5.4 数据的波动(二)教案 新课标

§5.4(2) 数据的波动（二）
教学目标
1．知识目标：进一步用极差、方差、标准差解决实际问题.
2．能力目标：通过用极差、方差、标准差对实际问题的解决，培养学生解决问题能力.
3．情感目标：通过解决现实生活中的实际问题，提高学生数学统计意识及合作意识. 教学重点
会根据极差、方差、标准差的计算结果对实际问题作出解释
教学难点
计算极差、方差、标准差
教学方法
引导探索法
教学过程
1．创设情景，自然引入
在人们在实际生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即相对于“平均水平”的离散程度，我们常用的表示数据波动大小的量有极差、方差、标准差，一般而言，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定.
2．设问质疑，探究尝试
2002年5月31日，A、B两地的气温变化如下图5.4（1），图5.4（2）所示：
（1）这一天A 、B 两地的平均气温分别是多少？
（2）A 地这一天气温的极差、方差分别是多少？B 地呢？ （3）A 、B 两地气候各有什么特点？ 分析：（1）从2002年5月31日，A 地的气温变化图可读取数据：
18 ℃, 17.5 ℃, 17 ℃, 16 ℃, 16.5 ℃, 18 ℃, 19 ℃, 20.5 ℃, 22 ℃, 23 ℃, 23.5 ℃, 24 ℃, 25 ℃, 25.5 ℃, 24.5 ℃, 23 ℃, 22 ℃, 20.5 ℃, 20 ℃, 19.5 ℃, 19.5 ℃, 19 ℃, 18.5 ℃, 18 ℃. 所以A 地平均气温：
x A =20+
24
1
［－2－2.5－3－4－3.5－2－1+0.5+2+3+3.5+4+5+5.5+4.5+3+2+0.5+0－0.5－0.5－1－1.5－2］=20+24
1
×10=20.4（℃）
同理可得B 地的平均气温为
x B =21.4（℃）
（2）A 地这一天的最高气温是25.5 ℃,最低气温是16 ℃,极差是25.5－16=9.5（℃）.
B 地这一天的最高气温是24 ℃,最低气温是18 ℃,极差是24 ℃－18 ℃=6 ℃. 用计算器的统计功能可算出： s A 2=7.763889. s B 2=2.780816 s A 2＞s B 2.
通过计算方差，我们不难发现，A 、B 两地气温的特点： A 地：早晨和深夜较凉，而中午比较热； B 地：一天气温相差不大，而且比较平缓. 3．变式训练，巩固提高
（1）某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛.在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位:cm ）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 ①他们的平均成绩分别是多少？
②甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？ ③这两名运动员的运动成绩各有何特点？
④历届比赛表明，成绩达到5.96 m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m 就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛.
解：①甲、乙两人的平均成绩为：
x 甲=
101
［585+596+610+598+612+597+604+600+613+601］=601.6（cm ）； x 乙=101
［613+618+580+574+618+593+585+590+598+624］=599.3（cm ）.
②s 甲2=65.84.
s 乙2=284.21 s 甲2＜s 乙2
③由上面方差的结果可知：甲队员的成绩比较稳定；乙队员的成绩相对不稳定.但甲队员的成绩不突出；乙队员和甲队员相比比较突出.
④由历届比赛的分析表明，成绩达到5.96 m 很可能达冠.从平均值分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能.但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大.
但如果从历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m 就能打破记录，因此，要打破记录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，因此，为了打破记录，应选乙队员参加这项比赛.
（2）做一做
①两人一组，在安静的环境下，一人估计1 min 的时间，另一人记下实际时间，将结果记录下来.
②在吵闹的环境中，再做一次这样的试验. ③将全班的结果汇总起来，并分别计算安静状态和吵闹环境下估计结果的平均值和方差. ④两种情况下的结果是否一致？说说你的理由. 4．总结串联，纳入系统
通过用极差、方差、标准差对实际问题的解决，体现了数学的优越性.
教学检测
一、请你选一选
1．如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的 （ ）
A.平均数和方差都不变
B.平均数不变，方差改变
C.平均数改变，方差不变
D.平均数和方差都改变 2．已知一组数据的方差是4，则这组数据的标准差是 （ ）
A.2
B.4
C.8
D.16
3．从A 、B 两班分别任抽10名学生进行英语口语测试，其测试成绩的方差是S A 2=13.2，
S B 2=26.36，则 （ ） A.A 班10名学生的成绩比B 班10名学生的成绩整齐
B.B班10名学生的成绩比A班10名学生的成绩整齐
C.A、B两班10名学生的成绩一样整齐
D.不能比较A、B两班学生成绩的整齐程度
二、请你填一填
1．已知一组数据1，2，3，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差是________.
2．已知数据7，9，19，a，17，15的中位数为13，则这组数的平均数为________，方差为________.
3．已知一个样本1，3，2，5，x,它的平均数是3，则这个样本的标准差是________.
4．已知一组数据－2，－1，0，x,1的平均数是0，那么这组数据的方差是________.
三、请你来计算
1．为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
(1)分别计算甲、乙两组数据的方差.
(2)你认为应选拔哪位同学参加射击比赛？为什么？
2．某班有甲、乙两名同学，他们某学期的五次数学测验成绩如下：
甲：76 84 80 87 73
乙：78 82 79 80 81
请问哪位同学的数学成绩较稳定.
3.某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所创的年利润（万元/人·年）如表（3）
所示，请表中提供的信息填空：
（1）该公司每人所创的年利润的平均数是万元；
（2）该公司每人所创的年利润的中位数是万元；
（3）该公司每人所创的年利润的众数是万元；
（4）你认为应该使用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平？
4.一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：
已经算得两个组的人均分数是80分，请你根据你学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由。

