2
3
C ．1
D ．2 7． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图
形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）
8．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，a2），则函数y=f（x）的图象大致是（）
A．B．C．D．
9．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线
段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B
C
D
10．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
11．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）
A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a
12．在△ABC 中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．120°或60°
D ．45°
二、填空题
13．已知a=
（
cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．
14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．
15．设函数f （x ）=则函数y=f （x ）与y=的交点个数是 ．
16．过椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则
椭圆的离心率为 ． 17．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．
18．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数
0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是 三、解答题
19．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。

（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n 。

20．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()2
21ln f x ax a x x =+--，R a ∈．
⑴若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1
sin 8
g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．
21．如图，边长为2的正方形ABCD 绕AB 边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF 的位置． （Ⅰ）求证：CE ∥平面ADF ；
（Ⅱ）若K 为线段BE 上异于B ，E 的点，CE=2．设直线AK 与平面BDF 所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，
求BK 的取值范围．
22．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．
23．
24．设a，b互为共轭复数，且（a+b）2﹣3abi=4﹣12i．求a，b 的值．
怀柔区第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，
则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，
解得：a m=0或a m=2，
若a m等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，
∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
2．【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，
即有a82=4a8，
解得a8=4（0舍去），
即有b8=a8=4，
由等比数列的性质可得b4b12=b82=16．
故选：D．
3．【答案】
【解析】解析：选B.程序运行次序为
第一次t＝5，i＝2；
第二次t＝16，i＝3；
第三次t＝8，i＝4；
第四次t＝4，i＝5，故输出的i＝5.
4．【答案】D
【解析】解：，
故选D．
【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．
5． 【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin （2x+），
y=sin2x ﹣cos2x=
sin （2x ﹣
）=
sin[2（x ﹣
）+
）]，
∴由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象向左平移个单位得到y=
sin （2x+
），
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
6． 【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为1
12
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=，选B ． 7． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当01t <≤时，()21
22
f t t t t =
⋅⋅=，当12t <≤时， ()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩
，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象.
8． 【答案】B
【解析】解：函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）在（0，2）内的值域是（1，a 2
）， 则由于指数函数是单调函数，则有a ＞1，
由底数大于1指数函数的图象上升，且在x 轴上面，可知B 正确． 故选B ．
9． 【答案】C 【解析】根据题意有：
A 的坐标为：（0，0，0），
B 的坐标为（11，0，0），
C 的坐标为（11，7，0），
D 的坐标为（0，7，0）； A 1的坐标为：（0，0，12），B 1的坐标为（11，0，12），C 1的坐标为（11，7，12），D 1的坐标为（0，7，12）；
E 的坐标为（4，3，12） （1）l 1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

10．【答案】B
【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4，
∴r=2，
则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
11．【答案】A
【解析】解：由f（x）=e x+x﹣2=0得e x=2﹣x，
由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，
作出计算y=e x，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，
∴y=e x与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．
12．【答案】C
【解析】解：∵a=2，b=6，A=30°，
∴由正弦定理可得：sinB===，
∵B∈（0°，180°），
∴B=120°或60°．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】240．
【解析】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为T r+1=•2r•x12﹣3r，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14．【答案】③④
【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误
AN AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,
AN AC所成的角为60 ，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．为等边三角形，所以,
考点：空间中直线与直线的位置关系．
15．【答案】4．
【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=的图象与函数y=的图象，如下图所示，
由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4．
故答案为：4．
16．【答案】．
【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2
=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣
（舍去）．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
17．【答案】 （0，
）∪（64，+∞） ．
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数， ∴f （log 8x ）＞0，等价为：f （|log 8x|）＞f （2），
又f （x ）在[0，+∞）上为增函数， ∴|log 8x|＞2，∴log 8x ＞2或log 8x ＜﹣2，
∴x ＞64或0＜x ＜
．
即不等式的解集为{x|x ＞64或0＜x ＜}
故答案为：（0，
）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
18．【答案】
【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数0x ，使得
在直线
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得,应填答案
3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也
综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
据题设建立不等式组求出解之得
.
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）由a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4得 a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，解得﹣≤d ≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n }的通项公式为a n =13﹣3n 。

（2）∵b n ==
，
∴T n =b 1+b 2+…+b n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）
=。

20．【答案】⑴2a =⑵11,,64
⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
⑶2
【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（）
在点11f （，（））处的切线方程，代入点
211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（），
分析可得必有()()215
218
f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：
⑵
()()()
211'ax x f x x
-+=
，
∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，
410{ 610
a a -≥∴-≥，得14a ≥；
若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，
410{ 610
a a -≤∴-≤，得1
6a ≤，
综上，实数a 的取值范围为11,,64
⎛⎤
⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣⎭
；
⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，
()max 1
28g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，
()min 158f x ∴≥，即()()215
21ln 8
f x ax a x x =+--≥，
由()()()()()2
22112111'221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；
当0a >时，由()'0f x =，得1
2x a
=或1x =-（舍去）， 当1
02x a
<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当1
2x a
>
时，()'0f x >，()f x 单调递增． ()min 115
28
f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，即117ln 428a a --≥，
整理得，()117ln 2228a a -⋅≥， 设()1ln 2h x x x =-，()211
02h x x x
∴=+>'，()h x ∴单调递增，
a Z ∈，2a ∴为偶数，
又()172ln248h =-<，()17
4ln488
h =->，
24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，CD BA ，正方形ABEF 中，EF
BA ．…
∴EF
CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE ∥DF ．…
又DF ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，∴CE ∥平面ADF ． … （Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=，∴CE 2
=BC 2+BE 2
．
∴△BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，…
又BE ⊥BA ，BC ∩BA=B ，BC 、BA ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． … 以B 为原点，
、
、
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），
F （0，2，2），A （0，2，0），
=（2，2，0），
=（0，2，2）．
设K （0，0，m ），平面BDF 的一个法向量为=（x ，y ，z ）．
由，
，得
可取=（1，﹣1，1），…
又
=（0，﹣2，m ），于是sin φ=
=
，
∵30°≤φ≤45°，∴，即…
结合0＜m ＜2，解得0
，即BK 的取值范围为（0，4﹣
]．…
【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
22．【答案】（１） 24y x =；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,
(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)0)((0)(''<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('x f 不恒等于的参数的范围．
23．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．
【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可．
（2）X ～B （3，），根据二项分布求解P （X=0），P （X=1），P （X=2）=，P （X=3），列出分布列，
求解数学期望即可．
【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1 解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克） 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；
则X ～B （3，）， X=0，1，2，3；
P （X=0）=×（）3=；
P （X=1）=×（）2×=
；
P （X=2）=×（）×（）2=；
P （X=3）=
×（）3=
，
∴X 的分布列为：
即E （X ）=0×
=．
【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力
24．【答案】
【解析】解：因为a ，b 互为共轭复数，所以设a=x+yi ，则b=x ﹣yi ，a+b=2x ，ab=x 2+y 2
，
所以4x 2﹣3（x 2+y 2
）i=4﹣12i ，
所以，解得
，
所以a=1+i ，b=1﹣i ；
或a=1﹣i ，b=1+i ；
或a=﹣1+i ，b=﹣1﹣i ；
或a=﹣1﹣
i ，b=﹣1+
i ．
【点评】本题考查了共轭复数以及复数相等；正确设出a ，b 是解答的关键．。