2011年全国各地中考数学试题压轴题精选讲座一 几何与函数问题 人教新课标版

2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座一几何与函数问题【知识纵横】
客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。

几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。

函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。

【典型例题】
【例1】（某某）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每
秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、
F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F
的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG
和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t
秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值X围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况讨论。

（3）当△AOH是等腰三角形时，分为三种情况，列方程求t的值。

【例2】（某某某某）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm.
动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）求CD的长；
（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以22cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm2），
点P 、Q 运动的时间为t （s ），求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值X 围；
（3）若点P 的速度仍是1cm/s ，点Q 的速度为a cm/s ，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a 的取值X 围．
【思路点拨】（1）作辅助线：过D 点作DH ⊥BC 。

（2）分Q 在CD 和Q 在DA 上两种情况讨论。

（3）要使运动过程中出现PQ ∥DC ，根据平行四边形判定，只要考虑QD ＝PC 即可。

【例3】（某某某某）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，
BD⊥AC 于点D ，且BD ＝8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时直线PQ 由点B 出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s ，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ 交AB 于点P 、交BC 于点Q 、交BD 于点F ．连接PM ，设运动时间为ts(0＜t ＜5)．
(1)当t 为何值时，四边形PQCM 是平行四边形？
(2)设四边形PQCM 的面积为ycm 2
，求y 与t 之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t ，使S 四边形PQCM ＝ 9 16
S △ABC ？若存在，求出t 的值；若不存在，说 明理由；
(4)连接PC ，是否存在某一时刻t ，使点M 在线段PC 的垂直平分线上？若存在，求出
此时t 的值；若不存在，说明理由．
【思路点拨】(1) 假设四边形PQCM 是平行四边形，从而推出结论。

（2）把梯形的上下底和高用t 来
表示。

（3）在假设S 四边形PQCM ＝ 9 16
S △ABC 的条件下，求出t ，讨论。

（4）在假设点M 在线段PC 的垂直平分线上，求出此时t 的值。

【例4】（某某某某）已知，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点C 在⊙O 的半径OA 上运动，PC⊥AB，垂足为
C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．
（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；
（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；
（3）如图（3），设PT2=y，AC=x，求y与x的函数关系式及y的最小值．
【思路点拨】（1）连接OT。

（2）连接AT。

（3）连接OP、OT，应用勾股定理，可得出y与x之间的关系式。

【学力训练】
1、（某某聊城）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC
＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm2．
(1)当t＝1s时，S的值是多少？
(2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值X围；
(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、
F、G为顶点的三角形相似？请说明理由。

2、（某某省）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD 于点E,AD=8cm ，BC=4cm,AB=5cm 。

从初始时刻开始，动点P,Q 分别从点A,B 同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点P 沿A--B--C--E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B--C--E--D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，∆PA Q 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形)
解答下列问题：
(1) 当x=2s 时，y=_____ cm 2;当x = 2
9 s 时，y=_______ cm 2 (2）当5 ≤ x ≤ 14 时，求y 与x 之间的函数关系式。

(3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15
4=y S 梯形ABCD 时x 的值。

（4）直接写出在整个．．
运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
3、（某某某某）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2。

.点E、F 同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是；
当t＝3时，正方形EFGH的边长是；
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
t为何值时，S最大？最大面积是多少？
（3）直接答出：在整个运动过程中
．．．．．．．，当
4、（某某某某）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABC D的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
几何与函数问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（某某）
解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，
在Rt△CBF中，BC=23，tan∠CFB=BC
BF
，即tan60°=
23
BF。

（3）存在。

理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB=BC3
AB3
，∴∠CAB=30°。

又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°。

∴AE=HE=3﹣t或t﹣3。

1）当AH=AO=3时，（如图②），
过点E作EM⊥AH于M，则AM=1
2
AH=
3
2
，
在Rt△AME中，cos∠MAE═AM
AE
，即cos30°=
3
2
AE
，∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3。

∴t=3﹣3或t=3+3。

2）当HA=HO时，（如图③）
则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE。

又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1。

即3﹣t=1或t﹣3=1。

∴t=2或t=4。

3）当OH=OA 时，（如图④）， 则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E 和点O 重合。

