2022年山东省聊城市冠县中考数学二模试题及答案解析

2022年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数是负分数的是( )
C. −1.5
D. 0
A. −7
B. 1
2
2. 如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是( )
A. 主视图和左视图
B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图
D. 三个视图均相同
3. 一个水分子的质量大约为3×10−23克，一滴水的质量大约为0.05克．则一滴水大约含
______个水分子．( )
A. 1.67×1021
B. 1.5×1021
C. 6×10−21
D. 1.67×1025
4. 用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图( )
A. 作一条线段等于已知线段
B. 作一个角等于已知角
C. 作一个角的平分线
D. 作一条线段的垂直平分线
5. 舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：
①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；
②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；
③按统计表的数据绘制折线统计图；
④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．
正确统计步骤的顺序是( )
A. ②→③→①→④
B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③
D. ②→④→③→①
6. 计算31，32，33，34，35，36，并观察这些幂的个位数字，根据你发现的规律，判断32022的个位数字跟______的个位数字相同．( )
A. 31
B. 32
C. 33
D. 34
7. 关于x的一元二次方程5x2+a(1−x)=3x+1，如果有一个根为0，那么另一个根为( )
A. 1
B. 5
4
C. 4
5
D. −4
5
8. 如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB).已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走米( )
A. 6π−6√3
B. 6π−9√3
C. 12π−9√3
D. 12π−18√3
9. 如果不等式组{x−b>0
x−b<1的解集中任何一个x的值均在2≤x≤5的范围内，则b的取值范围是( )
A. b<2
B. 2<b<4
C. 2<b≤4
D. 2≤b≤4
10. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，与y轴交于(0,2)，且顶点在第一象限，那么下列结论：①a+c=b；②x=−1是方程ax2+bx+c=0的解；③abc>0；④c−a> 2，其中正确的结论为( )
A. ①②③
B. ②③④
C. ①②④
D. ①②③④
11. 图(1)，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一周，图(2)是点P运动时，线段AP的长度y(cm)随运动时间x(秒)变化的关系图象，则图(2)中P点的坐标是( )
A. (13,4.5)
B. (13,4.8)
C. (13,5)
D. (13,5.5)
12. 如图，点A，B在反比例函数y=k
(k>0,x>0)的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴
x
OD，AC=AE，则k的值为( )
于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE.若OE=1，OC=2
3
A. 2
B. 3√2
2
C. 9
4
D. 2√2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. (√15+2√5)÷√5=______．
14. 有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁，现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是______ ．
15. 用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为______．
16. 某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点)，则图中∠A的度数是______度．
17. 如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．
三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
先化简再求值(3x−1
x+2−x−1
x+2
)÷x
x2−4
，其中x=5．
19. (本小题9.0分)
我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种.为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种.图1与图2是根据此次调查得到的统计图(不完整)．
请根据统计图回答下列问题
(1)此次抽样调查的人数是多少人？
(2)接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
(3)请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
(4)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2
名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和
一女的概率是多少．
20. (本小题8.0分)
一张方桌由一个桌面和四条腿组成，如果1立方米料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请设计一个方案，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
21. (本小题8.0分)
如图，已知M在正方形ABCD的一边BC上，连接AM，并过点M作MN⊥AM，交正方形ABCD的外角∠DCE的平分线于点N.求证：AM=MN．
22. (本小题8.0分)
如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机
测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15√3米.
