【数学】湖北省武汉市外国语学校2013-2014学年高二下学期期中考试(文)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知i 是虚数单位，a ∈R．若复数
2i 2i
a a +-的虚部为1，则a ＝ （ ）
A ．14
B ．1
C ．2
D ．2± 2.函数f (x )＝x 2
－2ln x 的单调递减区间是( )
A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪(0,1]
D ．[－1,0)∪(0,1]
3. 已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13
x 3
＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件
4. 已知x >0，由不等式x ＋1
x
≥2
x ·1x ＝2，x ＋4x ＝x 2＋x 2＋4
x ≥33x 2·x 2·4x
2＝3，…，我们可以得出推广结论：x ＋a
x
≥n ＋1(n ∈N *
)，则a ＝ ( ) A ．2n B ．n
2
C ．3n
D ．n n
5. 已知x ，y 之间的数据如表所示，则回归直线过点( ) A ．(0,0)
B ．(2,1.8)
C ．(3,2.5)
D ．(4,3.2)
6．观察下列各图形：其中两个变量x 、y 具有相关关系的图是 ( )
A ．①②
B ．①④
C ．③④
D ．②③
7. 设)(x f 在),0(+∞上是单调递增函数，当*N n ∈时，*)(N n f ∈，且12)]([+=n n f f ，则（ ）
A ．(4)6f =
B ．(4)4f =
C ．(4)5f =
D ．(4)7f = 8. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数'()f x 在(a ，b )
内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9. 已知函数∈-=a x x a x f (sin )(R)，则下列错误．．
的是（ ） A ．若11a -≤≤，则()f x 在R 上单调递减 B ．若()f x 在R 上单调递减，则11a -≤≤ C ．若1a =，则()f x 在R 上只有1个零点 D ．若()f x 在R 上只有1个零点，则1a = 10. 已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点x x 12、，且x x <12，则（ ）
A ．(),()f x f x >>-
12102 B. (),()f x f x <<-121
02 C. (),()f x f x ><-
12102 D. (),()f x f x <>-12102
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中横线上。

. 11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频
率分布直方图（如图），为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1500元的称为低收入者，高于3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中抽取的人数一共是_________． 12. 函数f (x )＝13x 3－x 2
－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________．
13. 复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数z =__________ 14.已知正弦函数可以展开为sin !!!
x x x x x =-
+-+ 357
111357，类
似
地
，
余
弦
函
数
可
以
展
开
为
c
o s x A B x C x D x E
x =+++++2468
的形式，则E =
16. 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），
做成一个无盖的方底箱子，则该箱子的最大容积是 17. 已知()f x x =
+1
1
各项均为正数的数列{n a }，满足a =11，()n n a f a +=2，若a a =20142012，则a a +=2011
三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 213°＋cos 2
17°－sin 13°cos 17°；
②sin 215°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°；
③sin 218°＋cos 2
12°－sin 18°cos 12°；
④sin 2(－18°)＋cos 2
48°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin 2(－25°)＋cos 2
55°－sin(－25°)cos 55°. (1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
19. （本小题满分12分）
已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12
x 2
＋bx ＋a .(a ，b ∈R)的导函数'()f x 的图象过原点．
(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得'()f x ＝－9，求a 的最大值．
20. （本小题满分13分）
设f (x )＝1
3x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳出
一个一般结论，并给出证明．
21. （本小题满分14分）
设函数()ln f x x x a x =-++2
21有两个极值点x x 12、，且x x 12<，则： (I) 求实数a 的范围；(II)求()f x 2的范围
22. （本小题满分14分）
已知2Q =
称为x ，y 的二维平方平均数，22
x y A +=称为x ，y 的二维算术平均
数，2G =x ，y 的二维几何平均数，2211H x y
=+称为x ，y 的二维调和平均数，其
中x ，y 均为正数。

（I ） 试判断2G 与2H 的大小，并证明你的猜想。

（II ） 令22M A G =-，22N G H =-，试判断M 与N 的大小，并证明你的猜想。

（III ） 令22M A G =-，22N G H =-，22P Q A =-，试判断M 、N 、P 三者之间的大小
关系，并证明你的猜想。

三、解答题: 本大题共5小题，共65分．
18.解：(1)选择②式计算如下：sin 215°＋cos 2
15°－sin 15°·cos 15°＝1－12sin 30°
＝3
4
. 。

3’ (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：
法一 sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2
α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2
α＋
34cos 2α＝3
4
. 法二 sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝
1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α
2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2
α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1
4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。

12’
19.解：由已知，得f ′(x )＝x 2
－(a ＋1)x ＋b .
由f ′(0)＝0，得b ＝0，f ′(x )＝x (x －a －1)．
(1)当a ＝1时，f (x )＝13
x 3－x 2
＋1，f ′(x )＝x (x －2)，f (3)＝1，
f ′(3)＝3.
所以函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程为y －1＝3(x －3)， 即3x －y －8＝0. 。

6’
(2)存在x ＜0，使得f ′(x )＝x (x －a －1)＝－9，－a －1＝－x －9x
＝(－x )＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－9x ≥2
－x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－9x ＝6，a ≤－7，当且仅当x ＝－3时，a ＝－7.
所以a 的最大值为－7. 。

12’ 20.解： f (0)＋f (1)＝
1
30
＋3＋13＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝3
3.同理f (－1)＋f (2)＝
33，f (－2)＋f (3)＝3
3
.。

4’ 由此猜想：当x 1＋x 2＝1时，
f (x 1)＋f (x 2)＝3
3.证明：设x 1＋x 2＝1，则 f (x 1)＋f (x 2)＝
1
3x 1＋3
＋
1
3x 2＋3＝ 3x 1＋3 ＋ 3x 2＋3 3x 1＋3 3x 2＋3
＝
3x 1＋3x 2＋23
3x 1＋x 2＋3 3x 1＋3x 2 ＋3
＝3x 1＋3x 2＋23
3 3x 1＋3x 2 ＋2×3
＝3x 1＋3x 2＋233 3x 1＋3x 2＋23
＝
3
3
.故猜想成立．。

13’ 21.解：
ln ()f x -<<212204。

14’ 22.解：解：（I ）22G H ≥，采用分析法。

欲证22G H ≥
2xy
x y
≥
+，
即证1≥
，即证x y +≥。

3’ （II ）M N ≥。

欲证M N ≥
，即证
22x y xy
x y
++≥+
22x y xy x y ++≥+等号成立的条件是x y =，所以原命题成立。

6’ （III ）M P N ≥≥。

首先证明M P ≥：欲证M P ≥
，即证x y +≥
即证222
2
22x y x y xy xy +++≥+
2()2
x y +
即证422()8()x y xy x y +≥+，即证4()0x y -≥，上式显然成立，等号成立的条件是x y =，故
M P ≥.
再证P N ≥：欲证P N ≥
2
+y 2()2+y 2(+y)
x xy x y x x --=，
即证221
()2
2(+y)
x y x -≥，当x y =时，上式显然成立，当x y ≠时，
即证x y
≥已经成功证明，
+≥M P
所以原命题成立。

14’
注释：本例主要考察学生由特殊到一般的推理思维，并且考察了分析法，本题也可以用导数的方法证明，只要合理，均可得分！。