∴AE=3，即3﹣t=3或t ﹣3=3，
∴t=6（舍去）或t=0。

综上所述，存在5个这样的t 值，使△AOH 是等腰三角形，即t=3﹣3，t=3+3，t=2，t=4，t=0。

又∵DH＝HC ，DH⊥BC，∴∠C＝45°。

∴在Rt △QCG 中，QG ＝QC·sin∠C＝22t·sin45°＝2t 。

又∵BP＝BC －PC ＝14－t ，∴S △BPQ ＝12BP·QG＝12
（14－t ）·2t＝14t －t 2。

当Q 运动到D 点时所需要的时间t ＝CD 22＝8222
＝4。

∴S＝14t －t 2
（0＜t≤4）．
②当Q 在DA 上时，过Q 点作QG⊥BC，垂足为点G ，
则QG ＝AB ＝8cm ，BP ＝BC －PC ＝14－t 。

∴S △BP Q ＝12BP·QG＝12
（14－t ）·8＝56－4t 。

当Q 运动到A 点时所需要的时间t ＝CD+AD 22＝82+622
＝4＋322。

∴S＝56－4t （4＜t≤4+322）。

综合上述，所求的函数关系式是：S ＝214t t 0t 432564t 4t 4+2⎧-≤⎪⎨-≤⎪⎩
（＜）（＜）。

（3）要使运动过程中出现PQ∥DC，a 的取值X 围是a ≥1＋43
2。

又∵MC＝AC －AN ＝10－2t ，
∴()()21142PQ MC FD 10288402255
y t t t t t ⎛⎫=+⋅=+--=-+ ⎪⎝⎭。

∴y 与t 之间的函数关系式为：228405
y t t =-+。

（3）∵S △ABC ＝11AC BD 1084022⋅=
⨯⨯=。

∴当99454016162
ABC y S ∆==⨯=时，2245840=52t t -+，即2480175=0t t -+。

解得，12535==
22
t t ，（舍去）。

∴当5=2t s 时，S 四边形PQCM ＝ 9 16S △ABC 。

（4）假设存在某一时刻t ，使点M 在线段PC 的垂直平分线上，则MP=MC 。

过M 作MH⊥AB，交AB 于H 。

则△AHM∽△ADB。

∴HM AH AM BD AD AB
==。

又22AD 1086=-=， ∴HM AH 286HM=AH=861055t t t ==∴。

，。

【例4】（某某某某）
解：（1）连接OT ， 当C 点运动到O 点时， ∵PT 为⊙O 的切线，∴OT⊥PT,
∴在Rt△PTO 中，
222222AB PT PO OT PO ()5432
=-=-=-=． (2)连接AT ，当C 点运动到A 点时，
∵PC⊥AB，∴PA 是⊙O 的切线。

∵PT 为⊙O 的切线，∴PA=PT，PO 平分∠APT。

∴PO⊥AT。

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ATB 是直角，即BT⊥AT。

∴PO∥BT。

⑶连接OP 、OT ，
∵AC=x ，∴CO OA AC 4x =-=-．
∵在Rt△PCO 中，22222PO PC CO 5(4)x =+=+-
在Rt△POT 中，22222PO PT OT PT 4=+=+, ∴2222PT 45(4)x +=+-，即22245(4)y x +=+-。

∴()2
229(4)82549y x x x x =+-=-+=-+。

∴当x =4时，y 最小其值为9。

∴y 与x 的函数关系式为2825y x x =-+，y 的最小值是9。

【学力训练】 1、（某某聊城）
解：（1）如图1，当1t =秒时， AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2 由EBF FCG EBCG S S S S ∆∆=--梯形
111
(EB CG)BC EB BF FC CG 222=+⋅-⋅-⋅ =2111
(102)81044224 ()222
cm ⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯= （2）①如图1，当02t ≤≤时，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上移动， 此时AE 2BE 122BF 4FC 84CG 2t t t t t ==-==-=，，，，
EBF FCG EBCG 111
S S S S 8(1222)4(122)2(84)222
F t t t t t t ∆∆=--=⨯⨯-+-⨯--⨯-梯形283248t t =-+
即2S 83248t t =-+（02t ≤≤）。