(1)求此时无人机的高度；
(2)在(1)条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？(假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据：tan75°=2+√3，tan15°=2−√3.计算结果保留根号)
23. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y=4
的图象交于P，
x
D两点.以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．
24. (本小题10.0分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
(1)求证：∠ACF=∠B；
(2)若AB=BC，AD⊥BC于点D，FC=4，FA=2，求AD⋅AE的值．
25. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2−2x+c(a≠0)与x轴交于A、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
(3)已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】A.−7是负整数，故A错误，不符合题意；
B.1
是正分数，故B错误，不符合题意；
2
C.−1.5=−3
是负分数，故C正确，符合题意；
2
D.0既不是正数也不是负数，故D错误，不符合题意．
故选：C．
理解负分数的定义．
本题考查了负分数，解决本题的关键是理解负分数的定义．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，关键是得到该几何体的三视图．
先得到该几何体的三视图，再进行判断即可．
【解答】
解：如图所示：
故该组合体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：0.05×(3×10−23)≈1.67×1021，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，
n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：作三角形的外接圆时，先作三条边的垂直平分线，则它们的交点为三角形外接圆的圆心，这个交点到三角形顶点的距离为这个圆的半径．
故选：D．
根据三角形外接圆的圆心的性质得到圆心为三角形三边的垂直平分线的交点．
本题考查了作图−复杂作图：熟练掌握基本作图是解决题目的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和圆周角定理．
5.【答案】D
【解析】解：正确统计步骤的顺序是：从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；
整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表；
按统计表的数据绘制折线统计图；
从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势．
故选：D．
根据折线统计图的制作步骤即可求解．
本题是一道统计型题目，解题的关键是熟悉折线统计图的制作步骤．
6.【答案】B
【解析】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，……，
∴3的幂的个位数字每4次运算循环一次，
∵2022÷4=505…2，
∴32022的个位数字跟32=9的个位数字相同，
故选：B．
分别求出3的幂的部分运算结果，从而可得个位数字每4次运算循环一次，由此可求解．
本题考查数字的变化规律，通过计算，发现尾数的循环规律是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程5x2+a(1−x)=3x+1的一个根是0，
∴x=0满足关于x的一元二次方程5x2+a(1−x)=3x+1，
∴a=1，
∴关于x的一元二次方程为5x2−4x=0，
又由根与系数的关系知0+x2=4
5
，
解得x2=4
5，即方程的另一根为4
5
．
故选：C．
根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程5x2+a(1−x)=3x+1，求得a的值，再利用根与系数的关系求得方程的另一根．
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
8.【答案】D
【解析】解：如图，OA=OB=18，作OC⊥AB于点C，
则AC=BC，
∵OA=OB，∠AOB=120°
∴∠A=∠B=1
2
(180°−∠AOB)=30°，
在Rt△AOC中，OC=1
2
OA=9米，
AC=√182−92=9√3米，
∴AB=2AC=18√3米，
=12π米，
又∵AB⏜的长=120×π×18
180
∴走便民路比走观赏路少走(12π−18√3)米，
故选：D．
作OC⊥AB于点C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出AB⏜的长，最后求它们的差即可．本题考查了弧长的计算，垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
9.【答案】D
【解析】解：由x−b>0，得：x>b，
由x−b<1，得：x<b+1，
∵解集中任何一个x的值均在2≤x≤5的范围内，
∴b≥2且b+1≤5，
∴2≤b≤4，
故选：D．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：把(−1,0代入y=ax2+bx+c，得a−b+c=0，
∴a+c=b，
故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，
∴当x=−1时，a−b+c=0，
∴当x=−1时，方程ax2+bx+c=0成立，
