2016届安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试题(文科)(解析版)

2016 年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12 个题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只
有一项为哪一项切合题目要求
的．
1．已知全集 U={0 ，1，2，3，4} ，会合 A={0 ，2，4} ，B={1 ，2，3} ，则 A ∩（ ?U B）为（）A．{0， 4}B．{2 ，3，4}C．{0， 2，4}D．{0 ， 2， 3， 4}
2．已知 i 为虚数单位，若复数 i?z=﹣ i，则 |z|=（）
A ． 1B．C．D． 2
3．已知双曲线C：﹣=1（ a＞0，b＞ 0）的渐近线方程为 y= ± x，则其离心率为（）
A ．B．C．D．
4．已知，是不共线的向量，=λ + ，=+μ（λ、μ∈R），那么 A 、B 、C 三点共线的充要条件为（）
A ．λ+μ=2
B ．λ﹣μ=1C．λμ=﹣ 1 D ．λμ=1
5．某同学先后扔掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系 xoy 中，以（ x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1 上的概率为（）
A ．B．C．D．
6．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，若输入 n 的值为 4，则输出 S 的值为（）
A．20 B．40C．77D．546
7．已知等比数列{a n} 的前 n 项和为 S n，若 a2?a3=2a1，且与a7的等差中项为，则S4=
（）
A．32 B．31C．30D．29
8．函数的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，要获取函数g（x） =Acos ωx 的图象，只要将f（ x）的图象（）
A ．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
9．某几何体的三视图以下图，则其表面积为（）
A ．
B ．9πC．D． 10π
10．设函数 f （x） =，则f（f（log212））=（）
A．1B．2C．3D．4
11．已知变量x， y 知足拘束条件，则的取值范围是（）
A ．B．C．D．
12．坐标平面上的点集S 知足
S=，将点集S 中的所有点向y 轴作投影，所得投影线段的总长度为（）
A ． 1B．C． D ．2
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分．
13．命题，则 ?p：．
14．已知抛物线y2 =2px（ p＞0），过其焦点且斜率为
段 AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为2 的直线交抛物线
于．
A 、
B 两点，若线
15．已知 f （ x）是 R 上的奇函数，f（ 1）=1，且对随意x∈R 都有 f （ x+6） =f （ x） +f （ 3）成立，则f=．
16．已知函数 f （ x）=，对随意t∈（ 0，+∞），不等式f（ t）＜kt恒成立，则实数k 的取值范围是．
三、解答题：本大题共 5 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC 积中，角
．
A ，
B ，
C 的对边分别为a， b， c，且2c?cosB=2a+b ，若△ABC的面
（Ⅰ）求 C 的度数； （Ⅱ）求 ab 的最小值．
18．对某产品 1 至 6 月份销售量及其价钱进行检查，
其售价 x 和销售量 y 之间的一组数据如
下表所示：
月份 i
1 2 3 4 5 6 单价 x i （元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量 y i （件）
11
10
8
6
5
14
（Ⅰ）依据 1 至 5 月份的数据，求出
y 对于 x 的回归直线方程；
（Ⅱ）若由回归直线方程获取的估计数据与剩下的查验数据的偏差不超出 0.5 元，则以为所
