【新教材】6.3.1 平面向量基本定理

培优强基训练—6.3.1 平面向量基本定理
【课堂达标】
1．{e 1，e 2}是平面内一个基底，下面说法正确的是( )
A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0
B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)
C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内
D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 2．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA →＝a ，OB →
＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR →
等于( )
A ．a －b
B ．2(b －a )
C ．2(a －b )
D ．b －a
3．已知向量a ，b 不共线，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D
4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，
则x －y ＝________.
5．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝1
4AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →
＝b ，
用a ，b 表示AP →
.
【巩固“四基”】
1．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下列对a ，b 的判断正确的是( )
A ．a 与b 一定共线
B ．a 与b 一定不共线
C ．a 与b 一定垂直
D ．a 与b 中至少一个为0
2．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平
面内所有向量的一组基底的是( )
A ．e 1与e 1＋e 2
B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2
C ．e 1＋e 2与e 1－e 2
D ．e 1－2e 2与－e 1＋2e 2 3．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→
，以b 与c 作为基底，则AD ―→
＝( )
A.23b ＋13c
B.53c －23b
C.23b －13c
D.13b ＋23
c
4．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ，y
的值分别为( )
A ．0,0
B ．1,1
C ．3,0
D ．3,4 5.如图所示，|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，|OC ―→
|＝3，∠AOB ＝60°， OB ⊥OC ，设OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→
，则( )
A ．x ＝－2，y ＝－1
B ．x ＝－2，y ＝1
C ．x ＝2，y ＝－1
D ．x ＝2，y ＝1 6.如图，平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→
＝b ，M 是DC 的中
点，以a ，b 为基底表示向量AM ―→
＝________.
7．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x ＋y )e 1＋(3x ＋2y )e 2＝0，则x ＋y ＝________.
8.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与
AC 交于点G ，若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，用a ，b 表示AG ―→
＝________.
9.如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB ―→，AC ―→
表示AD ―→.
10.如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，试以a ，b 为基底表示DE ―→，BF ―→.
【提升“四能”】
11．(多选题)若e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是( )
A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对
C ．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)
D ．若存在实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0
12．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
13．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →
.则△ABM 与
△ABC 的面积之比为________．
14．(一题两空)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD
交于O 点，线段OD 上有点M 满足DO →＝3DM →，线段CO 上有点N 满足OC →＝λON →
(λ＞0)，设AB →＝a ，AD →＝b ，已知MN →
＝μa －16b ，则λ＝________，μ＝________.
【拓展延伸】
15．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14
AB ．
(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →
；
(2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．
16.如图，在△ABC 中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB ，AF ，
AC 于点D ，G ，E .如果AD ―→＝λAB ―→，AE ―→＝μAC ―→
，λ，μ∈R .
求证：G 为△ABC 重心的充要条件是1λ＋1
μ
＝3.
参考答案
【课堂达标】
答案 A
解析 由基底的定义可以知道，e 1和e 2是平面上不共线的两个向量，所以若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0，不是空间任一向量都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，而是平面中的任一向量a ，可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，此时实数λ1，λ2有且只有一对，而对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面内，所以A 正确．
答案 B
解析 如图，a ＝1
2(OP →＋OQ →
)，
b ＝1
2
(OQ →＋OR →)，
相减得b －a ＝1
2(OR →－OP →)，
∴PR →
＝2(b －a )． 答案 A
解析 ∵AB →＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，∴2AB →＝BD →，∴AB →∥BD →
.又∵AB →与BD →
有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选A.
答案 3
解析 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6，
y ＝3，
∴x －y ＝3.
解 如图，取AE 的三等分点M ，
使AM ＝1
3AE ，连接DM ，则DM ∥BE .
设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝1
4AC ，
∴AC ＝12t ，EC ＝9t ， ∴在△DMC 中，
CE CM ＝CP CD ＝911
， ∴CP ＝911CD ，∴DP ＝2
11
CD ，
AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋2
11(DA →＋AC →
)
＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →
＝311a ＋211b . 【巩固“四基”】
1.解析：选B 由平面向量基本定理知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0.故选B.
2.解析：选D 由e 1，e 2为不共线向量，可知e 1与e 1＋e 2，e 1－2e 2与e 1＋2e 2，e 1＋e 2与e 1－e 2必不共线，都可作为平面向量的基底，而e 1－2e 2＝－(－e 1＋2e 2)，故e 1－2e 2与－e 1＋2e 2共线，不能作为该平面所有向量的基底．故选D.
3.解析：选A ∵BD ―→＝2DC ―→，∴AD ―→－AB ―→＝2(AC ―→－AD ―→)，∴AD ―→－c ＝2(b －AD ―→)，∴AD ―→＝13c ＋2
3
b .故选A.