5．（2004年连云港）某小区响应市政府号召，开展节约用水活动，效果显著.为了解某居民
小区节约用水情况,随机对该小区居民户家庭用水情况作抽样调查,3月份较2月份的节
（1）试估计该小区3月份较2月份节水量不低于１吨的户数占小区总户数的百分比；
（2）已知该小区共有居民5000户，若把每组中各个节水量值用该组的中间值（如0.2~0.6的中间值为0.4）来代替,请你估计该小区3月份较2月份共节水多少吨？
参考答案
一、请你选一选
1．C 2．A 3．A 二、请你填一填
1．2 2．13 18.67 3．2 4．2
三、请你来计算
1．(1)甲、乙两组数据的方差分别为3和1.2
(2)因为甲、乙二学生的平均数相同，甲的方差比乙的方差大，所以乙学生的成绩比较稳定，应选乙学生参加射击比赛. 2．解：x 甲=
5
1
（76+84+80+87+73）=80 x 乙=
5
1
（78+82+79+80+81）=80. 所以s 甲2=26，s 乙2=2， s 甲2＞s 乙2.
所以乙同学的数学成绩较稳定. 3．根据平均数、中位数的定义可知x =
15
1
（20×1+5×1+2.5×2+2.1×4+1.5×2+1.5×2+1.2×3）=3.2（万元）；中位数为2.1（万元）；但众数不要忽视E 和F 部门的每人利润均为1.5万元，即有4人的年利润为2.1万元，也有4人的年利润为1.5万元，故众数为1.5和2.1万元；描述该公司每人所创年利润的一般水平时，若用平均数则有2人超过，不能代表一
般性，因此选用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平。

4．（1）由于甲组、乙组学生的成绩平均分相同，从这个角度看，分不出谁优谁次；
（2）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较，甲组的成绩好些；
（3）计算得S 甲2 =172，S 乙2 =256，∵S 甲2 ＜S 乙2
∴甲组的成绩比乙组的成绩稳定。

（4）甲组、乙组学生的成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度上讲，甲组的成绩总体较好；
（5）从成绩统计表看，甲组成绩不低于90分的有20人，乙组成绩不低于90分的有24人，且得满分的人数甲组6人，乙组12人，从高分段的人数看，乙组的成绩较好。

5．解:（1）3月份较2月份节水量不低于1吨的用户数为35 + 30 + 10 = 75，
又样本总量为5 + 20 + 75 = 100(户),故所求的百分比为100
75
= 75%． （2）节水量各组的中间值依次为0.4,0.8,1.2,1.6,2.0．
故抽样的100户总节水量约为0.4×5 + 0.8×20 +1.2×35 +1.6×30 +2.0×10 =128(吨)． 所以全小区居民户的总节水量约为100
5000
128
= 6400(吨). 从以上分析可以发现，解这些题目的关键是认真阅读题意，看懂图表，从不同的角度充分利用图表信息,揭示问题的数量关系和本质属性，从而使问题获解。