人教版八年级数学上册课件：11.2.2 三角形的外角(共23张PPT)

随堂练习 2
如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.
解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°. ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠1+∠2=90°. ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=45°. ∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°. ∵∠C=65°， ∴∠DAC=90°-∠C=25°. 则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.
角的一边必须是三角形的一边，
（2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°. △BGD和△CFE.
定义
另一边必须是三角形的另一边 的延长线
（1）三角形的外角都是钝角.
50°
D.
∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=45°.
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
E
C
D
拓展提升 2
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，
求证∠BAC=∠B+2∠E.
证明：∵∠ECD是△EBC的外角， ∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E. ∴∠BAC=∠E+∠ACE.
A B
∵CE是∠ACD的角平分线， ∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E.
CF
3
12
DA B E
新知探究
知识点3 三角形的外角和定理
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点
CF
3
C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
12
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，
DA B E
∴∠CAD=∠2+∠3，∠CBE=∠1+∠3，∠BCF=∠1+∠2. 有其他解法吗
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠CBE=∠1+∠3.
三角形的 外角和
三角形的外角和等于360°
拓展提升 1
已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
A
F B
GE
分析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，
C
D
将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E转化在同一个三角
形中.仔细观察五角星，并在五角星中构建出
性质
三角形的一个外角等于与其不 相邻的两个内角的和
∠BCF与∠1、∠2之间具有同样的大小关系吗？
（2）三角形的外角大于任何一个内角.
已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
∠BCF与∠1、∠2之间具有同样的大小关系吗？
=540°-（∠1+∠2+∠3）
=210°.
（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
∴∠CBE+∠2=180°，则∠2=180°-∠CBE.
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠2=180°-（∠1+∠3）.
∴∠CBE=∠1+∠3.
新知探究 知识点2 三角形外角的性质
三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
数学语言表示：∠CAD=∠2+∠3.
分别说明∠CBE与∠1、 ∠3之间；∠BCF与∠1、 ∠2之间具有同样的大小 关系吗？
∴∠CAD=∠2+∠3.
新知探究
知识点2 三角形外角的性质
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点 C处的一个外角，请问∠CBE与∠1，∠3之间的大小关系？
CF
3 12
DA B E
解：∵∠CBE是△ABC的外角，
课堂导入
邻补角的概念：∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边
互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，
互为邻补角.
A
邻补角的性质：∠1+∠2=180°.
如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的
边BC形成的角∠CBD具有什么样的性质呢？
A
C
12
O
B
C BD
新知探究 知识点1 三角形的外角
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）
=2（∠1+∠2+∠3）.
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
新知探究 知识点3 三角形的外角和定理
推论：三角形的三个外角和等于360°.
三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不 是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取 一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和. 表示方法：∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
CF DA B E
新知探究
知识点2 三角形外角的性质
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点 C处的一个外角，请问∠CAD与∠2，∠3之间的大小关系？
CF
3 12
DA B E
解：∵∠CAD是△ABC的外角，
∴∠CAD+∠1=180°，则∠1=180°-∠CAD. ∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， ∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠1=180°-（∠2+∠3）.
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 如图，∠CBD就叫做△ABC的外角.
问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？ C
问题2：三角形的外角具备什么特征？
问题3：三角形共有几个外角？每个顶点处有几个外角？ A
BD
新知探究 知识点1 三角形的外角
答案1：三角形的外角和相邻的内角之和为180°. 答案2：三角形的外角具备3个特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一条边； ③另外一条边是三角形某条边的延长线. 答案3：三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角.
△BGD和△CFE.
拓展提升 2
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E， 求证∠BAC=∠B+2∠E.
A
分析：利用角平分线的性质可以得出2倍的数量关系的角.
B
利用三角形外角性质，将外角转化为两个不相邻内角的和.
将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出题目所
要证明的结果.
知识回顾
1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 2、直角三角形的两个锐角互余. 3、有两个角互余的三角形是直角三角形.
练习：1、在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，则∠B= 75°. 2、在Rt△ABC中，锐角∠B=45°，则另一个锐角∠C= 45°.
学习目标
1、了解三角形外角的概念. 2、理解三角形外角性质及三角形外角和的探究. 3、熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.
A12B┐ NhomakorabeaDC
随堂练习 3
如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等
于（ C ）
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
解：∵∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ACD=∠A+∠B=100°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=50°.
A E
B
C
D
课堂小结
（）
分析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，
=2（∠1+∠2+∠3）. 分析：利用角平分线的性质可以得出2倍的数量关系的角.
三角形的外角 问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？
问题3：三角形共有几个外角？每个顶点处有几个外角？ 将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出题目所 （2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角.
∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.
E
C
D
CF
3
12
DA B E
新知探究
跟踪训练
1、试说出下列图形中∠1和∠2的度数.
A
80〫
60〫
12
B （1） C
2A
30〫 140〫
B
C
（2）
A
1
2 40〫 ┌
B
C
（3）
解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°. （2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°. （3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
随堂练习 1
判断下列观点是否正确. （1）三角形的外角都是钝角. （2）三角形的外角大于任何一个内角. （3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （4）三角形的外角和等于360°.
（×） （×） （×） （√）
解：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角. （2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角. （3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.