∴x=−1是方程ax2+bx+c=0的解，
故②正确；
由于函数图象开口向下知，a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴∴，
∴c>0，
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴−b
>0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，
故③错误；
∵抛物线与与y轴交于(0,2)，
∴c=2，
∵a<0，
∴c−a>2，
故④正确；
故选：C．
把(−1,0)代入抛物线的解析式，便可判断①的正误；根据二次函数与一元二次方程的关系，便可判断②的正误；由抛物线的开口方向确定a的正负，再根据顶点坐标的位置，可以确定b的正负，由抛物线与y轴交点位置，可以确定c的正负，于是便可判断③的正误；把(0,2)代入抛物线的解析式，便可求得c的值，结合a的正负便可判断④的正误．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：由图象可知：AB=8，BC=18−8=10，
当x=13时，即点运动了13>8，
∴此时点P在线段BC上，BP=13−8=5，
则P点为BC的中点，
又因为∠A=90°，
BC=5．
所以AP=1
2
所以图(2)中P的坐标为(13,5)．
故选：C ．
图(2)中的图象有三段，正好对应图(1)中的线段AB ，BC ，AC ，所以AB =8，BC =10，当x =13时，则P 点为BC 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时AP 的长度，即图(2)中点P 的纵坐标y ．
本题考查了动点问题的函数图象，解题时注意图(2)中的点P 的y 并不是最小值，另外不要求成图(1)中的点P 的坐标．
12.【答案】B
【解析】解：∵BD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥y 轴于点E ，
∴四边形BDOE 是矩形，
∴BD =OE =1，
把y =1代入y =k x ，求得x =k ， ∴B(k,1)， ∴OD =k ， ∵OC =23OD ，
∴OC =23k ，
∵AC ⊥x 轴于点C ，
把x =23k 代入y =k x 得，y =32
， ∴AE =AC =32，
∵OC =EF =23k ，AF =32−1=12，
在Rt △AEF 中，AE 2=EF 2+AF 2，
∴(32)2=(23k)2+(12)2，解得k =±3√22
， ∵在第一象限，
∴k =3√22， 故选：B ．
根据题意求得B(k,1)，进而求得A(23k,32)，然后根据勾股定理得到∴(32)2=(23k)2+(1
2
)2，解方程即可求得k 的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，表示出线段的长度是解题的关键．
13.【答案】√3+2
【解析】解：(√15+2√5)÷√5
=√15÷√5+2√5÷√5
=√3+2，
故答案为：√3+2．
利用二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】1
4
【解析】解：列表如下：(其中1，2，3，4分别表示四把钥匙，a，b表示四把锁，1能开启a，2能开启b)，
所有等可能的情况有8种，任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况有2种，(1,a)，(2,b)，
则P=2
8=1
4
．
故答案为：1
4
列表得出所有等可能的情况数，找出任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】10cm
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r cm，依题意，得
2πr=120π×30
180
，
解得r=10．
故答案为10cm．
圆锥的底面圆半径为r cm，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
16.【答案】36
【解析】解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，
=108°，
∴∠GFN=∠FNM=(5−2)×180°
5
∴∠AFN=∠ANF=180°−∠GFN=180°−108°=72°，
∴∠A=180°−∠AFN−∠ANF=180°−72°−72°=36°．
故答案为：36．
正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN=
∠ANF=72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．
本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形FGHMN是正五边形是解题关键．
17.【答案】3√2+1
【解析】
【分析】
当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD 于F，根据切线的性质得到OE=OF=1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
本题考查了切线的性质，正方形的性质以及勾股定理，推出当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大是解题的关键．
【解答】
解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE=OF=1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC=√2BC=4√2，OC=√2OE=√2，
∴AO=AC−OC=4√2−√2=3√2，
∴AQ=OA+OQ=3√2+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3√2+1，
