原子物理量子力学主要知识点复习

1.爱因斯坦关系是什么？什么是波粒二象性？
答：爱因斯坦关系：⎪⎩
⎪
⎨⎧========k n n h n c h n c E p h hv E ρηρηρρρρηηλπλνπω
22 其中
波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就是说光具有波粒二象性。

2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么？
答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化
3.波尔理论的内容是什么？波尔氢原子理论的局限性是什么？
答：波尔理论：
（1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。

出于定态时，原子不发生电磁辐射。

（2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v 由式
12E E hv -=决定
（3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件：ηn r m = υ
局限性：
（1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱；
（2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；
（3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。

4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系？
答：类氢体系量子化能级的表示：()2
2202
442n
Z e E n ηπεμ-= 波数与光谱项的关系Λ,4,5.3,3,5.2,121
ˆ22=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=n n R v
5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证？ 答：索莫菲量子化条件是nh q p =⎰d
空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach ）实验验证。

、
6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因？
答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系）
碱金属的选择定则：1,0,1±=∆±=∆j l
碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n 有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。

形成原因：原子实外价电子只有一个，但是原子实的极化和轨道的贯穿产生了影响，产生了与氢原子能级的差别
7.自旋假设内容，碱金属光谱精细结构特点？
答：自旋假设内容：
（1）电子具有自旋角动量s p ϖ
，它在空间任何方向上的投影只能取两个值：η2
1±=sz p
（2）电子具有自旋磁矩 s μϖ
，它在空间任何方向上的投影只能取两个值：
B sz sz m
e p m e μμ±=±=-
=2η 碱金属光谱精细结构特点：
主线系：每条谱线皆为双线且双线间隔逐渐减小，最后并入1线系限；
二辅系：也由双线组成，双线间隔固定，最后有2线系限；
一辅系：由三线组成，最外2线间隔固定且与二辅系相同，中间一条与右侧间隔越来越小，最后有与二辅系相同的2线系限。

碱金属原子的能级是一个双层结构的能级，只有s 能级是单层的其余所有p 、d 、f 等能级均为双层的。

8.电子态与原子态如何表示？什么是电子自旋轨道耦合？
答：
电子态：电子的运动状态和量子数n 、l 有关，一般将主量子数n 表示的状态称主壳层，角量子数 l 表示的态称子壳层。

电子的状态可表示为1s 、2s 、2p 、3d 、4d 、4f 、5f 等等。

原子态：2
52
32
12
12
1D 3,P 3,P 2,S 2,S 122222 ----n
层数
（表示L 的S,P,D,F ）J ，其中电子总角动量
J=轨道角动量L+自旋角动量S 。

电子自旋耦合：通过电子之间的自旋产生彼此的效果力。

9.碱土族元素光谱特点？
答：Mg 的光谱与He 类似。

也形成两套线系，有两个主线系、两个第一辅线系、两个第二辅线系等等。

Mg 原子也有两套能级，一套是单层能级——单态，另一套是三层能级——三重态。

单层能级间的跃迁产生单线，三层能级间的跃迁产生多线光谱。

10.LS 耦合与jj 耦合过程？两种耦合方式的原子态表示？
答：略
11.泡利原理与同科电子的偶数定则是什么？
答：泡利原理：同一原子中，不能有两个电子处于完全相同的状态，也就是说，任意两个电子的状态都不完全相同
同科电子偶数定则：考虑同科电子组态为nlnl 时的原子态1,0;0,,12,2=-=S l l L Λ但L+S 必须为偶数
12.洪特定则与郎德间隔定则？
答：洪特定则：对于L-S 耦合，给定的电子组态所形成的原子态中，重数(2S +1)最大（S 最大）的能级位置最低；重数相同的能级（S 相同），L 最大的位置最低。

郎德间隔定则：L -S 耦合形成的一个多重能级结构中，相邻的两能级间隔与相关的二J 值中较大的成正比。

13.磁场中原子磁矩的表示及引起的能量差。

答：原子磁矩：φμp m
e
iA 2=
=，而对于两个或两个以上电子的原子，其磁矩表达式为：
J e
J P m e
g
μ2= 轨道磁矩：
B e
l e l l l l l m e p m e μμ)1()1(22+=+==
η； 自旋磁矩：B e
s e s s s m e p m e μμ3)1(=+==
η
； 总磁矩：()B j e
j s
l j j j j g p m e p p p p μμ12212
2
22+⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=。

