第三章刚体和流体的运动(1)

J = ∫ r dm = 2πρL ∫
0
1 r dr = πρLR 4 2
3
M = ρπR 2 L
MR 2 J= 2
与圆柱的长度L无关！ 与圆柱的长度L无关！ 长度 决定刚体转动惯量的因素： 决定刚体转动惯量的因素： （1）刚体总质量（2）质量分布（3）给定轴的位置 刚体总质量（ 质量分布（
平行轴定理
转轴
转轴固定不动时： 转轴固定不动时：定轴转动 刚体内各个质点在运动中 都绕同一直线做圆周运动
：转动
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自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标 数目。 位置所需要的独立坐标的 自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。
1 个 自 由 度 2 个 自 由 度 3 个 自 由 度
r
P
Fi sin ϕi + Fi ' sin θi = ∆mi riα
2
Fi ri sin ϕi + Fi ' ri sin θi = ∆mi ri α
对刚体内所有质点求和， 对刚体内所有质点求和，内力矩为零
dω ∑Fi ri sin ϕi = (∑∆mi ri )α Mz = (∑∆mi ri )α = Jα = J dt i
2
2
刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 角加速度 大小成正比 正比， 转动惯量成反比。 大小成正比，与转动惯量成反比。
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平动（沿固定方向） 平动（沿固定方向） 位置：x 速度：v=dx/dt 加速度：a=dv/dt 质量：m 牛二律：F=ma
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转动、 1 转动、定轴转动的功能关系
在现代柔道中，懂得物理 学知识的运动员能打败比自己 强壮但不懂物理学的对手。 这一事实表现在“臀摔” 动作中，其中一个运动员把他 的对手绕着自己的髋关节转动 并摔倒在垫子上。 不适当地应用物理学，摔 倒对手就需要相当大的力并容 易失败。那么物理学提供的好 处是什么？
J = J CM + MD
2
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r = x2 + y2
x = x'+ xCM
y = y '+ yCM
J = ∫ r 2 dm = ∫ ( x 2 + y 2 )dm = ∫ (( x'+ xCM ) 2 + ( y '+ yCM ) 2 )dm J = ∫ [( x' ) 2 + ( y ' ) 2 ]dm + 2 xCM ∫ x' dm + 2 yCM ∫ y ' dm + ∫ ( xCM + yCM )dm
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转动惯量 组成刚体的各质点质量与各自到转轴的距离平方的乘积之和。 组成刚体的各质点质量与各自到转轴的距离平方的乘积之和。 质点质量与各自到转轴的距离平方
J = ∑ ri 2 ∆mi
dm = ρdV
2
J = ∫ r 2 dm
dV = LdA = L(2πrdr )
R
为了把80kg的对手用“臀摔”摔倒，你需要以你的髋关节 为支点（转轴）用一个力拉对手的手臂。如果完成这一动 作的力臂为0.3m，摔时角加速度为-6.0rad/s2。假设对手对 支点的转动惯量为15kgm2。 （a）如果在摔之前，你迫使对手弯腰使他的质心和你的髋 关节重合，求此时所需要的力。 （b）如果摔之前你的对手仍然站立着，以致他的重心对支 点具有一个0.12m的力臂，此时你所需的力为多大？
2 2
0
0
J = J CM + MD 2
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定轴转动定律
ω,α
z
F i + F i ' = ∆mi ai
内力 r F' i 外力 r
θi
ϕi
o
F i
质点法向力的作用线是通 质点法向力的作用线是通 法向力 过转轴的， 力矩为零， 过转轴的，其力矩为零， 可以不予考虑。 可以不予考虑。
力矩： 力矩：力对给定转轴的力矩 r r F ω F r 1 F2
φ
o d P
r r r 定点力矩： M = r × F r r r M 垂直 F 和 r 构成的平面。
力臂： 力臂：轴到 力的作用线 的垂直距离
Mz = F2r sin φ = F2d
Mz 只有两个方向，可用正负表示，根据右手螺旋定则来确定。
1 - 1 刚体 、 平动和转动
离始终保持不变。 始终保持不变。 不变
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刚体：无论受到多大的外力作用，系统内任意两质点间的距 任意两质点间的 刚体：无论受到多大的外力作用，系统内任意两质点间的距
刚体内任何一条给定的直线， 平动：刚体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持方向不变。 在运动中始终保持方向不变。 任意时刻，平动刚体上各 任意时刻，平动刚体上各 点的速度和加速度都 点的速度和加速度都相同 速度
z
刚体：平动和 刚体：平动和转动
z
pψ
6个自由度
x
o
θ C(x,y,z) y o
x
ϕ
y
物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式 物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式 几个自由度 运动定律就可归结为
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1 - 2 力矩 、 转动惯量 、 定轴转动定律
M 受到多个力的作用时： z = F1d1 + F2d2 + F3d3 +K （代数和）北京师范大学珠海分源自 工程技术学院角速度及角加速度
角量与线量的关系 r r y ω v r r 0
x
r r v v = ω ×r
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恒定加速度下 恒定加速度下，直 线运动与 线运动与定轴转动 的运动学方程对应
(a)
F=
− d1 F = Jα
Jα = 300 N − d1
(b)
F=
− d1 F + d 2 mg = Jα
d 2 mg − Jα = 614 N d1
要尽量使对手的质心与你的髋关节重合
对于一张常规的光盘，激光头扫描的速度为 1.3m/s，CD沿逆时针方向转动。求(a)扫描光盘 最内侧（23mm）和最外侧（58mm）时的角速 度。(b)一张常规CD的最长播放时间约为74分钟 33秒，在此过程中CD转了多少转？(c)假设这一 过程的角加速度恒定，则角加速度为多少？
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转动（绕固定轴） 转动（绕固定轴） 角位置：θ 角速度：ω=dθ/dt 角加速度：α=dω/dt 转动惯量：J 定轴转动定律：M=Jα
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CD光盘以坑点序列的方式来储存音乐数据。当激光头读取这些
信息的时候，无论在光盘的什么位置，都要保证激光头扫过单 位长度的坑时所用时间相同，即含有信息的坑的线速度要相同。 因此光盘在播放不同歌曲时，看起来转动的快慢会不一样。