线代B试题与答案

《线性代数》试题B 与答案
一、填空题
1.四阶行列式ij a 的展开式中，项13342142a a a a 所带的符号是 号.
2.设矩阵1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则2A = ；n A = . 3.设A 是n 阶方阵，2A =-，则13()T A A -= .
4.已知向量组123,,ααα线性无关，向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = .
5.若矩阵A 有个特征值为1，则3223B A A =-有个特征值为 .
6.若实对称矩阵两个特征向量(1,2,1),(1,1,)T T a --，则a = .
二、选择题
1.若三阶行列式的值为零，则该行列式中 ( )
（A ）一行元素全为零 （B ）两行元素相等
（C ）两行元素对应成比例 （D ）有一行可以用另外两行线性表出
2.若A 为3阶方阵，*A 为伴随矩阵，则*(2)A = ( )
（A ）*2A （B ）*4A （C ）*8A （D ）*
16A
3.若矩阵A 中有两个r 阶子式不为零，则必有（ ）
（A ）()r A r = （B ）()r A r ≥ （C ）()r A r < （D ）()r A r >
4.设同阶非零矩阵,A B 满足AB O =，则A 的行向量组与B 的行向量组 ( )
（A ）分别都线性无关 （B ）只有一个线性无关
（C ）分别都线性相关 （D ）以上答案均错 5.若矩阵10000201a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10000002b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
相似,则( )
（A ）1,1a b ==- （B ）1,1a b == （C ）1,1a b =-= （D ）1,1a b =-=-
三、计算题
1．求行列式1012
11031110
10203040
---的第四行元素的代数余子式之和. 2．设矩阵0112
21103A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，且2AX A X -=,求矩阵X . 3．求向量组(1,0,1,0)a = ，(1,1,0,1)b =- ，(1,2,1,2)c =-- ，(1,1,0,1)d =-- 的
秩和一个极大无关组.
四、计算、讨论题
1．设矩阵121201101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，向量12b k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，若非齐次线性方程组AX b =对应
的齐次方程组的基础解系含有两个解向量，且AX b =有解，求,a k 的值和非齐次线性方程组的全部解.
2．已知矩阵00111100A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
，（1）求A 的全部特征值；（2）若A 相似于某个对
角矩阵，求a 的值；（3）在（2）的情况下，求出A 的小于零的特征值所对应的一个特征向量．
五、证明题
设*X 是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,X X 是对应的齐次方程组的一个基础解系，求证: 向量组*
X ，1X ，2X 线性无关.
答案：
一、填空题
1.负.
2.1304⎛⎫ ⎪⎝⎭；1210
2n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 3.3n . 4.1-. 5.1-. 6.1. 二、选择题
1.D .
2.B .
3.B .
4.C .
5.A .
三、计算题
1．1-． 2．122210025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭
. 3．3r =；,,a b c . 四、计算、讨论题
1．1a =，1k =-；11212314232x C x C C x C x C =-+⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩或12310211010001X C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 2．（1）121λλ==-，31λ=；（2）故1a =；（3）101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
．
五、证明题
提示：设有常数012,,k k k 使得*01122k X k X k X O ++=，推出00k =，120k k ==．。