获取的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程能否理想？
（Ⅲ）估计在此后的销售中，销售量与单价仍旧听从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是 2.5 元 /件，为获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？（收益
=销售收入﹣成本） ．
参照公式：回归方程 ，此中 = ．参照数据： ，
．
19．如图，在直三棱柱 ABC ﹣ A 1B 1C 1 中， AD ⊥平面 A 1BC ，其垂足 D 落在直线 A 1B 上． （Ⅰ）求证： BC ⊥ A B ；
1 （Ⅱ） 若 P 是线段 AC 上一点， ，AB=BC=
2 ，三棱锥 A 1﹣PBC 的体积为
，求
的值．
20．已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C ：x 2
+
=1 在 y 轴正半轴上的焦点， 过 F 且斜率为﹣
的直线 l 与 C 交与 A 、 B 两点，四边形 OAPB 为平行四边形．
（Ⅰ）证明：点 P 在椭圆 C 上；
（Ⅱ）求四边形 OAPB 的面积．
21．已知函数 f （ x） =e x
﹣ax（ a 为常数）的图象与y 轴交于点 A ，曲线 y=f （ x）在点 A 处
的切线平行于 x 轴．
（Ⅰ）求 a 的值及函数 y=f （ x）的极值；
（Ⅱ）若不等式 xf （ x）＞ 3lnx+ （ k﹣3） x 在 x≥3时恒成立，证明： k＜ e 3
﹣1．
[选修 4-1：几何证明选讲]
22．以下图，点 P 是圆 O 直径 AB 延伸线上的一点， PC 切圆 O 于点 C，直线 PQ 均分∠ APC ，分别交 AC 、BC 于点 M 、N ．求证：
（1）△ CMN 为等腰三角形；
（2） PB?CM=PC ?BN ．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线 C 的参数方程为（α为参数），直
线
l 的参数方程为
（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l 截曲线 C 所得的弦长．
[选修 4-5：不等式选讲]
24．已知函数 f （ x） =|x﹣ 3|﹣ 2|x+a|
（Ⅰ）当a=3 时，求不等式 f （ x）＞ 2 的解集；
（Ⅱ）若 f （ x） +x+1 ≤0 的解集为A ，且 [ ﹣ 2，﹣ 1]? A，求 a 的取值范围．
2016 年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（文
科）
参照答案与试题分析
一、选择题：本大题共12 个题，每题 5 分，共 60分．在每题给出的四个选项中，只
有一项为哪一项切合题目要求
的．
1．已知全集 U={0 ，1，2，3，4} ，会合 A={0 ，2，4} ，B={1 ，2，3} ，则 A ∩（ ?U B）为（）A．{0， 4}B．{2 ，3，4}C．{0， 2，4}D．{0 ， 2， 3， 4}
【考点】交、并、补集的混淆运算．
【剖析】依据全集 U 、会合 B 和补集的运算求出 ?B
，再由交集的运算求出A ∩B
即可．
U?U 【解答】解：∵全集 U={0 ， 1， 2， 3， 4} ， B={1 ， 2， 3} ，
∴?U B={0，4}，
∵会合 A={0 ， 2， 4} ，
∴A ∩（ ?U B） ={0 ， 4} ，
应选： A．
2i
为虚数单位，若复数i z=i
，则
|z|=
）
．已知?﹣（
A ． 1B．C．D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【剖析】设 z=a+bi ，代入 i?z=﹣i，求出a，b的值，进而求出|z|的模即可．
【解答】解：设 z=a+bi ，
若复数 i?z=﹣i，
即 i （a+bi ）=﹣ b+ai=
解得： a=﹣ 1， b=，
则|z|=，
﹣ i，
应选： C．
3．已知双曲线C：﹣=1（ a＞ 0，b＞ 0）的渐近线方程为 y= ± x，则其离心率为（）A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【剖析】双曲线 C 的渐近线方程为y=，因此便获取，因此便获取其离心率
