广东江门2022高考重点考试(即一模)-数学(理)

广东江门2022高考重点考试（即一模）-数学（理）
数学（理科）
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh
V 3
1=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
假如事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
⒈已知函数
x x f -=1)(定义域为M ，x x g ln )(=定义域为N ，则=N M
A ．{}1|≤x x
B ．{}10|≤<x x
C ．{}10|<<x x
D ．{}10|≤≤x x ⒉在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数是i -2（其中， i 是虚数单位），假如点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数是
A ．i --2
B ．i +-2
C ．i +2
D ．i 21-
⒊采纳系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采纳简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 ⒋ 右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为 A ．72 B ．36 C ．24 D ．12 ⒌在ABC ∆中，若
π125=∠A ，π
4
1=∠B ，
26=AB ，则=AC
A ．3
B ．32
C ．33
D ．34 ⒍若0>x 、0>y ，则1>+y x 是122>+y x 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 ⒎已知x 、y 满足422=+y x ，则543+-=y x z 的取值范畴是
A 1
C A ．] 15 , 5 [- B ．] 10 , 10 [- C ．] 2 , 2 [-
D ．] 3 , 0 [ ⒏设)(x f 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当] 1 , 0 [∈x 时，22)(x x x f -=，则)(x f 在区间] 2013 , 0 [内零点的个数为
A ．2020
B ．2014
C ．3020
D ．3024
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题） ⒐已知数列{}n
a
的首项11=a ，若*∈∀N n ，21-=⋅+n n a a ，
则=n
a ．
⒑执行程序框图，假如输入4=a ，那么输出=n ． ⒒如图，在棱长为2的正方体1
111D C B A ABCD -内
（含正方体表面）任取一点M ， 则
1
1≥⋅AM AA 的概率
=p ．
⒓在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线14
22
2
=+-m y m x 的焦距为8，则=m ． ⒔在平面直角坐标系Oxy 中，直线a y =（0>a ）与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为
3
28，则=a ．
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，曲线2sin =θρ与
2cos -=θρ的交点的极坐标为 ．
⒖（几何证明选讲选做题）如图，圆O 内的两条弦AB 、CD 相交于P ，4==PB PA ，PC PD 4=．若O 到AB 的 距离为4，则O 到CD 的距离为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
⒗（本小题满分12分）
D
A B
C
E
F G
•
•已知函数
)
6
52sin()(π+=x A x f （0>A ，R x ∈）的最小值为2-．
⑴求)0(f ；
⑵若函数)(x f 的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称，求ϕ的最小值．
⒘（本小题满分14分）
春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动。

⑴)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；
⑵商场对选出的某商品采纳抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为m 3元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为m 6元的奖金。

假设顾客每次抽奖中获的概率差不多上3
1，请问：商场将奖金数额m 最高定为多少元，才
能使促销方案对商场有利？
⒙（本小题满分14分）
如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，
过A 作CD AE ⊥，垂足为E 。

F 、G 分别是CE 、AD 的中点。

现将ADE ∆沿AE 折起，
使二面角C AE D --的平面角为0135．
⑴求证：平面⊥DCE 平面ABCE ； ⑵求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．
⒚（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率
2
3=
e ，右焦点为)0 , 3( F ． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与FA 共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．
⒛（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，2≥∀n ，43-n S 、n a 2、12--n S 总成等
差数列．
⑴求n
S ；
⑵对任意*N k ∈，将数列{}n
a 的项落入区间) 3 , 3 (2k k 内的个数记为k
b ，求k b ．
21（本小题满分14分）
已知
x
a a x a x x f ln )()12(2
1)(2
2+++-=（0>x ，a 是常数），若对曲线)(x f y =上任意一点) , (0
0y x P 处的切线)(x g y =，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范畴．
江门市2020年高考模拟考试
数学（理科）评分参考
一、选择题 BCAD DBAC
二、填空题 ⒐
⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数 ，
2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ⒑4 ⒒4
3 ⒓3（未排除4-，给3分） ⒔2 ⒕)
4
3 , 22(π（只对一个坐标，或书写错误，给2分） ⒖7
三、解答题 ⒗解：⑴因为函数
)
6
52sin()(π+=x A x f （0>A ，R x ∈）的最小值为2-，
因此=2A ，
5()2sin(2)6f x x π=+……2分，5(0)=2sin 1
6
f π
=……4分 ⑵函数)(x f 的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度， 得
52sin[2()]
6
y x πϕ=++……6分
因为
52sin[2()]
6
y x πϕ=++的图像关于y 轴对称，
因此
52(0),62k k Z
ππ
ϕπ++=+∈……8分 解得
,62
k k Z
π
π
ϕ=-+∈……10分 因为0>ϕ，因此ϕ的最小值为3
π……12分
⒘解：⑴设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有
38C 种不同的选法……1分，
选出的3种商品中，没有家电的选法有
36
C 种……2分 因此，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为
14
9
1)(383
6=
-=C C A P ……4分
⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m ，m 3，m 6。

（单元：元）……5分 0ξ=表示顾客在三次抽奖都没有获奖，因此
27
8)311()0(3=
-==ξP ……6分
同理，
9
431)311()(21
3
=
⨯-⨯==C m P ξ……7分
9
2)31()311()3(212
3
=
⨯-⨯==C m P ξ……8分
27
1)31()6(333
=
⨯==C m P ξ……9分
顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
m
m m m E 3
42716923942780)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ……12分（列式2分，运算1分）
由100
3
4
≤m ，解得75≤m ……13分
因此故m 最高定为75元，才能使促销方案对商场有利……14分。

