三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题32选修部分理含解析00

专题32 选修部分
考纲解读明方向
等式及不等式的证明均为高考的常考点.本章在高考中以解答题为主,往往涉及含有两个绝对值的问题,考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法,分值约为10分,难度中等.
2018年高考全景展示
1．【2018年理数天津卷】已知圆的圆心为C ，直线(为参数)与该圆相交于A ，
B 两点，则
的面积为___________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.
详解：由题意可得圆的标准方程为：
，直线的直角坐标方程为：
，即
，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则
.
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 2．【2018年理北京卷】在极坐标系中，直线与圆
相切，则a =__________．
【答案】
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
3．【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l 被曲线C截得的弦长．
【答案】直线l被曲线C截得的弦长为
【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆
的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.
详解：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，
所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.
4．【2018年理新课标I卷】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．
【答案】 (1）．
（2）综上，所求的方程为．
【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.
详解：（1）由，得的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在
圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，
从而求得结果.
【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点
5．
且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
【答案】（1）
（2）为参数，
（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则
，且，满足．于是，．又点的坐标满
足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题。

6．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为
．（2）
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0) 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).
(2)|M1M2|＝|t1－t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
7．【2018年江苏卷】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．
【答案】4
【解析】分析：根据柯西不等式可得结果.
详解：证明：由柯西不等式，得．
因为，所以，
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以的最小值为4．
点睛：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0或存在一个数k，使a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
8．【2018年理新课标I卷】已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1).(2)．
【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；
(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时
；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
9．【2018年全国卷Ⅲ理】设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可。

（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值
详解：（1）的图像如图所示．
（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅
当且时，在成立，因此的最小值为．
点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题。

10．【2018年理数全国卷II 】设函数．
（1）当时，求不等式
的解集；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
,(2)
【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为
，再根据绝对值三角不等式得
最小值，最后解不等式
得的取值范围．
详解：（1）当时，
可得的解集为．（2）等价于．而，
且当
时等号成立．故
等价于
．由
可得
或
，所以的取值范围是
．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
2017年高考全景展示
1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106
ρθπ
-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2
【解析】直线为210y ++= ，圆为2
2
(1)1x y +-= ，因为3
14
d =< ，所以有两个交点 【考点】极坐标
【名师点睛】再利用公式2
2
2
cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.
2.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0）， 则|AP |的最小值为___________. 【答案】1 【解析】
试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为2
2
2440x y x y +--+= ，整理为()()22
121x y -+-= ，
圆心()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是211AC r -=-=. 【考点】1.极坐标与直角坐标方程的互化；2.点与圆的位置关系.
【名师点睛】1.运用互化公式：2
2
2
,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标； 2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．
3. 【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______. 【答案】2
考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.
【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式
θρθρsin ,cos ==y x 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝
θρθρsin ,cos ==y x 以及22y x +=ρ，)0(tan ≠=
x x
y
θ，同时要掌握必要的技巧. 4.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的
参数方程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l a.
【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点(3cos ,sin )θθ，l 的距离为
d =对a 进行
讨论当4a ≥-和当4a <-时，求出a 的值.
试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2
219
x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.
由22
430
1
9x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或2125
2425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124
(,)2525
-
.
【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.
【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.
5.【2017课标1，理】已知函数f （x ）=–x 2
+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【解析】
试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2
|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出最值的解集；（2）当[,
1]x ∈-时，()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，
等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且
(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[1,1]-.
试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①
当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；
当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；
当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112
x -<≤.
所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤
. （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =. 所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.
又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[1,1]-.
【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题.
【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图像解题.
6. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。

【答案】(1)()()22240x y x -+=≠；
(2) 2+。

【解析】
试题分析：(1)设出P 的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；
(2)利用(1)中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB △
面积的最大值为2+。

试题解析：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθ
OP OM =。

由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ。

因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠。

（2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △面积
1sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρπααπα=⋅⋅∠⎛⎫=⋅- ⎪⎝
⎭⎛⎫=- ⎪⎝
⎭≤ 当12π
α=-时，S
取得最大值2+。

所以OAB △
面积的最大值为2+。

【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

重点考查了转化与化归能力。

遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。

要结合题目本身特点，确定选择何种方程。

7.【2017课标II ，理23】已知33
0,0,2a b a b >>+=。

证明：
（1）55()()4a b a b ++≥；
（2）2a b +≤。

【答案】(1)证明略；
(2)证明略。

【解析】
试题分析：(1)第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；
(2)第二问利用均值不等式的结论结合题意证得()3
8a b +≤即可得出结论。

试题解析：(1) ()()()()()
556556
2
333344222244
a b a b a ab a b b a b a b ab a b ab a b
++=+++=+-++=+-≥
(2)因为 ()()
()()
()33223
23332332432,4
a b a a b ab b ab a b a b a b a b +=+++=+++≤+++=+ 所以()3
8a b +≤，因此2a b +≤。