e=．
【解答】解：由已知条件得：
；
∴；
即；
∴椭圆 C 的离心率为．
应选： A．
4．已知，是不共线的向量，=λ +，= +μ（λ、μ∈R），那么 A 、B 、C 三点共线的充要条件为（）
A ．λ+μ=2
B ．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣ 1 D ．λμ=1
【考点】向量的共线定理．
【剖析】若 A 、B 、 C 三点共线，则向量与平行，依据题中等式联合向量平行的充要
条件列式，即可找出使 A 、 B 、C 三点共线的充要条件．
【解答】解：若 A、 B、 C 三点共线，则向量∥
即存在实数 k，使得=k ，
∵ =λ + ，= +μ
∴λ + =k （ +μ），可得，消去 k 得λμ=1
即 A 、B、 C 三点共线的充要条件为λμ=1
应选： D
5．某同学先后扔掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系 xoy 中，以（ x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1 上的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【剖析】试验发生包括的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36 种结果，利用列举法求出满
足条件的事件包括的基本领件个数，依据古典概型的概率公式获取以（x，y）为坐标的点落
在直线 2x﹣ y=1 上的概率．
【解答】解：由题意知此题是一个古典概型，
∵试验发生包括的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36 种结果，
知足条件的事件是（x， y）为坐标的点落在直线2x﹣ y=1 上，
当 x=1 ， y=1， x=2， y=3； x=3， y=5 ，共有 3 种结果，∴依据古典概型的概率公式获取
以（ x， y）为坐标的点落在直线 2x﹣ y=1 上的概率：
P=．
应选： A．
6．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为（）
A．20 B．40 C．77 D．546【考点】程序框图．
【剖析】由图知，每次进入循环体后，S 的值被施加的运算是S=S+2k
+k ，故由此运算规律
进行计算，当 k=5 时不知足条件 k≤4，退出循环，输出S 的值为 40．【解答】解：由题意，模拟履行程序，可得：
n=4， k=1 ，S=0
1
知足条件k≤4， S=0+2 +1=3 ， k=2
2
知足条件k≤4， S=3+2 +2=9 ， k=3
3
知足条件k≤4， S=9+2 +3=20 ，k=4
4
知足条件k≤4， S=20+2 +4=40 ，k=5
不知足条件k≤4，退出循环，输出S 的值为 40．
应选： B．
7{a }
的前n
项和为
S ，若 a a =2a，且与 a的等差中项为，则S=
．已知等比数列n n2? 3174（）
A．32 B．31C．30D．29
【考点】等比数列的通项公式．
【剖析】设等比数列 {a }q a a =2a，且与 a 的等差中项为，可得
n的公比为，由2? 317
=2a1，=+a7，即 5=+4，解出再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}
的公比为q a2a3 =2a1，且与 a7的等差中项为，，∵ ?
∴=2a1，=+a7，即 5=+4，
∴5=2（ 2+4q 3
），解得q=，a1=16 ，
则 S4==30 ，应选： C．
8．函数的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，要获取函数g（x） =Acos ωx的图象，只要将f（ x）的图象（）
A ．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【考点】函数 y=Asin （ωx+ φ）的图象变换．