⒙⑴证明：
DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DE CE E DE CE CDE ⋂=⊂，平面，
∴ AE ⊥平面CDE ， 3分
AE ⊂平面ABCE ，
∴平面⊥DCE 平面ABCE ． 5分
⑵（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系 6分 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135，……7分
1=AB ，2=BC ，21+=CD ，
∴A （2，0，0），B （2,1,0），C （0,1,0），E （0,0,0），D （0，1-,1）。

9分
F 、
G 分别是CE 、AD 的中点， ∴F 1（0，，0）2，G -11（1，，）
22
10分
∴FG =-11（1，，）
2
,AE =
（-2，0，0）， 11分 由⑴知AE 是平面DCE 的法向量， 12分 设直线FG 与面DCE 所成角02
παα≤≤（）
，
则
22
sin 3
322
FG AE FG AE
α⋅-=
=
=⨯，
故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23
． 14分（列式1分，运算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分
由⑴知AE ⊥平面CDE ，因此⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分
G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，
2
2=
EH ……8分
因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，因此DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即
DEC ∠=0135，……9分
在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 2222
45)22(222122141=-⨯⨯⨯-+（或2
5=FH ）……11分（列式1分，运算1分） ⊥GH 平面CDE ，因此FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中，
2
32
2
=
+=FH GH GF
……13分（列式1分，运算1分）
因此直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为3
2sin =
=∠GF GH GFH ……14分
⒚解：⑴设椭圆C 的方程为2
2
221(0)x y a b a b
+=>>， 1分 椭圆C 的离心率
2
3=
e ，右焦点为)0 , 3( F ，
∴2
c
c a ==，
222a b c =+，
∴2,1,a b c ===
3分
故椭圆C 的方程为2
2
1
4
x y +=． 4分
⑵假设椭圆C 上是存在点P （00
,x y ），使得向量OA OP +与FA 共线， 5分
00(,1)
OP OA x y +=+
，
(FA =-，
∴
011y +=
，即001)x y =+，
（1） 6分 又
点P （00
,x y ）在椭圆22
1
4
x y +=上，∴2
2
01
4
x y += (2) 7分
由⑴、⑵组成方程组解得
0001
x y =⎧⎨
=-⎩
，或
0017x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
9分
∴(0,1)P -
，或
1()
77
P -， 10分
当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =， 当点P
的坐标为
1()
7
P 时，直线AP
440y -+=， 故直线AP 的方程为0y =
440y -+=． 12分
⒛解：⑴2≥∀n ，43-n S 、n a 2、1
2--n S 总成等差数列，
因此，22n
a ⨯=（43-n S ）+（12--n S ）……1分 因为1(2)n n n a S S n -=-≥，因此14()n n S S --=（43-n S ）+（12--n S ），
即1
32n n S S -=-……3分
又因为21=a ，1
10n S --≠，
11113213
11
n n n n S S S S ------==--，111S -=，
因此数列
{}1n S -是首项等于1，公比q =3的等比数列……6分
1113n n S --=⨯，即113n n S -=+……7分
⑵由⑴得2≥∀n ，
1221(13)(13)23n n n n n n a S S ----=-=+-+=⨯……8分
1n =时，2123212n a -⨯=⨯==，因此，任意*n N ∈，223n n a -=⨯……9分
任意*N k ∈，由
k n k a 233<<，即k
n k 223323<⨯<-……11分，
（k n k 2)2(2log 3<-+<，2log 222log 233-+<<-+k n k ……12分
因为12log 03
<<，因此“若学生直截了当列举，省略括号内这一段说明亦可”） n 可取2+k 、3+k 、……、12+k ……13分，因此k b k
=……14分
21．解：依题意，
x
a a a x x f ++
+-=2/
)12()(……1分
)(00x f y =，曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为 ))((00/0x x x f y y -=-……2分，
即
))((00/0x x x f y y -+=，因此))(()(00/0x x x f y x g -+=……3分
直截了当运算得
)
1)(ln ()12(21)(0
02
200-++++--=x x x a a x a x x x x g ……5分，
直截了当运算得)()(x g x f ≥等价于
0)1)(ln ()(210
02
2
0≥+-++-x x
x x a a x x (7)
分
记
)
1)(ln ()(21)(0
02
20+-++-=x x x x a a x x x h ，则
)
1)(()11)(()()(0
2002
0/
xx a
a x x x x a a x x x h +--=-++-=……8分
若02≤+a a ，则由0)(/=x h ，得0x x =……9分，且当0
0x x <<时，0)(/<x h ，
当0x x >时，0)(/>x h ……10分，因此)(x h 在0x x =处取得极小值，从而也是最小值，
即0)()(0
=≥x h x h ，从而)()(x g x f ≥恒成立……11分。

若02>+a a ，取
a
a x +=
20，则
)1)(()(0
20/
≥+--=xx a
a x x x h 且当0
1x x ≠时
0)(/>x h ，)(x h 单调递增……12分，因此当00x x <<时，0)()(0=<x h x h ，与
)()(x g x f ≥恒成立矛盾，因此02≤+a a ……13分，从而a 的取值范畴为01≤≤-a ……14分。