2014-2015年内蒙古第一机械制造集团有限公司高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年内蒙古第一机械制造集团有限公司高二（上）期
末数学试卷（理科）
一.选择题
1．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）
A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=
2．（5分）下列命题正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c
3．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）
A．4x+1=0B．4y+1=0C．2x+1=0D．2y+1=0
4．（5分）命题p：∀x∈R，函数，则（）
A．p是假命题；￢p：∃x∈R，
B．p是假命题；￢p：∃x∈R，
C．p是真命题；￢p：∃x∈R，
D．p是真命题；￢p：∃x∈R，
5．（5分）过椭圆=1的右焦点且倾角为45°的弦AB的长为（）A．5B．6C．D．7
6．（5分）等差数列{a n}的前n项和是S n，若a1+a2=5，a3+a4=9，则S10的值为（）A．55B．60C．65D．70
7．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）
A．0B．1C．D．9
8．（5分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
9．（5分）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）
A．﹣+B．﹣++
C．D．
10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
11．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）
A．B．C．4D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
12．（5分）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为．
13．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是．
14．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是．15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
16．（10分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x ﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．
（1）若a=2时，求A∩B；
（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．
17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；
（2）若，，求a．
18．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点E（，0）的直线与椭圆相交于点A，B两点，且AF1
∥F2B，|F1A|=2|F2B|
（Ⅰ）求椭圆的离心率
（Ⅱ）直线AB的斜率．
19．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣ka n（k≠0）对任意n∈N*成立，令b n=a n+1﹣a n，且{b n}是等比数列．
（1）求实数k的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）求和：S n=b1+2b2+3b3+…nb n．
20．（12分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．
（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；
（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．
（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；
（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
2014-2015学年内蒙古第一机械制造集团有限公司高二
（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题
1．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）
A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=
【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选：C．
2．（5分）下列命题正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c
【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；
若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；
若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；
若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确
故选：D．
3．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）
A．4x+1=0B．4y+1=0C．2x+1=0D．2y+1=0
【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；
所以：2p=1，即p=，
所以：=，
∴准线方程y=﹣，即4y+1=0．
故选：B．
4．（5分）命题p：∀x∈R，函数，则（）
A．p是假命题；￢p：∃x∈R，
B．p是假命题；￢p：∃x∈R，
C．p是真命题；￢p：∃x∈R，
D．p是真命题；￢p：∃x∈R，
【解答】解：y=2cos2x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+
=1+≤3
故命题p为真，
又∵命题p：∀x∈R，函数，
则￢p为：∃x∈R，．
故选：D．
5．（5分）过椭圆=1的右焦点且倾角为45°的弦AB的长为（）A．5B．6C．D．7
【解答】解：作图如右图，由题意知，
a=5，b=3，c=4；
故点F（4，0），AB的方程为y=x﹣4；
设A（x1，y1），B（x2，y2）；
由联立消y化简可得，
34x2﹣200x+175=0；
故x1+x2==；
则弦AB的长|AB|=|AF|+|BF|
=（﹣x1）+（﹣x2）
=（×2﹣）
=；
故选：C．
6．（5分）等差数列{a n}的前n项和是S n，若a1+a2=5，a3+a4=9，则S10的值为（）A．55B．60C．65D．70
【解答】解：∵等差数列{a n}中，
a1+a2=5，a3+a4=9，
∴，
解得a1=2，d=1，
∴×1=65．
故选：C．
7．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0B．1C．D．9
【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0
时，目标函数Z有最小值，
Z min=3x+2y=30=1
故选：B．
8．（5分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，∴2c=a
∴e==
故选：A．
9．（5分）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，
且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）
A．﹣+B．﹣++
C．D．
【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，
点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，
所以=．
所以=．
故选：B．
10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D=A1B=DB=AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°
故选：C．
11．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）
A．B．C．4D．8
【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），
将A点坐标代入双曲线方程得=4，
∴a=2，2a=4．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
12．（5分）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为y2=﹣4x．
【解答】解：设抛物线方程为y2=mx，
代入P（﹣2，2），可得，
8=﹣2m，即有m=﹣4，
则抛物线的方程为y2=﹣4x．
故答案为：y2=﹣4x．