【剖析】由题意可得，函数的周期为π，由此求得ω=2，由g（ x） =Acos ωx=sin[2 （ x+）+]，依据 y=Asin （ωx+? ）的图象变换规律得出结论．
【解答】解：由题意可得，函数的周期为π，故=π，∴ω=2 ．
要获取函数g（ x）=Acos ωx=sin[2 （ x+） +] 的图象，
只要将f（ x）=的图象向左平移个单位即可，
应选 A ．
9．某几何体的三视图以下图，则其表面积为（）
A ．
B ．9π C．D． 10π
【考点】由三视图求面积、体积．
【剖析】几何体为圆柱与球的组合体．表面共有 5 部分构成．
【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．
圆柱的底面半径为 1，高为3，球的半径为 1．
因此几何体的表面积为π×12
+2π×1×3+++=9π．
应选 B．
10．设函数 f （x） =，则f（ f （ log212）） =（）
A．1B．2C．3D．4
【考点】对数的运算性质；函数的值．
【剖析】先求出 f（ log 212），再求出f（ f （ log212））即可．
【解答】解：∵f（ log 212） =﹣ 6，
∴f（﹣ 6） =1+3=4 ，
应选： D．
11．已知变量x， y 知足拘束条件，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】简单线性规划．
【剖析】由拘束条件作出可行域，化为1+，而后由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线斜率的倒数求解．
【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，
联立，解得 B（ 1，6），
联立，解得 A（），
∵， k OB=6，
∴=1+[
]．
∈
应选： D．
12．坐标平面上的点集 S 知足
S=
，将点集 S 中的所
有点向 y 轴作投影，所得投影线段的总长度为（
）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
【考点】 函数与方程的综合运用；曲线与方程．
【剖析】 先求出 2sin 4
4
2
2
2
的范围， 即可得出函数 x=log 2
x+2cos x=2﹣ 4sin x?cos x=2﹣（sin2x ） （y 2﹣ y+2 ）的值域范围，进而求出函数函数 x=log 2（ y 2
﹣ y+2 ）的定义域，进一步可求投影 长度． 2
2 2 4 4 2 2
【解答】 解： 1=（ sin x+cos x ） =sin x+cos x+2sin
x?cos x ，
4 4 2 2
2，
2sin
∴
x+2cos x=2﹣ 4sin x?cos x=2﹣（ sin2x ）
∵x ∈[ ﹣ ， ] ， ∴2x ∈[﹣ ， ] ，∴﹣
≤sin2x ≤1，
∴2﹣（ sin2x ） 2
∈[1， 2]
2
∴log 2（ y ﹣ y+2 ）∈[1 ，2] ，
∴﹣1≤y ≤0，或 1≤y ≤2
故 y 的投影长度为 1+1=2，应选： D ．
二、填空题：本大题共
4 小题，每题
5 分，共 20 分．
13
p
：
．
．命题
，则 ? 【考点】 命题的否认．
【剖析】 直接利用全称命题的否认是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：由于全称命题的否认是特称命题，
因此，命题
，
则?p ：
．
故答案为：
14．已知抛物线 y 2 =2px （ p ＞0），过其焦点且斜率为 2 的直线交抛物线于
A 、
B 两点，若线
段 AB 的中点的横坐标为
3，则该抛物线的准线方程为 x= ﹣2 ．
【考点】 抛物线的简单性质．
【剖析】 求出直线 AB 的方程，联立方程组消元，依据根与系数的关系列方程解出 p ，进而
得出准线方程．
【解答】 解：抛物线的焦点为（
， 0），
∴直线 AB 的方程为： y=2（ x ﹣
），即 y=2x ﹣ p ，
联立方程组
，消元得： 4x 2﹣ 6px+p 2
=0 ，
设 A （ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1+x2=，∴p=4．
∴抛物线的准线方程为：x= ﹣ 2．
故答案为： x= ﹣ 2．
