高二数学 人教A版：抛物线的焦点弦焦半径中点弦问题

AB
，对于
B，设
AB
:
x
my
1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由
AF
2FB ，
得 y1 2 y2 ，从而可求出 A, B 的坐标，进而可求出直线 AB 的斜率，对于 C，同选项 B，利用根与系数关系
后，计算
kOB
kOC
即可，对于
D，同选项
B，利用根与系数关系后，计算
FC
FD
即可
24.
故答案为：24
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可
直接使用公式 AB x1 x2 p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
【例 8】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知抛物线 C : y2 2 px p 0 上一点 P 3, m 到焦点 F
不妨设点 A 在 x 轴上方，代入得， A1, 2 ，
所以 AB 3 12 0 22 2 2 .
故选：B 2.（2022·河南·模拟预测（文））设抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，点 A、B 在抛物线上，若 AF x 轴，
再利用 AB x1 x2 p 8 ，即可求出直线.
（1） 由题意可知： PF 3+ p 4 ，
2 解得： p 2 .
（2）
由（1）知抛物线 C : y2 4x ，则焦点坐标为 (1, 0) ，
由题意知直线 l 斜率不为 0，设直线 l 为： x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 )
|
xi
1 2
，
所以
P1F
P2 F
P2023 F
x1
1 2
x2
1 2
x2023
1 2
x1
x2
x2023
2023 2
2023 2
2023 2
2023
．
故答案为：2023
【例 7】（2022·福建·福州三中高二期末）已知抛物线 C : y2 4x 的焦点 F，过 F 分别作直线 l1 与 C 交于 A， B 两点，作直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，若直线 l1 与 l2 的斜率的平方和为 1，则 AB DE 的最小值为_________
所以 3
2
3cos
，得
cos
1 3
，因为
m
2
m cos(
)
，所以
m
2
m
cos
，所以
m
2
1 3
m
，得
m
3 2
，
所以 BF 的值为 3 ，故选：C 2
【例 5】（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知抛物线 E : y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，过 F 的直线与 E 交于 A, B 两点， C, D 分别为 A, B 在 l 上的射影，则下列结论正确的是（ ）
x1, FB
p 2
x2
，代入| FA | | FB | 32 即可转化为关于
p 的二元一次方程，即可求解.
【详解】由题意知
F
p 2
,
0
,
AB
的方程为
y
x
p 2
，代入 C 的方程，得 x2
3px
p2 4
0 ，设 A x1, y1, B x2, y2 ，
则 x1
x2
3 p, x1x2
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线 AB 的方程，代入 C 的方程，设 A x1, y1 , B x2, y2 ，
根据根与系数关系即可得出 x1 x2 , x1x2 与 p 的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距
离相等可知
FA
p 2
A．若直线 AB 的倾斜角为 45 ，则 AB 8
B．若 AF 2FB ，则直线 AB 的斜率为 2 3
C．若 O 为坐标原点，则 B,O,C 三点共线
D． CF ^ DF
【答案】ACD
【分析】对于 A，求出直线 AB 的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公
式可求出
,
y2
)
，由
y2 4x x my 1
，
消 x 可得 y2 4my4 0,Δ (4m)2 16 16m2 16 0,
y1 y1
y2 4m y2 4
，
AF
2FB
，所以
y1
2
y2
，
所以 y1 2
2, y2
2,m 2 ， 4
所以 k 2
2 或 y1 2
2, y2
2,m
第 21 讲 抛物线的焦点弦焦半径中点弦问题 考点分析
考点一：抛物线焦点弦焦半径公式
图 1-3-1
图 1-3-2
焦半径：
AF
x1
p， 2
BF
x2
p 2
，
|
AF
|
1
p cos
；|
BF
|
1
p cos
．
焦点弦： |
AB | =
x1
+ x2
+
p
=
2p sin2 a
．
三角形面积： S△AOB
p2 2sin
【详解】若直线 AB 的倾斜角为 45 ，则 AB : y x 1，
令
A( x1 ,
y1)B(x2 ,
y2 )
，由
y2 4x
y
x
消 1
y
可得
x2
6x
1
0,Δ
36 4
32
0,
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
6，
所以 AB x1 1 x2 1 6 2 8 ，故 A 正确；
设
AB
:
x
my
1，令
A( x1 ,
y1 ) B( x2
y2
4x
，
得 x2 6x 1 0 ，所以 xA xB 6 ，所以 AB xA xB p 6 2 8 ．
故选：B 【例 2】（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））过抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物
线 C 交于点 A，B，若 AF 2FB, 若直线 l 的斜率为 k，则 k=（ ）
A．6
B．8
C．2
D．4
【答案】B
【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可
【详解】因为抛物线 C
:
y2
2 px( p
0)
的焦点坐标为
F
p 2
,
0
，
又直线
y
x
1过抛物线 C
:
y2
2 px( p
0)
的焦点
F，所以
p
2
，抛物线 C
的方程为
y2
4x
y x 1
，由
所以 k tan BAD BD 2 2r 2 2 ， AD r
同理可得当 A 在 x 轴下方时， k 的值为 2 2 ， 故选：C.
【例 3】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））已知 F 为抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点， 过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A, B 两点，若| FA | | FB | 32 ，则 p （ ）
p2 4
；因为
FA
p 2
x1, FB
p 2
x2
，且
FA
FB
32
，所以
p 2
x1
p 2
x2
32，整
理得
p2 4
p 2
x1
x2 x1x2
32 ，所以
p2 4
p 3p 2
p2 4
32 ，结合
p
0 ，解得
p
4.
故选：D.