①若
EB BF FC CG =．即1224842t t t t -=-，解得2
3t =。

又23t =满足02t ≤≤，所以当2
3
t =时，△EBF∽△FCG。

②若EB BF CG CF =．即1224284t t t t -=
-，解得3
2t =。

又32t =满足02t ≤≤，所以当3
2
t =时，△EBF∽△GCF。

综上所述，当23t =或3
2
t =时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以F 、C 、G 为顶点的三角形相似。

2、（某某省）
解：（1） 2，9。

（2）分三种情况：
① 当5≤x ≤9时（如图）， y= S 梯形ABCQ –S △ABP –S △PCQ
()()()()2111165
545594722222
x x x x x x =⋅+⋅-⋅⋅--⋅-⋅-=-+。

② 当9＜x ≤13时（如图），
()()APQ
2y S 1119
9+41435222
x x x x ∆==⋅-⋅-=-+- 。

③ 当13＜x ≤14时（如图），
()APQ y S 1
8144562
x x ∆==
⋅⋅-=-+ 。

（3） 当动点P 在线段BC 上运动时， ∵()ABCD 441
y S 485815152=
=⋅⋅+⋅=梯形， ∴21657822
x x -+=，即x ²－14x +49 = 0。

解得x 1 = x 2 = 7。

∴当x =7时，ABCD 4
y S 15
=梯形。

（4）2161101
999
x = ，，。

3、（某某某某）
解：(1)2；4。

(2) 求点H 在AC 上时t 的值（如图1）。

D
B
A
E
C
P
Q
D
B
A
E
C
P
Q
D
B A
E
C
P
(Q )
∵EP＝PF ＝1·t ＝t ，
∴正方形EFGH 中，HE ＝EF ＝2t 。

又∵AP＝2，∴AE＝AP －EP ＝2－t 。

又∵EFGH 是正方形，∴∠HEA＝∠C＝90°。

又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AHC。

∴
BC AC 68 , HE AE 22t t -＝即＝，∴6 11
t ＝。

求点G 在AC 上时t 的值（如图2）。

又∵EP＝PF ＝1·t ＝t ，
∴正方形EFGH 中，GF ＝EF ＝2t 。

又∵AP＝2，∴AF＝AP ＋PF ＝2＋t 。

仿上有，△ABC∽△AGF。

∴
BC AC 68 , FG AF 22t t
+＝即＝
，∴6
5t ＝。

因此，0＜t ≤2分为三部分讨论： 错误！未找到引用源。

当0＜t ≤
6
11
时（如图3），S 与t 的函数关系式是： EFGH S S 矩形＝＝(2t )2＝4t 2；
错误！未找到引用源。

当
6
11
＜t ≤65时（如图4），S 与t 的函数关系式是：
HMN EFGH S S S ∆-矩形＝ ＝4t 2－12·43·[2t -3
4
(2－t )] 2
＝2524-
t 2＋112
t －32； 错误！未找到引用源。

当6
5＜t ≤2时（如图5），求S 与t 的函数关系式是：
S ＝S △ARF ＝S △AQE =12·34(2＋t ) 2 －12×34
(2－t )
2
＝3t 。

综上所述，S 与t 的函数关系式为
S＝
2
2
40
2511366
242211
6
1
5
6
32
5
1
t t
t t t
t t
⎧⎛⎫
≤
⎪
⎪
⎝⎭
⎪
⎪⎛⎫-+-≤
⎨ ⎪
⎝⎭⎪
⎪⎛⎫
≤
⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
＜
＜
＜。

（3）当
146
25
t=时，S最大，最大面积是
1102
75。

4、（某某某某）
解：（1）∵AD=（12﹣3x）÷3=4﹣x，
∴列方程：x（4﹣x）=3，即x2﹣4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米。

（2）∵AD=（12﹣4x）÷3=4﹣4
3
x，
∴S=
2
2
4443
x4x x4x x3 3332
⎛⎫
-=-+=--+
⎪
⎝⎭（）。

∴当x=3
2
时，S最大=3。

答：当x=3
2
时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米。

（3）∵AD=（a﹣nx）÷3=a n
x 33 -，
∴S=
2
2
a n n a n a a
x x x x=x
333332n12n
⎛⎫⎛⎫
-=-+--+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

∴当x=a
2n
时，S最大=
2
a
12n。

答：当x=a
2n
时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是
2
a
12n
平方米。