故答案为3√2+1．
18.【答案】解：原式=2x
x+2⋅(x+2)(x−2)
x
=2(x−2)
=2x−4，
当x=5时，原式=2×5−4=6．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：(1)此次抽样调查的人数为：20÷10%=200(人)；
(2)接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%=40%，
接种C类疫苗的人数为：200×15%=30(人)；
(3)18000×(1−35%)=11700(人)，
即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．
(4)画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为1220=3
5． 【解析】(1)由B 类的人数除以所占百分比即可求解；
(2)由接种B 类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出此次抽样调查的人数所占的百分比，再由此次抽样调查的人数乘接种C 类疫苗的人数所占的百分比即可；
(3)由该小区所居住的总人数乘A 、B 、C 三类所占的百分比之和即可；
(4)画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：设用x 立方米木料做桌面，用y 立方米木料做桌腿，则恰好配成方桌50x 张，
依题意得：{x +y =550x =300y 4
， 解得：{x =3y =2
， ∴50x =150．
答：用3立方米木料做桌面，用2立方米木料做桌腿，恰好配成方桌150张．
【解析】设用x 立方米木料做桌面，用y 立方米木料做桌腿，则恰好配成方桌50x 张，根据制作桌面和桌腿的木料共5立方米且一张方桌由一个桌面和四条腿组成，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出x ，y 的值，再将x 的值代入50x 中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】证明：在边BA 上截取BF =BM ，连接MF ，如右图所示，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD =90°，
∵BF =BM ，
∴AF =MC ，∠BFM =45°，
∴∠AFM=135°，
∵CN平分∠DCE，
∴∠MCN=135°，
∴∠AFM=∠MCN，
∵∠ABM=90°，AM⊥MN，
∴∠FAM+∠AMB=∠CMN+∠AMB=90°，∴∠FAM=∠CMN，
在△FAM和△CMN中，
{∠FAM=∠CMN AF=MC
∠AFM=∠MCN
，
∴△FAM≌△CMN(ASA)，
∴AM=MN．
【解析】要证明AM=MN，只要证明△FAM和△CMN全等即可，然后根据正方形的性质可以得到两个三角形全等的条件，从而可以证明三角形全等，然后即可证明结论成立．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：(1)过点
D作DE⊥AB于点E，过
点C作CF⊥DE于点F，
如图所示：
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB=45米，
∠DAE=75°，∠DCF=
45°，
在Rt△ADE中，∠AED=
90°，
∴tan∠DAE=DE
AE
，
∴AE=DE
tan75∘=DE
2+√3
，
∵四边形BCFE是矩形，
∴EF=BC=15√3米，FC=BE，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴CF=DF=DE−15√3，
∴AB=AE+BE=DE
2+√3
+DE−15√3=45，∴DE=15(2+√3)(米)，
答：此时无人机的高度为15米．
(2)∵DE=15(2+√3)米，
∴AE=DE
2+√3=15(2+√3)
2+√3
=15(米)，
过D点作DG//AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=45米，BC=15√3米，
∴tan∠BAC=BC
AB =15√3
45
=√3
3
，
在Rt△AGH中，GH=DE=15(2+√3)米，
AH=GH
tan∠GAH =15(2+√3)
√3
3
=(30√3+45)米，
∴DG=EH=AH−AE=30√3+45−15=(30√3+30)米，
(30√3+30)÷5=(6√3+6)(秒)，
答：经过(6√3+6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【解析】(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB=45米，∠DAE=75°，∠DCF=45°，再由锐角三角函数定义表示出AE的长，然后表示求出CF=BE的长，进而得到AE+ BE=DE
2+√3
+DE−15√3=45，即可求得DE．
(2)求得AH，即可求得DG=EH，进而即可求得无人机刚好离开操控者的视线所用的时间．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)过点D作DH⊥OA于点H，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∵∠DAH+∠BAO=90°，
∴∠BAO =∠ADH ，
又∵AB =AD ，∠AOB =∠DHA =90°，
∴△ABO≌△DAH ，
∴DH =AO ，BO =AH ，
对直线y =kx +b ，当x =0时，y =b ，
∴A(0,b)，OA =b ，
设D(a,4a )，则DH =a ，OH =4a
， ∵△BOD 的面积与△AOB 的面积之比为1：4．
∴OA =4OH ，
∴b =4×4a ，化简得：ab =16，
又∵DH =AO ，即：a =b ，
∴a 2=16，
解得：a 1=4，a 2=−4，
∴b =4，