【例 4】（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（文））过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，
若 | AF | 3，则 BF 的值为（ ）
A． 5 2
【答案】C
B．2
C． 3 2
D．
1 2
【分析】设 AFx , (0, ) ， BF m ，利用抛物线的定义直接求出 cos 的值，进而得到 m 的值
【详解】如图所示，设 AFx , (0, ) ， BF m ，因为 | AF | 3，所以点 A 到准线 l : x 1的距离为 3，
焦点，若
P1F
P2 F
P2023 F
0
，则
P1F
P2F
P2023 F
______．
【答案】2023
【分析】设
Pi
xi ,
yi i
1, 2,3,, 2023
，由 P1F
P2F P2023F
0
求出
x1
x2
x2023
2023 2
，再利用
抛物线的定义求解.
【详解】解:设 Pi xi , yi i 1, 2,3, , 2023 ，
联立直线与抛物线：
x ty 1
y
2
4x
，消
x
得：
y2
4ty
4
0
，
则 y1 y2 4t, y1 y2 4,
则 x1 x2 t y1 y2 2 4t 2 2
所以 AB x1 x2 p 4t2 2 2 8 ， 解得 t 1， 所以直线 l 为： x y 1 0 或 x y 1 0 【题型专练】 1.（2022·全国·高考真题（文））设 F 为抛物线 C : y2 4x 的焦点，点 A 在 C 上，点 B(3, 0) ，若 AF BF ，
，直线 l2 ： y k2 ( x 1) ，同理
DE
4
4 k22
，
于是得
AB
DE
8
4 k12
4 k22
8 4(k12
k22
)(
1 k12
1 k22
)
16
4(kk2212
k12 k22
)16
4
2
k22 k12
k12 k22
24
，
当且仅当 k12
k22
1 2
时取“=”，所以
AB
DE
的最小值为
因为
Pi
是抛物线 C
:
y2
2x
上的点，F
是抛物线
C
的焦点，所以
F
1 2
,
0
，
因此
Pi F
1 2
xi , yi
，因为
P1F
P2 F
P2023 F
0
，
所以
1 2
x1
1 2
x2
1 2
x2023
0 ，即 x1 x2
x2023
2023 ． 2
又由抛物线的定义，可得
Pi F
|
Pi F
y1 y1
y2 4m y2 4
，
FC
2,
y1
,
FD
2,
y2
，
所以 FC FD 2, y1 2, y2 y1y2 4 0 ，
即 CF ^ DF ，故 D 正确.
故选：ACD.
【例 6】（2022·全国·高二课时练习）已知 Pi i 1, 2,3,, 2023 是抛物线 C : y2 2x 上的点，F 是抛物线 C 的
直线
l1
：
y
k1 ( x
1)
，由
y k1(x y2 4x
1)
消去
y
并整理得：
k12 x2
2(k12
2)x
k12
0
，
设
A( x1 ,
y1),
B( x2 ,
y2 )
，则
x1
x2
2(k12 k12
2)
2
4 k12
，
AB
| AF | | BF | (x11) (x 2 1) 4
4 k12
A． 2 2 【答案】C
B． 2 2
C． 2 2 或 2 2
D． 2 或 2
【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线 l 的斜率. 【详解】当 A 在 x 轴上方时，过 A, B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 A1, B1 ，过 B 作 BD AA1 于 D ，
设 FB r ，则 AB 3r, AD r ，所以 BD AB2 AD2 2 2r ，
的距离为 4. (1)求实数 p 的值；
(2)若直线 l 过 C 的焦点，与抛物线交于 A ， B 两点，且 AB 8 ，求直线 l 的方程.
【答案】(1) p 2
(2) x y 1 0 或 x y 1 0
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可知
PF
3+
p 2
，由此即可求出答案；
（2）由（1）可知焦点坐标为 (1, 0) ，则可设直线为 x ty 1，联立直线与抛物线，则可得 x1 x2 4t 2 2 ，
4
4 y2
, kOC
y1 1
y1 ，
所以 kOB
kOC
4 y2
y1
4 y1y2 y1 y2
0 ，即 B,O,C 三点共线，故
C
正确；
设
AB
:
x
my
1
，令
A( x1 ,
y1 ) B( x2
,
y2
)
，由
y x
2 4x my
1
消 x 可得 y2 4my4 0,Δ (4m)2 16 16m2 16 0,
则 AB （ ）
A．2 【答案】B 【解析】
B． 2 2
C．3
D． 3 2
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 A 的横坐标，进而求得点 A 坐标，即可 得到答案.
【详解】由题意得， F 1, 0 ，则 AF BF 2 ，
即点 A 到准线 x 1 的距离为 2，所以点 A 的横坐标为 1 2 1 ，
2, 4
所以 k 2 2 .即 k 2 2 ，故 B 错误；
设
AB
:
x
my
1
，令
A
x1,
y1
,
B
x2
,
y2
，
x y
my 2 4x
1 ，
消 x 可得 y2 4my 4 0, Δ 4m2 16 16m2 16 0,
y1 y1
y2 4m y2 4
kOB
y2 x2
y2 y22
．
题型目录
题型一：抛物线焦点弦焦半径 题型二：抛物线焦点弦面积问题 题型三：抛物线中点弦问题
典型例题
题型一：抛物线焦点弦焦半径 【例 1】（2023·全国·高三专题练习）直线 y x 1 过抛物线 C : y 2 2 px( p 0) 的焦点 F ，且与 C 交于 A、B 两 点，则| AB | （ ）
【答案】24
【分析】根据给定条件，将直线 l1 、l2 的方程，与抛物线方程联立求出 AB 、 DE ，再借助均值不等式求解
作答.
【详解】抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F (1, 0) ，准线 l : x 1，设直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2 ， k1k2 0 ，有