能量差：B Mg E B μ=∆ 能级间隔与能量差有关，M 可取J, J-1,…,- J 共2J+1个可能值，即ΔE 取2J+1个可能值。

也就是说，在磁场作用下，一个能级分裂为2J+1个。

14.磁场中角动量与磁矩运动特征。

答：磁场中角动量运动特征：角动量P J 绕磁场方向旋进；磁矩运动特征：磁矩绕磁场方向旋进
15.顺磁、抗磁性、铁磁性的成因及塞曼效应能级图。

答：顺磁、抗磁性、铁磁性的成因：宏观磁矩的方向与磁场的方向不同，产生了不同的磁性。

有些物质在磁场中磁化后，宏观磁矩的方向与磁场的方向相反，这类物质称为抗磁性物质；有些物质在磁场中磁化后，宏观磁矩的方向与磁场方向相同，这类物质称为顺磁性物质；另外还有些物质（铁、钴、镍等），在磁场作用下，表现出比顺磁性强得多的磁性，且去掉磁场后磁性不消失，这类物质称为铁磁性物质。

16.多电子原子的壳层结构，简并度及电子态填充顺序。

答：简并度：
电子态填充顺序
17.X 射线产生和测量原理是什么？布拉格公式？
答：X 射线一般由高速电子打击在物体上产生。

测量：通过衍射测量，X 射线波长与晶体中原子的间距接近，可利用晶体作为衍射光栅进行X 射线的衍射。

布拉格公式：λθn d =sin 2
18.X 射线标识谱特征是什么？
答：X 射线谱由两部分组成：连续谱和标识谱。

标识谱又称特征谱，为线状光谱，由一些特定波长的谱线组成。

每种元素有一套特定波长的X 射线谱，成为元素的标识，所以称为标识谱。

不同元素的标识谱结构相似。

19.什么是波函数的统计诠释？归一化？
答：波恩提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率。

发现一个实物粒子的几率同德布罗意波的波函数平方成正比。

|Ψ(r )|2 的意义是代表电子出现在r 点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r )|2d x d y d z 表示在r 点附近，体积元d x d y d z 中找到粒子的几率。

归一化：粒子在全空间出现的几率等于1
20.S 方程及定态S 方程形式？
答：薛定谔方程：),()](2[),(i 2
2t r r U t r t ρρηρηψ+∇-
=ψ∂∂μ；定态薛定谔方程：)()(]2[2
2r E r U ρρηψψμ
=+∇-
21.什么是束缚态和非束缚态？
答：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，? = 0 。

这样的状态，称为束缚态。

22.什么是宇称？一维无限深势阱、谐振子及氢原子定态宇称？
答：宇称：空间反射：空间矢量反向的操作),(),(t r t r r r ρ
ρρρ-⇒-⇒ψψ，此时若有：
),(),(t r t r ρρψψ+=-，则称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 如果),(),(t r t r ρ
ρψψ-=-，称波函数具有负宇称（或奇宇称）。

一维无限深势阱：n=odd 时，为偶宇称；n=even 时，为奇宇称；
谐振子：? n 的宇称由厄密多项式 H n (ξ) 决定。

（氢原子定态宇称讨论见下面）
23.氢原子波函数中量子数的取值及含义？
答：
24.什么是隧道效应？
答：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它是粒子具有波动性的生动表现。

当然，这
种现象只在一定条件下才比较显着。

25.量子力学中的力学量由什么来表示？
答：量子力学中的力学量由厄米算符来表示？
26. 力学量算符本征值的含义？
答：如果算符?代表力学量O ，那么当体系处于?的本征态Ψ时，力学量O 取确定值，该值就是算符?在本征态Ψ中的本征值。

27. 力学量算符本征态的特点？
答：厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。

28.完备系（完全系）？力学量的取值及几率？
答：一组函数φn(x) (n=1,2,...)，如果任意函数Ψ(x)都可以向这组函数展开：
)()(x c x n n n
φψ∑=（Ψ(x) 应具有与φn(x) (n=1,2,...)，相同的定义域和边界条件（包
括无限远点）），则称这组函数φn(x) 具有完全性（完备性），或者说函数φn(x) (n=1,2,...) 组成完全系（完备系）。

力学量取值及几率：|c n |2应表示力学量F
ˆ取λn 的几率，|c λ|2dλ是在?态中测得力学量在λ→λ+dλ范围内的几率。

补充：
1. 电子自身具有一固有磁矩，且该磁矩的空间取向只有两个。

2. n 种运动方式就有n 种状态。

但这n 个状态的能量是相同的，这种情况叫做n 重简并。

3. 相对论效应：电子椭圆轨道运动中，速度变化，而保持角动量不变，所以电子的质量
在轨道运动中是一直改变的。

这种情况的效果是，电子的轨道不是闭合的，主量子数相同而角动量量子数不同的轨道速度变化不同，因而质量的变化和进动的情况完全不同。

质量情况不同，其能量略有差异，从而导致原来的简并态成为非简并态，引起能量的差异，导致光谱的精细结构。

4. 波恩提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率。

发现一个实物
粒子的几率同德布罗意波的波函数平方成正比。

|Ψ(r )|2 的意义是代表电子出现在r 点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r )|2d x d y d z 表示在r 点附近，体积元d x d y d z 中找到粒子的几率。