13．（5分）从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段PP′，交y轴于P′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是4x2+y2=1．
【解答】解：由题意可得已知圆的方程为x2+y2=1．
设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），
∵M是线段PP′的中点，
∴由中点坐标公式得2x=x0，y=y0，
∵P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，
∴（2x）2+y2=1①
即4x2+y2=1．
∴点M的轨迹是一个椭圆．
故答案为：4x2+y2=1．
14．（5分）已知双曲线方程是x2﹣=1，过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P（2，1）为P1P2的中点，则此直线方程是4x﹣y﹣7=0．【解答】解：设y=kx﹣2k+1．代入x2﹣=1，消y并化简，得（2﹣k2）x2+2k （2k﹣1）x﹣4k2+4k﹣3=0．
设直线与双曲线的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．
当2﹣k2≠0即k2≠2时，有x1+x2=
又点P（2，1）是弦P1P2的中点，
∴=4，解得k=4．
当k=4时△=4k2（2k﹣1）2﹣4（2﹣k2）（﹣4k2+4k﹣3）=56×5＞0，
当k2=2即k=±时，与渐近线的斜率相等，
即k=±的直线l与双曲线不可能有两个交点，
综上所述，所求直线方程为y=4x﹣7．
故答案为：4x﹣y﹣7=0．
15．（5分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=1，那么的取值范围是[，+∞）．
【解答】解：设k=，则y=kx﹣（k+3）表示经过点P（1，﹣3）的直线，k 为直线的斜率，
∴求的取值范围就等价于求同时经过点P（1，﹣3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，
从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB和k PA，
其中k PB不存在，
由圆心C（2，0）到直线y=kx﹣（k+3）的距离=r=1，
解得：k=，
则的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
16．（10分）已知集合A是不等式x2﹣8x﹣20＜0的解集，集合B是不等式：（x
﹣1﹣a）（x﹣1+a）≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．
（1）若a=2时，求A∩B；
（2）若p是￢q的充分不必要条件，求a的范围．
【解答】解：（1）由已知条件得：A=（﹣2，10），B=（﹣∞，1﹣a]∪[1+a，+∞）；
当a=2时，B=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）则：
A∩B=（﹣2，﹣1]∪[3，10）；
（2）由题意：p：﹣2＜x＜10，￢q：1﹣a＜x＜1+a；
因为p是￢q的充分不必要条件，则，解得：a≥9；
∴a的范围为[9，+∞）．
17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；
（2）若，，求a．
【解答】解：（1）由b=asinB，根据正弦定理得：sinB=sinAsinB，
∵在△ABC中，sinB≠0，
∴sinA=，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A=；
（2）∵b=，c=+1，cosA=，
∴根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=6+4+2﹣2××（+1）×=4，
则a=2．
18．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点E（，0）的直线与椭圆相交于点A，B两点，且AF1
∥F2B，|F1A|=2|F2B|
（Ⅰ）求椭圆的离心率
（Ⅱ）直线AB的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）由AF1∥F2B，|F1A|=2|F2B|，得，从而a2=3c2，故
离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b2=a2﹣c2=2c2，所以椭圆的方程可以写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为即y=k（x﹣3c）
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0
依题意，△＞0，而x1+x2=，x1x2=，
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2
联立三式，解得，，将结果代入韦达定理中解得
19．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣ka n（k≠0）对任意n∈N*成立，令b n=a n+1﹣a n，且{b n}是等比数列．
（1）求实数k的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）求和：S n=b1+2b2+3b3+…nb n．
【解答】解：（1）∵a1=1，a2=3，
a3=3×3﹣k×1=9﹣k，
a4=3×（9﹣k）﹣k×3=27﹣6k，
∵b n=a n+1﹣a n，
∴b1=3﹣1=2，b2=6﹣k，b3=18﹣5k，
∵{b n}成等比数列，
∴=b1•b3，
∴（6﹣k）2=2×（18﹣5k），
解得k=2或k=0（舍）
当k=2时，a n
+2
=3a n+1﹣2a n，
∴a n
+2﹣a n
+1
=2（a n+1﹣a n），
∴，∴k=2时满足条件．
（2）∵b1=2，{b n}成等比数列，，∴b n=2n，
∴a2﹣a1=2，，…，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，
∴a n﹣a1=1+2+22+23+…+2n﹣1
==2n﹣1，
∴a n=2n．
（3）S n=b1+2b2+3b3+…nb n
=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②
①﹣②，得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1
=﹣n×2n+1
=2n+1﹣2﹣n×2n+1，
∴．
20．（12分）已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．
（1）若m=1，k1=时，求弦|AB|的长度；
（2）若k1+k2=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．
【解答】解：（1）当m=1，则E（1，0）为抛物线焦点，即AB为抛物线的一条焦点弦，
+x2+p=x1+x2+2
设AB：，则|AB|=x
联立：得：3x2﹣10x+3=0∴则|AB|=x1+x2+2=
（2）设AB：y=k1（x﹣m）
联立：得：，
则M为（）同理：N为（）
若k1+k2=1，则M为（）N为（），
k MN=
直线MN为：化为：y=k1k2（x﹣m）+2，
显然直线恒过点（m，2）
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．
（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；
（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．
又∠APD=，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．
因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．
设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
由PA⊥PD，=（0，﹣a，﹣b），=（0，2﹣a，﹣b），
得﹣a（2﹣a）+b2=0．①
因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2﹣a）2+b2．②
由①，②得a=1，b=1．
由（Ⅰ）知，=（0，﹣1，﹣1）是面PCD的一个法向量．
设面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，
又=（2，﹣1，﹣1），=（0，2，0），
所以取=（1，0，2）．
因为＜，＞﹣，又二面角B﹣PC﹣D为钝角，
所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值﹣．
赠送—高中数学知识点
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()
y f
u
=
为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在
[,0)a -、]a 上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数
M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作
max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
y
x
o
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。