15．已知 f （ x）是 R 上的奇函数， f（ 1）=1，且对随意 x∈R 都有 f （ x+6） =f （ x） +f （ 3）成立，则 f= ﹣ 1 ．
【考点】抽象函数及其应用．
【剖析】求出 f （ 3） =0，可得 f（ x）是以 6 为周期的周期函数，利用函数的周期性和奇偶
性进行转变求解，即可得出结论．
【解答】解：∵f（ x+6 ） =f （ x） +f （ 3）中，
∴令 x= ﹣ 3，得 f（ 3） =f （﹣ 3） +f （ 3），即 f（﹣ 3） =0．
又 f （x）是 R 上的奇函数，故 f （﹣ 3） =﹣ f （3） =0． f （0） =0，
∴f（ 3）=0，
故 f （x+6 ） =f （ x），
∴f（ x）是以 6 为周期的周期函数，
进而 f=f （﹣ 1） =﹣f（ 1） =﹣ 1．
f=f （ 0） =0．
故 f= ﹣ 1+0= ﹣ 1，
故答案为：﹣ 1
16．已知函数 f （ x）=，对随意t∈（0，+∞），不等式f（t）＜
kt 恒成立，则实数k 的取值范围是．
【考点】函数恒成立问题．
【剖析】联合函数的图象和函数值，可判断只要 y=lnt 在 y=kt 的下方，求出临界值即相切时
的 k 的值即可．
【解答】解：当0＜x＜ 1 时， f （x）＜ 0，
当 x≥1 时， f （ x）≥0，
对随意 t∈（0，+∞），不等式 f（ t）＜ kt 恒成立，
故函数 y=f （t）在函数 y=kt 的下方，
∴只要 y=lnt 在 y=kt 的下方，
∴当两曲线相切时，设切点为横坐标为t0，
k=lnt，
∴
，0=t 0
t0=，
∴实数 k 的取值范围是．
三、解答题：本大题共 5 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别为a， b， c，且 2c?cosB=2a+b ，若△ABC的面积．
（Ⅰ）求 C 的度数；
（Ⅱ）求 ab 的最小值．
【考点】余弦定理；基本不等式；正弦定理．
【剖析】（Ⅰ）由余弦定理及已知可得：，整理后可求 cosC 的值，联合范围 C∈（0，π），即可得解 C 的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式及已知可得，利用基本不等式即可求得
，进而得解．
【解答】（此题满分为 12分）
解：（Ⅰ）在△ ABC 中，由余弦定理可得：，
整理可得： a 2
+b
2
﹣ c
2
=﹣ ab， 3 分
故， 5 分
由于 C∈（ 0，π），故 6 分
（Ⅱ）由于，
故10分
化简得11 分
当且仅当 a=b=8 时等号成立．
因此 ab 的最小值为64． 12分．
18．对某产品 1 至 6 月份销售量及其价钱进行检查，其售价 x 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示：
月份 i123456
单价 x i（元）99.51010.5118
销售量 y i（件）111086514
（Ⅰ）依据 1 至 5 月份的数据，求出 y 对于 x 的回归直线方程；（Ⅱ）
若由回归直线方程获取的估计数据与剩下的查验数据的偏差不超出0.5 元，则以为所获取的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程能否理想？
（Ⅲ）估计在此后的销售中，销售量与单价仍旧听从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是
2.5 元 /件，为获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？（收益=销售收入﹣成本）．
参照公式：回归方程
，此中 = ．参照数据： ，
．
【考点】 线性回归方程．
【剖析】（ 1）依据回归系数公式计算回归系数； （2）利用回归方程计算
x=8 时的估计值，计算偏差得出结论；
（3）求出收益的分析式，依据二次函数的性质得出收益取最值时的 x ．
【解答】 解：（Ⅰ）由题意知
=10，
= =8，
=
，
=
=40．
∴y 对于
x 的回归直线方程是
=﹣ 3.2x+40 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
x=8
时，