5. 一维线性谐振子的本征值Λη,2,1,0 ,)(21=+=n n E ω 基于波函数在无穷远处的有限性
条件导致了能量必须取分立值。

6. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。

值得注
意的是，基态能量 E 0={1/2}?ω ≠0，称为零点能。

这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。

7. 氢原子的能级：Λη,3,2,122
2
4
=-
=n n
e E n μ
氢原子的本征态：),()()(ϕθψlm nl nlm Y r R r =ρ
，组成正交归一系。

氢原子波函数宇称：波函数的宇称将由P l m (ζ)的宇称决定，而P l m (cos ?) 具有 ( l +
m ) 宇称，则氢原子波函数的宇称与角量子数有关，根据角量子数的奇偶性改变。

8. 碱金属原子中，价电子的总角动量（也是原子的总角动量，因为原子实角动量为0）为：
()s l j j s l p p p s l j ±==±=±=即, ηη。

而确切根据爱因斯坦修正之后为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+==+=ηηηηηη**
*)1()1()1(j j j p s s s p l l l p j
s l 9. 力学量算符的要求：
1、 力学量算符必须是线性算符
3、 力学量算符为线性厄密算符，其中：坐标算符()22112211ψψψψx c x c c c x +=+、动量
算符()22112211ˆˆˆψψψψx x x p c p c c c p
+=+均为线性厄密算符 10. 算符之积一般不满足交换律，即?? ≠ ??（因为(??) Ψ= ? (?Ψ) ，而(??) Ψ= ? (?
Ψ) ，一般不等）。

这是算符与通常运算规则的重要不同之处。

11. 动量算符∇-=ηρi ˆp
，单位算符I ˆ均为线性算符。

12. 如果(?Ψ)*= ?*Ψ*，则?*称为算符?的复共轭算符。

相当于把?表达式中的所有量换成
复共轭。

13. 厄密共轭算符相当于复共轭算符和转置算符的综合。

*~ˆˆO
O =+ 14. 满足⎰
⎰=τψφτφψd *)ˆ( d ˆ*O O （或者O O ˆˆ=+）的算符称为厄密算符。

厄密算符就是厄密共轭算符与自身相等的算符，（转置的复共轭算符是其本身）。

15. 如算符?作用于一个函数Ψ，等于一个常数与该函数的积，即 ψ=ψλO
ˆ。

则称λ为算符?的本征值，Ψ为属于（对应）本征值λ的本征函数，这一方程称为算符?的本征值
方程。

16. ()r U H
ϖη+∇-=222ˆμ
，哈密顿算符将动量换成了动量算符。

这反映了从力学量的经典表示得出量子力学中表示该力学量算符的规则：如力学量O 在经典力学中有对应的力学量O(r,p)，则表示这个力学量的算符?可由经典表示式O(r,p)中将r 、p 换为其对应的
算符而得出，即()
()∇-==ηϖϖϖi ,ˆ,ˆˆr O p r O O 。

例如：角动量算符：∇⨯-=⨯=r p r L ϖηϖϖϖi ˆˆˆ
17. 动量 p 的本征函数再乘以因子exp[(-i/h)Et ]，就是自由粒子的波函数。

动量 p 可连
续取值，即组成连续谱。

对于自由粒子，其运动不受限制，可在空间任何位置出现，全空间的几率总和不是有限值，所以波函数不能归一化为1，而只能归一化为δ函数。

动量 p 的本征函数可取为：⎪⎭⎫
⎝⎛⋅=r p r p
ϖϖηηρ
ρi exp )
π2(1
)(23ψ 18. 采用箱归一化的方法进行变换可以把连续本征值的动量本征函数，转化为分立本征值
求解，最后在当 L ? ? 时，变回连续谱进行分析
19. 在箱式边界条件中：
（1）由 p x = 2n x ?h / L , p y = 2n y ?h / L , p z = 2n z ?h / L ,可以看出：相邻两本征值的间隔 ? p = 2 ?h / L 与 L 成反比。

