高中数学素材：平面向量与空间向量类比

平面向量与空间向量类比 某某 王建宏 某某 X 金龙 平面向量与空间向量有诸多相似之处，学习空间向量时若能与平面向量类比，往往会收到事半功倍的效果．本文以向量的线性表示为例（例1与例2）作简单介绍． 例1 已知：如图1，在平面中，1OA OB OA ==，与OB 的夹角为120OC ，与OA 的夹角为25，5OC =．用OA
OB ，表示OC ． 解法一：OA OC
cos OA OC AOC =∠
5cos 25=．
设OC OA OB λμ=+，则212
OA OC OA OA OB λμλμ=+=-． 15cos 252λμ-=①
同理由OB OC ，可得15cos952
λμ-+=．② 由①②，可得103103sin 95sin 2533
λμ==，， 103103sin 95sin 2533
OC OA OB =+． 解法二：如图2，以OA 所在直线为x 轴，点O 为坐标原点
建立直角坐标系，则(5cos 255sin 25)OC ，
． 设OC OA OB λμ=+，则13(10)22OC λμ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
，，．
解得103103sin 95sin 2533
OC OA OB =+． 解法三：如图3，作平行四边形OM ，
设OM OA
ON OB λμ==，， 由正弦定理得103103sin 95sin 2533
OC OA OB =+（过程略）． 例2 已知：正四面体O ABC -中，OA OB OC a ===，点O 在底面上的射影为G ，
试用向量OAOB OC ，，表示OG ． 解法一：如图4，∵OA =OB =OC ，∴点O 在底面的射影点G 为△ABC 的中心．取AB 的中点D ，则DG =13
DC ． ∵13
OG OD DG OD DC =+=+ 1()3
OD OC OD =+-， 又∵1()2
OD OA OB =+， ∴2133
OG OD OC =+ 111333
OA OB OC =++． 故111333
OG OA OB OC =++． 解法二：如图5，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，
设111222333()()()A x y z B x y z C x y z ，，，，，，，，，
由定比分点坐标公式，
可得点G 的坐标123123123333x x x y y y z z z ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 111333
OG OA OB OC ∴=++． 解法三：如图6，作平行六面体CENF OBMA -，
使得正四面体O ABC -为其一个角上的小三棱锥，
则ON OA OB OC =++．
可证13OG ON =（过程略）． 提起空间向量，许多同学会习惯于空间向量的直角坐标运算，忽略了空间向量本身的应用．2005年全国高中数学联赛第2题（例3），是利用空间向量（不建立空间直角坐标系）解立体几何问题的典型，应培养空间向量的应用意识．
例3 如图7，空间四点A
B C D ，，，满足 37119AB BC CD DA ====，，，，
则AC BD 的取值（ ）
（A ）只有一个 （B ）有两个
（C ）有四个 （D ）有无穷多个
此题设计精巧，构思奇妙，其来源于课本习题（具体化，并向空间推广），思维含量颇高．试题组提供的解答过程比较麻烦，此处从略．
课本上有这样一道习题：已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证它的对角线互相垂直．
这道习题有很多种证明方法，向量法简证如下：
设AD AC AB ===，，a b c 则BD =-a c ，条件2222AB CD BC AD +=+即
22()()+-=-+22c a b b c a ，展开整理可得a b =b c ，即()0-=b c a ，也就是0AC BD =，
从而AC BD
AC BD ，⊥⊥．上述证明与四边形ABCD 是平面图形还是立体图形无关，该结论也适合于空间问题．该试题可追溯到一道匈牙利数学竞赛试题：
证明四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和的充要条件是它的两条对角线互相垂直．
该联赛试题的解答可简化为：由222231179+=+，则0AC BD AC BD =，⊥．故
此题选（Ａ）．阿波罗尼斯圆
比例为0.5
阿波罗尼斯（Apollonius ）圆，简称阿氏圆。

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定义
在平面上给定相异两点A 、B ，设P 点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。

这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。

设M 、N 分别为线段AB 按定比λ分割的内分点和外分点，则MN 为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=［２λ／（λ^2-1）］AB 。

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证明
我们可以通过公式推导出AN 的长度：AN:BN ＝AP:BP ，其中BN=AN+AB ，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP 为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。

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性质
由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：
b^2+c^2=a^2/2+2ma^2；
c^2+a^2=b^2/2+2mb^2；
a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。