广东省汕头市达濠华侨中学东厦中学2019届高三上学期第一次联考数学(文)试题 含答案

2018-2019学年度第一学期高三级第一次联考试卷
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）
1. 已知全集U =R , 集合{}2|20N A x x x =∈-≤, {}2,3B =, 则=)(B C A U A ．∅ B ．{}0 C ．{}1 D ．{}0,1
2．复数2
1i
z =
+，则2z =（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i
3．在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则6a =（ ） A ．6 B ．8± C ．8- D ．8
4.函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图象如图所示，则
A. )6sin(2π+=x y
B. )62sin(2π
-=x y
C. )3sin(2π+=x y
D. )3
2sin(2π
-=x y
5．函数22cos ()sin ()44
y x x ππ
=+-+的最小正周期为
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．2π
6.已知双曲线14
222=-y a x 的渐近线方程为x y 33
2±=，则此
双曲线的
离心率是( )
A.72
B.133
C.53
D.213
7.执行下面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的 S =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．变量x ，y 满足22221x y x y y x +⎧⎪
--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（ ）
A ．[]1,6
B ．[]2,6
C ．[]2,5
D ．[]
1,2
9
图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）
A ．16
B ．163
C ．8
3 D ．8
10.已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2
＝1
6，则x ＋y 的最小值为( )
A ．24
B ．32
C ．20
D ．28
11．已知函数()f x 是R 上的奇函数,对于(0)x ∀∈+∞，，
都有(2)()f x f x +=-，且(]01x ∈，时,()21x
f x =+，则)2018()2017(f f +的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧>≤+-=1
215)3()(x x a
x x a x f 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(0,2) D ．(0,2]
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13.设函数2log ,0()4,0x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则[(1)]f f -=
14.曲线)1ln(2+=x y 在点()0,0处的切线方程为
15.不共线向量a ，b 满足a b =，且()2a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为
16.已知函数22)(),)(1)(3()(-=++++=x x g m x m x m x f ，若对任意R x ∈，有)(x f >0 或)(x g >0 成立，则实数 m 的取值范围是
三、解答题：（本大题共
6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查． (1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率。

(1) 求)(x f 的最小正周期.
(2) 求)(x f 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足15,653==S S .
(1)求{}n a 的通项公式； (2)设n a n
n a b 2
=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20.（本小题满分12分）在ABC ∆中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且3cos 5
B =，
()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=.
（1）求边b 的值；
（2）求ABC ∆的周长的最大值.
21.（本小题满分12分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是CD 1、BB 的中点. （1）证明:F D AD 1⊥；（2）证明:面11FD A AED 面⊥； （3）设F AA 111V F AA E 2AA －的体积－，求三棱维＝E
22．（本小题满分10分）
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为
(1,0)，若直线l cos()104π
θ+-=，曲线C 的参数方程是2
44x t y t ⎧=⎨
=⎩
（t 为参数）． （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；
（2）设直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求
11MA MB
．
2018-2019学年度第一学期高三级第一次联考（文数）答案
12. 13.-2 14.02=-y x 15.3π
16.-3<m<-2
三、解答题
17.（1）解：从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的学校数目为3,2,1.…………4分
( 2 )解：在抽取到的6名教师中，3名初级教师分别记为A 1，A 2，A 3,2名中级教师分别记为A 4，A 5，高级教师记为A 6，则抽取2名教师的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种． 从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所
以P (B )＝315＝1
5.…………12分
18.(Ⅰ) ()·f x =a b =)6
2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π
-=-=-
⋅x x x x x x . 最小正周期ππ
==
2
2T . 所以),6
2sin()(π
-=x x f 最小正周期为π. .…………6分
(Ⅱ) 上的图像知，
在，由标准函数时，当]6
5,6-
[sin ]6
5,6-
[)6
2(]2
,
0[π
ππ
ππ
π
x y x x =∈-
∈. ]1,2
1
[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-
=πππ
f f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为21,1-. .…………12分
19. (1)设等差数列{an}的公差为d ，首项为a1. ∵S3＝6，S5＝15，
∴⎩
⎨⎧
3a1＋12×3×3－1d ＝6，5a1＋12
×5×5－1d ＝15，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝2，a1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a1＝1，d ＝1.…………5分
∴{an}的通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n.…………6分
(2)由(1)得bn ＝2n n
a a ＝n
2n
，
∴Tn ＝12＋222＋3
23＋…＋n －12n －1＋n 2n
，①
①式两边同乘1
2
， 得
12Tn ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n
2n ＋1
，② ①－②得12Tn ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛
⎭⎫1－12n 1－12
－n 2n ＋1
＝1－12n －n
2n ＋1，
∴Tn ＝2－12n －1－n
2n
.…………12分
20．
…………6分
（2）由余弦定理得， 22262cos 15
a c
b a
c B ac +=+=+. ∴()
2
2
161611552a c a c ac +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭
，∴a c +≤.
所以当a c =时， ABC ∆
1.…………12分
21、（本小题满分12分）
如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是CD 1、BB 的中点. （1）证明:F D AD 1⊥；（
证明: ∵1AC 是正方体 ∴1DC AD 面⊥
又11DC F D 面⊂ ∴F D AD 1⊥ ………………4分
（2）求证:面11FD A AED 面⊥；
证明：由（1）知,F D AE )2(,11A AE AD F D AD =⊥⊥ 又　知由 ∴1111FD A 面 又 面⊂⊥F D AED F D
∴面FD A AED 1面⊥ ……………9分
（3）设F AA 111V F AA E 2AA －的体积－，求三棱维＝E 解：连结G D 、GE
∵体积E AA F F AA E V V 11
1--= ……………10分
又 FG ⊥面11A ABB ，三棱锥F-E AA 1的高FG=21=AA
∴面积S S E AA 2
11=
∆□ 2221
21
1=⨯=
A
ABB ……………12分 ∴3
4
31111=⋅⋅==∆--E AA E
AA F F AA E S FG V V ……………14分
22．解：（1
cos()104
π
ρθ+
-=，所以cos sin 10ρθρθ--=
由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=，因为244x t y t ⎧=⎨=⎩，，
消去t 得2
4y x =
所以直线l 和曲线C 的普通方程分别为10x y --=和2
4y x =． ………5分
（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l
的参数方程：2
12x t y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t 为参数）， ,A B 对应的参数为12,t t
．280t --
=12128
t t t t +==-
121211
t t MA MB t t -+=
=
18==
…………………10分。