=﹣ 3.2×8+40=14.4 ．
﹣ y=14.4 ﹣ 14=0.4＜ 0.5．
∴可以为所获取的回归直线方程是理想的．
（Ⅲ）依题意得，收益
L= （ x ﹣ 2.5）?（﹣ 3.2x+40 ） =﹣ 3.2x 2
+48x ﹣ 100（ 2.5＜ x ＜ 12.5）．
当
时， L 获得最大值．
即该产品的单价定为
7.5 元时，收益最大．
19．如图，在直三棱柱 ABC ﹣ A 1B 1C 1 中， AD ⊥平面 A 1BC ，其垂足 D 落在直线 A 1B 上． （Ⅰ）求证： BC ⊥ A B ；
1 （Ⅱ） 若 P 是线段 AC 上一点， ，AB=BC=
2 ，三棱锥 A 1﹣PBC 的体积为
，求
的值．
【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的地点关系．
【剖析】（ I ）由 AD ⊥平面 A 1BC 得 BC ⊥ AD ，由 AA 1⊥平面 ABC 得 BC ⊥ AA 1，故 BC ⊥
平面 A 1AB ，因此 BC ⊥A 1B ；
（II ）设 PC=x ，用 x 表示出棱锥 A 1﹣BPC 的体积，列出方程解出 x ，获取 AP 和 PC 的值．
【解答】（Ⅰ）证明 ∵AD ⊥平面 A 1BC ， BC ? 平面 A 1BC ， ∴AD ⊥ BC ．
∵AA 1⊥平面 ABC ， BC ? 平面 ABC ， ∴AA 1⊥ BC ．
又∵AA AD=A
AA
1? 平面 AA B
， AD ? 平面 AA B
，
1∩，
1
1
BC
AA
1B ， ∵A 1B ? 平面 AA 1B ，
∴ ⊥平面
∴BC ⊥A 1B ．
（Ⅱ）解：设 PC=x ，过点 B 作 BE ⊥AC 于点 E ．
由（Ⅰ）知 BC ⊥平面 AA 1 B B
BC ⊥AB
，
1
， ∴
∵AB=BC=2 ， ∴ ，
．
∴
，
AD ⊥平面 A 1BC ，其垂足 D 落在直线 A 1B 上，
∵ ∴AD ⊥A B BD= =1 AA ⊥AB ， 1 ． ∴ ，又 ∵ 1 ∴Rt △ ABD ∽Rt △ A 1BA ， ∴
，
∴
．
∴
=
．
解得：
，
∴
．∴
．
20．已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C ：x 2
+
=1 在 y 轴正半轴上的焦点， 过 F 且斜率为﹣
的直线 l 与 C 交与 A 、 B 两点，四边形 OAPB 为平行四边形．
（Ⅰ）证明：点 P 在椭圆 C 上；
（Ⅱ）求四边形 OAPB 的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【剖析】（Ⅰ）由已知F（ 0，1），直线 l 的方程为，代入，得
（Ⅱ）由已知求出
，由平行四边形性质得
|AB| 和原点 O 到直线 l：
，由此能证明点P 在椭圆
的距离，由此能求出四边形
C 上．
OAPB
的面积．
【解答】证明：（Ⅰ）∵O为坐标原点， F 为椭圆C：x2+=1 在y 轴正半轴上的焦点，∴F（ 0， 1），直线 l 的方程为，代入
并化简得， 2 分
设 A （ x1， y1）， B（ x2， y2）， P（ x3， y3），
∵四边形 OAPB 为平行四边形，∴， 3 分
可得（x3， y3） =（ x1，y1） +（ x2，y2）
∴，，故 5 分
经考证点P 的坐标知足方程，
故点 P 在椭圆C上．6分
解：（Ⅱ）∵8 分
原点 O 到直线 l：的距离10 分
∴四边形 OAPB 的面积：
．12 分．
x
y 轴交于点 A ，曲线 y=f （ x ）在点 A 处 21．已知函数 f （ x ） =e ﹣ax （ a 为常数）的图象与 的切线平行于 x 轴． （Ⅰ）求 a 的值及函数 y=f （ x ）的极值；
k ＜ e 3
﹣1．
（Ⅱ）若不等式 xf （ x ）＞ 3lnx+ （ k ﹣3） x 在 x ≥3 时恒成立，证明： 【考点】 利用导数研究函数的极值； 利用导数求闭区间上函数的最值； 利用导数研究曲线上
某点切线方程．
【剖析】（Ⅰ）求函数的导数，依据导数的几何意义成立方程关系即可求
a 的值及函数 y=f
（x ）的极值；
（Ⅱ）若不等式
xf （ x ）＞ 3lnx+ （ k ﹣ 3） x 在 x ≥3 时恒成立，利用参数分别法，求函数的最 值即可证明： k ＜ e 3