∴A(0,4)，D(4,1)，
把点A(0,4)，D(4,1)代入y =kx +b ，得：
{b =44k +b =1，解得：{k =−34b =4
， ∴一次函数的表达式为：y =−34
x +4． (2)由{y =−34x +4y =4x ，得：{x 1=4y 1=1,{x 2=43y 2=3， ∴P(43,3)，
∵正方形ABCD 的顶点A(0,4)，D(4,1)，B(−3,0)，
∴C(1,−3)，
∴PC =√(43−1)2+(3+3)2=5√133， ∵△PCD 为直角三角形，且∠PDC =90°，
∴线段PC 是△PCD 的外接圆直径，
∴△PCD 外接圆半径为：5√136
．
【解析】(1)作DH⊥OA于点H，得到△ABO≌△DAH，结合面积比，求出k，b，得到一次函数表达式；
(2)联立一次函数和反比例函数，求出点P坐标，由直角三角形PDC和“90°的圆周角所对的弦是直径”得到△CPD外接圆的半径．
本题考查了正方形的性质、一次函数解析式和90°的圆周角所对的弦是直径，其中通过作辅助线构造全等三角形求出点A、D是这个题目的突破点．
24.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠OCA+∠OCE=90°，
∴∠ACF=∠OCE=∠E，
∵∠B=∠E，
∴∠ACF=∠B；
(2)解：∵∠ACF=∠B，∠F=∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴CF BF =AF
CF
=AC
BC
，
∵AF=2，CF=4，
∴4BF =24，
∴BF =8，
∴AB =BC =8−2=6，AC =3，
∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB =∠ACE =90°，
∵∠B =∠E ，
∴△ABD∽△AEC ，
∴AB AE =AD AC ，即AE ⋅AD =AB ×AC =6×3=18．
【解析】(1)如图1，连接OC ，先根据切线的性质和同圆的半径相等，及等边对等角可得：∠ACF =∠OCE =∠E ，从而得结论；
(2)证明△ACF∽△CBF ，得BF =8，再证明△ABD∽△AEC ，列比例式可得结论．
此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，第二问证明△ACF∽△CBF 列比例式计算BF 的长是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)将点B(3,0)，C(0,−3)分别代入y =ax 2−2x +c 中，得：{9a −2×3+c =0c =−3
，解得{a =1c =−3
， ∴抛物线得函数关系为y =x 2−2x −3；
(2)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =−
b 2a =1，
故设点P(1,m)，
设点Q(x,0)，
当以点P 、Q 、B 、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形时，
点C 向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B ，同样P(Q)向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q(P)，
则1±3=x 且m ±3=0，
解得{m =−3x =4或{m =3x =−2
， 故点P 、Q 的坐标分别为(1,−3)、(4,0)或(1,3)、(−2,0)；
(3)当y=0时，x2−2x−3=0，解得：x1=−1，x2=3，∴A(−1,0)，
又y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线得顶点D得坐标为(1,−4)，
∵C(0,−3)、B(3,0)、D(1,−4)，
∴BD2+22+42=20，CD2=12+12，BC2=32+32，∴BD2=CD2+BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD=90°，
设点M得坐标(m,0)，则点G得坐标为(m,m2−2m−3)，
根据题意知：∠AMG=∠BCD=90°，
∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：AM
MG =BC
CD
或AM
MG
=CD
BC
，
①当m<−1时，此时有：−1−m
m2−2m−3=√2
√2
−1−m
m2−2m−3
=√2
3√2
，
解得：m1=8
3
，m2=−1或m1=0，m2=−1，都不符合m<−1，所以m<−1时无解；
②当−1<m≤3时，此时有：m+1
−(m2−2m−3)=√2
√2
m+1
−(m2−2m−3)
=√2
3√2
，
解得：m1=8
3
，m2=−1(不符合要求，舍去)或m1=0，m2=−1(不符合要求，舍去)，
∴M(8
3
,0)或M(0,0)，
③当m>3时，此时有：m+1
m2−2m−3=√2
√2
或m+1
m2−2m−3
=√2
3√2
，
解得：m1=10
3
,m2=−1(不符合要求，舍去)或m1=6，m2=−1(不符要求，舍去)，
∴点M(6,0)或M(10
3
,0)，
答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M的坐标为：M(0,0)或M(8
3
,0)或
M(6,0)或M(10
3
,0)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P(Q)向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q(P)，即可求解；
(3)要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：AM
MG =BC
CD
或AM
MG
=CD
BC
，进而求
解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。