4.解析：选D ∵向量e 1与e 2不共线，∴⎩⎨⎧
3x ＝4y －7，
10－y ＝2x ，
解得⎩
⎨⎧
x ＝3，
y ＝4.故选D.
5.解析：选B 过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ，连接BC (图略)．由|OB ―→|＝1，|OC ―→
|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △ODC 中，可得OD ＝2CD ＝2，则OC ―→＝OD ―→＋OB ―→＝－2OA ―→＋OB ―→
.故选B.
6.解析：AM ―→＝AD ―→＋DM ―→＝AD ―→＋12DC ―→＝AD ―→＋12AB ―→
＝b ＋12a .
答案：b ＋1
2
a
7.解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝0，3x ＋2y ＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝0，y ＝0. ∴x ＋y ＝0. 答案：0
8.解析：AG ―→＝AB ―→＋BE ―→＋EG ―→
＝a ＋12b ＋14BD ―→＝a ＋12b ＋14b －14a ＝34a ＋
3
4
b . 答案：34a ＋3
4
b
9.解：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD ―→＝14BC ―→＝14(AC ―→－AB ―→)，∴AD ―→
＝
AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋14(AC ―→－AB ―→)＝34AB ―→＋14
AC ―→
.
10.解：∵四边形ABCD 是平行四边形， E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，
∴AD ―→＝BC ―→＝2BE ―→，CD ―→＝BA ―→＝2CF ―→
， ∴BE ―→＝12AD ―→＝12
b ，
CF ―→＝12CD ―→＝12BA ―→
＝－12AB ―→＝－12
a .
∴DE ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BE ―→＝－AD ―→＋AB ―→＋BE ―→
＝－b ＋a ＋12b ＝a －1
2
b ，
BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝AD ―→＋CF ―→
＝b －12a .
【提升“四能”】
11.AD [由平面向量基本定理，可知AD 说法正确，B 说法不正确．对于C ，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C 不正确．]
12.B [AB →
|AB →|
为AB →
上的单位向量，
AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，
∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →
|的方向相同．
而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，
∴点P 在AD →
上移动，
∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．]
13.1∶4 [如图，由AM →＝34AB →＋14AC →
可知M ，B ，C 三点共线，
令BM →＝λBC →，则AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →
)
＝(1－λ)AB →＋λAC →
⇒λ＝14
，所以
S
△ABM S
△ABC
＝14
，即△ABM 与△ABC 面积之比为1∶4.]
14.3 12 [依题意得BD →＝b －a ，AC →
＝a ＋b ，
且DM →＝16DB →＝1
6(a －b )＝16a －16
b ，
AN →＝AO →＋ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λАС→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＋12λ(a ＋b )，
所以AM →＝AD →＋DM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
6a －16b ＝16a ＋56
b ，
AN →＝AM →＋MN →＝16a ＋56b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μa －16b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μa ＋2
3b ，即AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ(a ＋b )＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μa ＋2
3
b ， 由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧
12＋12λ＝2
3，12＋12λ＝16＋μ，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＝3，μ＝12
.]
【拓展延伸】
15.[解] (1)因为AN ＝14AB ，所以AN →＝14AB →＝14a ，所以DN →＝AN →－AD →＝14a －
b .因为BM ＝23BC ，所以BM →＝23BC →＝23AD →＝23b ，所以AM →＝AB →＋BM →
＝a ＋23
b .
(2)因为A ，O ，M 三点共线，所以AO →∥AM →
，
设AO →＝λAM →，则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b －b ＝λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b .
因为D ，O ，N 三点共线，所以DO →∥DN →，存在实数μ使DO →＝μDN →
，则λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14a －b . 由于向量a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1
4μ，
2
3λ－1＝－μ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝3
14，μ＝6
7.
所以AO →＝314AM →，OM →＝1114
AM →
，
所以AO ∶OM ＝3∶11.
16.证明：充分性：若G 为△ABC 重心，则AG ―→＝23AF ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→
)
＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫
AD ―→λ＋AE ―→μ， 又因点D ，G ，E 共线，所以AG ―→＝t AD ―→＋(1－t )AE ―→＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→λ＋AE ―→μ，
因AD ―→，AE ―→
不共线，所以13λ＝t 且13μ＝1－t ，两式相加即得1λ＋1μ＝3.
必要性：若1λ＋1μ＝3，则AG ―→＝x AF ―→＝x 2(AB ―→＋AC ―→)＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→λ＋AE ―→μ＝t AD ―→＋(1－t )AE ―→
，
所以x 2λ＝t 且x 2μ＝1－t ，相加即得x ＝2
3，即G 为△ABC 重心．
故G 为△ABC 重心的充要条件是1λ＋1μ
＝3.。