高考数学153课外学生练与悟人教版

第15章 第3讲
一、选择题
1．如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( )
A.1
80
B.1
40 C.
3
80
D.
120
[解析] 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．
∵μA ＝0.1 升，μΩ＝2升， ∴由几何概型求概率的公式， 得P (A )＝μA μΩ＝0.12＝1
20＝0.05.
[答案] D
2．在△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内任投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( ) A.1
3 B.12 C.1
4
D.16
[解析] 因为D 是BC 的中点，所以S △ABD ＝12S △ABC ，所以点落在△ABD 内的概率为1
2.
[答案] B
3．(2010·佛山)已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( )
A.2
9
B.23
C.1
3 D.19
[解析] 如图所示，A 为图中阴影部分．
∴p ＝
S △POQ S △MON ＝2
9
. [答案] A
4．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为(
)
[解析] 由几何概型知它们的概率分别为：P (A )＝3
8，
P (B )＝13，P (C )＝4r 2
－πr 2
4r 2
＝4－π4≈14， P (D )＝2r ×r 2πr 2＝
1
π
. 比较它们的大小知：P (A )最大． [答案] A
5．(2010·陕西，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为(
)
A.1
3 B.23 C ．1
D ．3
[解析] 依题意，在长方形内取每一点的可能性均相等．故可用阴影部分的面积与长方
形面积的比来表示点M 取自阴影部分的概率P ＝
⎠⎛013x 2
d x 3
＝1
3
.
[答案] A
6．(2009·广州二模)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1
2的概率为
( )
A.1
4 B.12 C.3
4
D.78
[解析] 设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0＜x ＜1且0＜y ＜1.由题意知|x －y |＜1
2，所以所求概率P ＝1－2×12×12×
121＝34
.
[答案] C 二、填空题
7．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是________．
[解析] 因∠AOT ＝60°，故其概率为60°360°＝1
6.
[答案] 1
6
8．如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是________．
[解析] 记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×1
3
＝10(米)，
∴P (E )＝1030＝1
3.
[答案] 1
3
9．如图阴影部分是圆O 的内接正方形，随机撒314粒黄豆，则预测黄豆落在正方形内的约________粒．
[解析] 设正方形边长为a ，则圆O 的半径r ＝2a 2
. 所以约有314·
a 2
π
22
a 2
≈200.
[答案] 200
10．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率________．
[解析] 如右图，区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×12
4×4＝π
16
.
[答案]
π16
三、解答题
11．(2010·惠州二模)已知集合{(x ，y )|x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]} (1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率． [解] (1)设事件“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为A
x ，y ∈Z ，x ∈[0,2]，即x ＝0,1,2； y ∈[－1,1]，即y ＝－1,0,1，
则基本事件如下表
基本事件总和n ＝9P (A )＝m n ＝89，故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89
.
(2)设事件“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为B ，
x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]．
基本事件用下图四边形ABCD 区域表示，
事件B 包括的区域如阴影部分
S 阴影＝S ABCD －12×1×1＝4－12＝72
.
P (B )＝S 阴影S ABCD ＝7/24＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为7
8
.
12．(2007·宁夏高考题)设有关于x 的一元二次方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0 (1)若a 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；
(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解] 设事件A 为方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根
当a ≥0，b ≥0时，方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实根的充要条件为a ≥b
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝3
4
.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，
b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}
构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }
∴所求的概率为P (A )＝3×2－12×2
2
3×2＝2
3
.
亲爱的同学请写上你的学习心得。