﹣ 1．
【解答】 解：（Ⅰ）由题意知 f ′（ x ） =e x
﹣ a ， 1 分， ∵A （ 0，1）且曲线 y=f （ x ）在点 A 处的切线平行于 x 轴，
∴f ′（ 0） =e 0
﹣a=0， ∴a=1 3 分
此时， f ′（x ） =e x
﹣ 1． 令 f ′（ x ）=0 得 x=0．
当 x 变化时， f ′（ x ）与 f （ x ）变化状况以下表
x
（﹣ ∞，
（ 0 ， +∞）
0）
f ′（ x ）
﹣
0 +
f （ x ） =e x
﹣ x
单一递减 极小值 1 单一递加
∴f （ x ）有极小值
（Ⅱ）证明：由
1，无极大值 5 分
xf （ x ）＞ 3lnx+ （ k ﹣3） x
得 6 分
令
，
7 分，
8 分，
∵x ≥3＞ e ， ∴lnx ＞ lne=1． ∴
．
又∵e x
﹣ 1＞ 0， ∴g'（ x ）＞ 0．
∴g （ x ）在 [3， +∞）上为增函数 10 分
∴
11 分
∴k ＜ e 3﹣ ln3＜ e 3
﹣ 1 12 分．
[选修 4-1：几何证明选讲 ]
22．以下图，点 P 是圆 O 直径 AB 延伸线上的一点， PC 切圆 O 于点 C ，直线 PQ 均分∠ APC ，分别交 AC 、BC 于点 M 、N ．求证：
（ 1） △ CMN 为等腰三角形；
（ 2） PB?CM=PC ?BN ．
【考点】与圆相关的比率线段．
【剖析】（ 1）依据题意，证明∠CNM= ∠ CMN ，即可证明△ CMN 是等腰三角形；（2）利用对应角相等证明△PNB ∽△ PMC ，即可证明
PB?CM=PC ?BN ．【解答】解：（ 1）∵PC 是圆 O 的切线，切点为 C，
∴∠PCB= ∠ PAC；
又∵∠ CPM= ∠ APM ，
∴∠CNM= ∠ CPM+ ∠ PCB=∠ APM+ ∠ PAM= ∠CMN ，
∴△CMN 是等腰三角形；
（2）∵∠ CMN= ∠CNM ，∠ CNM= ∠BNP ，
∴∠CMN= ∠ BNP ，
又∵∠ CNP= ∠BPN ，
∴△PNB ∽△ PMC ，
∴=，
即 PB?CM=PC ?BN ．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线 C 的参数方程为（α为参数），直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l 截曲线 C 所得的弦长．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．
【剖析】（ I ）将曲线 C 的参数方程化为直角坐标方程，再转变为极坐标方程；
（II ）将 l 的参数方程代入曲线 C 的一般方程解出参数，利用参数的几何意义得出弦长．
【解答】解：（Ⅰ）曲线 C 的参数方程化为直角坐标方程为
22
x +（ y﹣ 1）=4．
令 x= ρcosθ，y= ρsinθ代入上式，
2
得曲线 C 的极坐标方程为：ρ﹣2ρsinθ﹣3=0．
（Ⅱ）将
222
，∴，代入 x +（ y﹣ 1） =4得 t =2
因此所求弦长为．
[选修 4-5：不等式选讲]
24．已知函数 f （ x） =|x﹣ 3|﹣ 2|x+a|
（Ⅰ）当a=3 时，求不等式 f （ x）＞ 2 的解集；
（Ⅱ）若 f （ x） +x+1 ≤0 的解集为A ，且 [ ﹣ 2，﹣ 1]? A，求 a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．
【剖析】（Ⅰ）将 a=3 代入，经过议论x 的范围，获取对于x 的不等式，解出即可；（Ⅱ）问
题转变为|x+a|≥2
在
x[ 21a
∈﹣，﹣] 恒成立，分别，求出其范围即可．
【解答】解（Ⅰ） a=3 时， f（ x）＞ 2
? |x﹣ 3|﹣2|x+3|＞ 2
?或或
即，
∴不等式 f（ x）＞ 2 的解集为：．（Ⅱ） [﹣ 2，﹣ 1]? A
?|x﹣ 3|﹣2|x+a|+x+1 ≤0 在 x∈[﹣ 2，﹣ 1] 恒成立
?（ 3﹣ x）﹣ 2|x+a|+x+1 ≤0 在 x∈[ ﹣2，﹣ 1]恒成立
?|x+a|≥2 在 x∈[﹣ 2，﹣ 1] 恒成立
?a≥2﹣x 或 a≤﹣ 2﹣ x 在 x∈[ ﹣2，﹣ 1]恒成立
?a≥4 或 a≤﹣ 1．
2016年7月22日。