福建省霞浦第一中学高一数学上学期第二次月考试题

霞浦一中2017-2018学年第一学期高一年第二次月考
数学试题（AB 合卷）
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页，满分150分。

考试 时间120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1．考生将自己的姓名、考试号及所有答案均填写在答题卡上，交卷时只交答题卡。

2．考生必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意。

共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知全集{}1,234,5U =，，，集合{}34A =，，{}12B =，，则()U C A B 等于（ ）
A ．{}12，
B ．{}13，
C ．{}125，，
D ．{}123，， 2.下列函数中，是奇函数且在()0+∞，上单调递减的是（ ）
A ．1y x -=
B ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3
y x = D ．12
log y x =
3.用系统抽样方法从编号为1,2,3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（ ） A ．48 B ．62 C ．76 D ．90
4.函数x
x x f 1
log )(2-=的一个零点落在下列哪个区间（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
5.从装有2个红球和3个绿球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A ．恰有一个红球；恰有两个绿球
B ．至少有一个红球；至少有一个绿球
C ．至少有一个红球；都是红球
D ．至少有一个红球；都是绿球
6. 总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7.已知函数f (x )＝ln x ，g
(x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )
A ．x 2<x 3<x 1
B ．x 1<x 3<x 2
C ．x 1<x 2<x 3
D ．x 3<x 2<x 1
8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为98,63，则输出的a 为（ ）
A ．0
B ．7 C.14 D ．28
9. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8
，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 266 191 025 671 932 812 458 564 613 431 257 393 027 556 488 730 113 137 969 据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（ ） A ．0.25 B 0.35 C 0.40 D 0.45 10. 如果下边程序执行后输出的结果是110，那么在程序中 UNTIL 后面的“条件”应为( )
A. i>=10
B. i<10
C. i<=10
D. i<9
11.已知()2ln 11f x x ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
，则()()()()()()()()75313579f f f f f f f f -+-+-+-++++= （ ）
A ．0
B ．4 C.8 D ．16
12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1f x x =-.若方程()f x =有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．5,14⎛⎫
- ⎪⎝⎭ B ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为 ．
14.空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数.AQI 数值越小，说明空气质量越好.某地区1月份平均()AQI y 与年份()x 具有线性相关关系.下列最近3年的数据：
根据数据求得y 关于x 的线性回归方程为14y x a =-+，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI 为 ．
15.已知()()3
2
1f x x a x =+-是奇函数，则不等式()()f ax f a x >-的解集
是 ．
16.若不等式8x
<log a x 对10,3
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
恒成立，则a 的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，共70分）
17. （本小题满分10分）已知集合{}|20A x x x =<->或，1|33x
B x ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
.
（Ⅰ）求A B ；
（Ⅱ）若集合{}|1C x a x a =<≤+，且A
C C =，求a 的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知函数()24,0,
1,0
x
x x x f x a x ⎧-+≥=⎨-<⎩（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,3-.
（Ⅰ）求a 的值，并在给出的直角坐标系中画出()y f x =的图象； （Ⅱ）若()f x 在区间(),1m m +上是单调函数，求m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）
学校想了解学生的周课外阅读时间，从全校的学生中随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图)．
b 的值；
(2) 根据频率分布直方图，估计该校学生一周课外阅读时间的众数、平均数、中位数。

20. （本小题满分12分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择.
方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；
方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖. （注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）
（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于
1
2
.你认为正确吗？请说明理由；
（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由.
21. （本小题满分12分）
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为2
24m ，三月底测得覆盖面积为2
36m ，凤眼莲覆盖面积y （单位：
2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1x y ka k a =>>与
()12
0y px q p =+>可供选择.
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份. （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 22. （本小题满分12分）
已知函数()()2
0f x x ax a =+>在[]1,2-上的最大值为8，函数()g x 是()x
h x e =的反函
数.
（Ⅰ）求函数()()
g f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：函数()()()1
0y f x h x x x
=-
>恰有一个零点0x .
（参考数据： 2.71828e =…）
霞浦一中2017-2018学年第一学期高一年第二次月考
数学试题（AB 合卷）参考答案
一、选择题
1-6:AABBAD 7-12:ABDBCB 二、填空题
13. 85 14.36 15.1|2x x ⎧
⎫
>⎨⎬⎩
⎭
16. ⎫⎪⎪⎝⎭
三、解答题 17.解：（Ⅰ）
111()3(),33x -≥=且函数1
()3x y =在R 上为减函数， {}1B x x ∴=≤-……………………3分
{}10A B x x x ∴⋃=≤-≥或……………………5分
(2),A C C C A ⋂=∴⊆ ……………………6分
120a a ∴+<-≥或 ……………………9分
30a a ∴<-≥或 ……………………10分
18.解：（Ⅰ）∵函数()f x 的图象经过点(2,3)-，∴2
13a --=，解得
1
2a =
……………………2分
∴24,0,()1()1,0.2
x x x x f x x ⎧-+≥⎪
=⎨-<⎪⎩
……………………3分
其图象如图所示：
……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是(),0-∞，()2,+∞，
∴10m +≤或2m ≥或12
0m m +≤⎧⎨≥⎩
……………………9分
∴m 的取值范围为1m ≤-或01m ≤≤或2m ≥. ……………………12分
19.解：(1) 课外阅读时间落在组[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.17
2
＝
0.085. …………………
…2分
课外阅读时间落在组[8，10)内的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.25
2
＝0.125.
4分
(2) 根据频率分布直方图，估计该校学生一周课外阅读时间的众数为
810
92
+= 6分 平均数: 10.0630.0850.1770.2290.25110.12x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
130.06150.02170.02+⨯+⨯+⨯=7.68 8分
众数:0.19
60.11
+ ……………………10分
8
7
11
= ……………………11分 答：根据频率分布直方图，估计该校学生一周课外阅读时间的众数为9，平均数为7.68，众数为
8
7
11。