当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L ? ? 时，本征值变成为连续谱；
（2）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为1，连续谱归一化为 ? 函数；
（3）? p (r ) ? exp[–i Et /h] 就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值 ；
（4）周期性边界条件是动量算符厄密性的要求。

20. 厄密算符本征函数的正交性（厄密算符本征函数总可以取为正交归一化，即组成正交
归一系）
（1） 厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交 0d *=⎰τφφn m （2） 厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，即组成正交归一系。

1. 分立谱正交归一条件为：⎩
⎨
⎧≠=====⎰n m n
m mn
n m ,0,1d *δτφφ 2. 连续谱正交归一条件为：)(d *λλδτφφλλ'-=⎰'
3. 满足上述正交归一化条件的函数系φn 或φλ ，就称为正交归一（函数）系。

21. 不对易。

算符⎩⎨⎧-=∂∂
x x p
x
ηi ˆ ηi ˆˆ=-x p p x x x 。

但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

αβαββαδηi ˆˆ=-x p p
x ；0ˆˆˆˆ=-αββαp p p p 22. 角动量算符的对易关系：z y x L L L ˆi ]ˆ,ˆ[η=-------------- L
L L ˆi ˆˆϖηϖϖ=⨯ 【自旋角动量S 同样】
23. 当在 ? 态中，测量力学量F
ˆ和G ˆ时，如果同时具有确定值，那么? 必是二力学量共同
本征函数。

对易。

例如：
24. 测不准关系反映了两个不对易的力学量不确定度的大小，是反映力学量关系的重要公
式。

25. 波函数表现方式：设算符Q ˆ的本征值为：Q 1、Q 2、...、Q n 、...，相应本征函数为：u 1(x ),
u 2(x ), ...,u n (x ), ...，则任意态Ψ(x ,t )可向Q
ˆ本征态展开： ()()⎰∑ψ==ψx t x x u t a x u t a t x n n n
n n d ,)(*)()
()(,，
则a 1(t)、a 2(t)、...、a n (t)、...，就是波函数Ψ(x,t)所描写状态在 Q ˆ表象中的表示。

26. 算符在一般表象中的表示形式：根据算符定义ψ=ΦF
ˆ，且在Q ˆ表象中波函数可以用分立谱展开
⎪⎩
⎪⎨
⎧=Φ=ψ∑∑m m m m m m x u t b t x x u t a t x )
()(),()
()(),(，则有∑=m
m nm n t a F t b )
()(，其中
⎰∂∂*-=x x u x F x u F m x
n nm d )()i ,(ˆ)(η。

27. x L ˆ、y L ˆ、z L ˆ在2ˆL 、z L ˆ共同表象),(ϕθlm Y ，l =1子空间的表示矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=010*******ηx L ，
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=0i 0i 0i 0i 02ηy L ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=100000001ηz L （算符在本身表象中肯定为对角阵！
） 28. 对于在本身表象中的算符表示，即以对角阵的方式，其对角元素即为该算符的本征值。

例如：?(0)是对角矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=200030001ˆ)0(H
，是Hamilton ?(0)在自身表象中的形式。

所以能量的0级近似为：E 1(0) = 1 ；E 2(0) = 3； E 3(0) = - 2
29. 产生湮灭算符：用狄拉克算符表示：⎪⎩⎪⎨⎧++=-=+
11ˆ1ˆn n n a
n n n a
其中1ˆ-=n n n a
为产生算符，11ˆ++=+n n n a 为湮灭算符。

⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+p x a p x a ˆi 1ˆ2ˆˆi 1ˆ2ˆ22
ααααηη。

a a N ˆˆˆ+=称为粒子数算符是厄密算符。

30. 产生湮灭算符性质：
1. 对易姓：I a a
ˆ1]ˆ,ˆ[==+
a 、
量子力学基本假设
1、 波函数完全描述粒子的状态.
2、 波函数随时间的演化遵从 Schr?dinger 方程.
3、 力学量算符：量子力学中，力学量用厄密算符表示，其本征函数组成完全系且满足正
交归一化条件。

有经典对应的力学量算符，可由经典表示式中将p ϖ换为 ∇-ηi （r ϖ
不变）得出。

4、 力学量取值的几率分布：体系状态波函数Ψ可向力学量F
ˆ的本征函数Φ展开：⎪⎩⎪⎨⎧Φ=ΦΦ=Φλ
λλλF F n n n ˆˆ，⎰⎰⎰∑ψΦ=ψΦ=Φ+Φ=ψττλλλλλd ,d d *
*c c c c n n n n n 其中。

则在Ψ态中测量力学量F
ˆn 为λn 的几率是|c n |2，得到结果在λ→λ+d λ范围内的几率是|c λ|2d λ。