【考点】 基本不等式；配方法。

【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。

若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。

8.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(
)3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
【答案】(1) ()22
40x y y -=≠；
【解析】
试题分析：(1)利用题意首先得到曲线C 的参数方程，然后消去参数即可得到曲线C 的普通方程；
(2)联立两个极坐标方程可得2291cos ,sin 1010
θθ==
试题解析：（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k
=+ . 设(),p x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()22
40x y y -=≠
.
【考点】 参数方程与直角坐标方程互化；极坐标中的极径的求解
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
9.【2017课标3，理23】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│.
（1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式()2
f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围. 【答案】(1) {}
1x x ≥； (2) 5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦
【解析】
试题分析：(1)将函数零点分段然后求解不等式即可；
(2)利用题意结合绝对值不等式的性质有x x x x +---+≤25124，则m 的取值范围是5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝
⎦
试题解析：（1）()3＜121123＞2
,x f x x ,
x ,x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩
当＜1x -时，()1f x ≥无解； 当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤
当＞2x 时，由()1f x ≥解得＞2x .
所以()1f x ≥的解集为{}
1x x ≥.
（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而 22212+1+235=--+2454
x x x x x x x x
x +---+≤--+⎛⎫ ⎪⎝
⎭≤ 且当32x =时，2512=4
x x x x +---+. 故m 的取值范围为5-，4⎛
⎤∞ ⎥⎝⎦.
【考点】 绝对值不等式的解法
【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
10.【2017江苏，21】
A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足.
求证：（1）;PAC CAB ∠=∠
（2）2AC AP AB =⋅.
【答案】见解析
【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，
所以PCA CBA =∠∠，
因为AB 为半圆O 的直径，
所以90ACB =︒∠,
因为AP ⊥PC ，所以90APC =︒∠，
所以PAC CAB ∠=∠.
（2）由（1）知APC ACB △∽△，故
AP AC AC AB
=， 所以2·AC AP AB = 【考点】圆性质，相似三角形
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A= ，B=.
（1）求AB ;
（2）若曲线22
1:182
x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程. 【答案】（1）（2）22
8x y +=
【解析】解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，
它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ,
则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002
x y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188
x y +=， 从而22
188
x y +=，即228x y +=. 因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线
2C ：228x y +=. 【考点】矩阵乘法、线性变换
【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（2）矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
变换下变成点(,)x y '' C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82
t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程
为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.
【解析】解：直线l 的普通方程为280x y -+=.
因为点P 在曲线C
上，设2(2,)P s ，
从而点P 到直线l 的的距离22
d ==
当s =min 5
d =.
因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值
5
. 【考点】参数方程化普通方程 【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．
D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）
已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤
【答案】见解析
【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +≤++，
因为22224,16,a b c d +=+=
所以2()64ac bd +≤，
因此8ac bd +≤.
【考点】柯西不等式
【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋
b 2
2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩
（t 为参数,a ＞0）． 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.
（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．
【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1
【解析】
试题分析：⑴先把cos 1sin x a t y a t
=⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程,再化为极坐标方程； ⑵2C ：()2224x y -+=,3C ：2y x =,1C ,2C 方程相减得24210x y a -+-=,这就是为3C 的方程,对照可得1a =.
试题解析：⑴ cos 1sin x a t y a t
=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01，
为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程
⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，
224x y x ∴+=,即()2
224x y -+= ② 3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C
①—②得：24210x y a -+-=,即为3C
∴210a -=,∴1a =
考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用
【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.
2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲
已知函数()123f x x x =+--.
（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像；
（II ）求不等式()1f x >的解集．
【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，
【解析】 试题分析：（I ）取绝对值得分段函数()4133212342
x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥,然后作图；（II ）用零点分 区间法分1x -≤,312x -<<,32
x ≥,分类求解,然后取并集 试题解析：⑴如图所示：
⑵ ()4133212342
x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ()1f x >,当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤
当312x -<<,321x ->,解得1x >或13
x < 113x -<<∴或312
x << 当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332
x <∴≤或5x > 综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，， 考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法
3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨
=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．
【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3
±
. 【解析】
试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程2
12cos 110.ρρα++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．
由||AB =得23
cos ,tan 8αα==，
所以l
的斜率为3
或3
-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.
4.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 已知函数11()||||22f x x x =-
++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．
【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I ）分12x <-，1122x -≤≤和12
x >三种情况去掉绝对值，再解不等式()2f x <，即可得集合M ；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，确定21a -和21b -的符号，从而证明不等式1a b ab +<+成立.
试题解析：（I ）12,,211()1,,2
212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
当12
x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122
x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥
时，由()2f x <得22,x <解得1x <.
所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.
（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，
从而22222222
()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，
因此|||1|.a b ab +<+
考点：绝对值不等式，不等式的证明.
【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.
(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．
5. 【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴
为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4
ρθπ+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2
213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22
． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线1C 的参数方程普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立||()PQ d α=的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P 坐标即可．
考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．
【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．
6. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲
已知函数()|2|f x x a a =-+．
（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；
（II ）设函数()|21|g x x =-．当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[2,)+∞．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式|()|()h x a a h x a ≤⇔-≤≤，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解()()f x g x +的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于a 的不等式求解即可．
试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.
解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤，
因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分
（Ⅱ）当x ∈R 时，
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12
x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分
当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解；
当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥，
所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分
考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用． 【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对||a b a b ≥＋－，当且仅当0a b >>－时，等号成立，对||a b a b a b ≤≤－－＋，如果0a b <<－，当且仅当a b ≥且0ab ≥时左边等号成立，当且仅当0ab ≤时右边等号成立．。