……………………12分 20.解：（Ⅰ）将4个红球分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，2个白球分别记为1b ，2b ，……1分 则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{1a ,2a }，{1a ,3a }，{1a ,4a }，{1a ,1b }，{1a ,2b }，{2a ,3a }，{2a ,4a }，{2a ,1b }，{2a ,2b }，{3a ,4a }，{3a ,1b }，{3a ,2b }，{4a ,1b }，{4a ,2b }，{1b ,2b }，总共15种，……………………3分
其中2个都是红球的有{1a ,2a }，{1a ,3a }，{1a ,4a }，{2a ,3a }，{2a ,4a }，{3a ,4a }共6 种，
……………………4分
所以方案一中奖的概率为1621
1552
p =
=<，……………………5分 所以顾客的想法是错误的. ……………………6分
（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，……………………8分
其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1,4），（2,4），（3,4），（4,4），（5,4），（6,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,5），（4,6）共11种，……………………10分
所以方案二中奖的概率为2112
365
p =
<，……………………11分 所以应该选择方案一. ……………………12分
21.解：(Ⅰ)两个函数x
y ka =(0,1)k a >>，12
(0)y px q p =+>在(0,)+∞上都是增函数，随着x 的增加，函数x
y ka =(0,1)k a >>的值增加的越来越快，而函数1
2
(0)y px q p =+>的值增加的越来越慢. ……………………1分
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型x y ka =(0,1)k a >>适合要求．
……………………2分
由题意可知，2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以2324,
36.
ka ka ⎧=⎨=⎩ ……………3分
解得32,33.2
k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……………………5分
所以该函数模型的解析式是32332x
y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()x N *∈．……………………6分
(Ⅱ) 0x =时, 0
32332
323
y ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,
所以元旦放入凤眼莲面积是
2
32,3
m ……………………7分 由3233210323x
⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭得310,2x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
……………………8分
所以32
lg101
log 10,3lg3lg 212
x g >=
=- ……………………9分
因为
11
5.7,lg3lg 20.47700.3010
=≈--…………………10分
所以6x ≥ ……………………11分
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份. …12分 22.解：(Ⅰ) 函数2()(0)f x x ax a =+>的图象开口向上，且()(2)1330f f a --=+>， 所以()f x 在[]1,2-上的最大值为(2)428f a =+=……………………1分 所以2a =，2()2f x x x =+……………………2分 因为()g x 是()e x h x =的反函数， 所以()ln g x x =……………………3分
()2(())ln 2g f x x x =+，……………………4分
由2
20x x +>，得0x >或2x <-，
又因为()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，……………………5分 所以(())g f x 的单调递增区间为()0,+∞，单调递减区间为(),2-∞-.…………………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，2
()2,f x x x =+记()()1
()()0x f x h x x x
ϕ=-
>， 设120x x <<，则12120,0x x x x -<>，所以
12
12
0x x x x -<，……………………7分 因为()f x 在(0,)+∞上递增且()0f x >，所以()()210f x f x >>， 又因为21e >e 0x
x
>，所以()()1212e e x x
f x f x <，………………8分
所以
2121211
1)()()()(2
1
x x e x f e x f x x x x +
-
-=-ϕϕ=2
1212121)()(x x x x e x f e x f x x -+-.0< 即()()12x x ϕϕ<，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增，………………9分
又因为12202ϕ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，11
e e 212e 1e e e e 0e e ϕ+⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭
，
即1102e ϕϕ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，………………11分
所以函数()1
()()0y f x h x x x
=->恰有一个零点0x .………………12分。