举反例帮助理解零点存在定理
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图 １
零 点存 在 定 理 只 是 给 我 们 提 供 了众 多 求 函
由上 例 我 们 可 以 看 出 ： 如 果 函 数 一 数零 点 的道 路 中的一 条而 已．
厂 （ ） 在 区间 ［ 口 ， ６ ］ 上 的图象 是 一 条 间 断 的 曲
现在 ， 你 还有 疑 问 吗？ 不妨 多 做 些 辨 析
举 例 帮 助 理 解 零 点 存 在 定 理
南 京 市 大 厂 高 级 中学 雷 亚庆
函 数 零 点 存 在 定 理 为 我 们 判 断 函数 在 代 表一 定 没 有 ） ， 只有 函数 ｙ—ｆ（ ｘ） 在 区 间
某 区间上 是否 有 零 点 提供 了 理论 依 据 ， 但 很 ［ ｎ ， ６ ］ 上 的 图 象是 一 条 不 间 断 的 曲线 ， 且
ｌ １ ， ≥２ ，
的曲 线 ， 且 厂（ ０ ）・厂（ ４ ） ＜０ ， 但 是 函 数 Ｙ：
（ ） 在 区间（ ０ ， ４ ） 上 有三 个零 点 １ ， ２ ， ３ ． 显然 ， （ １ ）・ 厂 （ ２ ） ＜０ ， 且 函数 一厂 （ ｚ ） 在区 厂 从上 例 中可 以看 出 ， 满 足 函数 —ｆ （ ｘ ） 间（ １ ， ２ ） 上 的 图 象是 一 条 不 间 断 的 曲 线 ， 但 是 函数 一厂 （ ｚ ） 在 区间（ １ ， ２ ） 上 没有 零 点．
如 图 １所 示 ．
１
反例 ４ 函数 厂 （ ｚ ） 一（ 一２ ） （ 一３ ） ， 在
区间［ １ ， ４ ］ 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲线 ，
且 ，（ １ ）・ 厂（ ４ ） ＞０ ， 但 是 函数 （ ｚ ） 在 区间 （ Ｏ ， ３ ） 上有 零 点 ２ ， ３ ． 从 上例 可 以 看 出 ， “ 函 数 Ｙ— ｆ（ ｚ） 在 区
∥反 例 ２ 已 知 函 数 ， （ ｚ ） 一 １ 一 ， 虽 然 有 ，（ ） 在 区 间（ 口 ， ） 上 一定 没有零 点 ？
厂 （ 一１ ） 一一１ ＜０ ， 厂 （ １ ） 一１ ＞ ０， 即 厂 （ 一１ ）・
， （ １ ） ＜Ｏ ， 但是函数在 （ 一１ ， １ ） 上没有 零点，
ｒ 一１， ≤ １ ，
上 才一 定有 零点 ．
３ ．有 零点 ， 是 不是 只有 一个 零点 ？
反 例 ３ 函数 厂 （ ｚ ） 一（ ｘ －１ ） （ ｘ－ ２ ）．
ｚ 一３ ） 在 区 间［ Ｏ ， ４ ］ 上 的 图 象是 一 条 不 问断 反 例 １函 数 ｆ （ ｘ ） 一 ｊ － １ ， １ ￣ ｘ ＜ ［ ２ ， （
多 同学对 它存 在 许 多 认 知上 的偏 差 ． 下 面我 厂 （ 口 ）・ 厂 （ ６ ） ＜０ ， 函数 ｙ一厂（ ｚ ） 在 区间 （ 口 ， ６ ） 们通 过举 反例 帮 助 同学 们 纠正这 些 偏差 ．
１ ．结论 件 要强调 是 闭区 间？
断的 曲线 ？
在 区间 ［ 口 ， ６ ］ 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲
间（ ｎ， ６ ） 上 至少 有一 个零 点．
４ ．是不 是 ， （ 口 ）・ ， （ ６ ） ＞０时 ， 函数 Ｙ ＝
且 ， （ ｎ ）・ 厂（ ６ ） ＜Ｏ ， 则 函数 一－ 厂 （ ｚ ） 在 区 ２ ．为什 么 强 调 函 数 的 图 象 是 一 条 不 间 线 ，
线， 那 么即使 它 满 足 厂（ 口 ）・ ，（ ６ ） ＜０ ， 函数 练 习 ， 自己试 着 找 找 反 例 ， 有 助 于 大 家 迅 速
一， （ ） 在 区间 （ 口 ， ６ ） 上也 不 一 定有 零 点 （ 不 地 掌握这 一 定理及 其运 用 ．
Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ２ １
间［ ｎ ， ６ ］ 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲线 ， 且
＿ 一
１
厂 （ 口 ）・ 厂 （ ６ ） ＜０ ” 只是 函数 Ｙ一厂（ ｚ ） 在 区间
（ 口 ， ６ ） 上有零点 的一种情况 ， 即 满 足 上 述 条
件， 该 函数 一 定 有 零 点 ， 但 它 并 不 表 示 不 满 足 上述 条 件 时 ， 函数 就 没 有零 点 ． 也 就 是 说
零 点存 在 定 理 只 是 给 我 们 提 供 了众 多 求 函
由上 例 我 们 可 以 看 出 ： 如 果 函 数 一 数零 点 的道 路 中的一 条而 已．
厂 （ ） 在 区间 ［ 口 ， ６ ］ 上 的图象 是 一 条 间 断 的 曲
现在 ， 你 还有 疑 问 吗？ 不妨 多 做 些 辨 析
举 例 帮 助 理 解 零 点 存 在 定 理
南 京 市 大 厂 高 级 中学 雷 亚庆
函 数 零 点 存 在 定 理 为 我 们 判 断 函数 在 代 表一 定 没 有 ） ， 只有 函数 ｙ—ｆ（ ｘ） 在 区 间
某 区间上 是否 有 零 点 提供 了 理论 依 据 ， 但 很 ［ ｎ ， ６ ］ 上 的 图 象是 一 条 不 间 断 的 曲线 ， 且
ｌ １ ， ≥２ ，
的曲 线 ， 且 厂（ ０ ）・厂（ ４ ） ＜０ ， 但 是 函 数 Ｙ：
（ ） 在 区间（ ０ ， ４ ） 上 有三 个零 点 １ ， ２ ， ３ ． 显然 ， （ １ ）・ 厂 （ ２ ） ＜０ ， 且 函数 一厂 （ ｚ ） 在区 厂 从上 例 中可 以看 出 ， 满 足 函数 —ｆ （ ｘ ） 间（ １ ， ２ ） 上 的 图 象是 一 条 不 间 断 的 曲 线 ， 但 是 函数 一厂 （ ｚ ） 在 区间（ １ ， ２ ） 上 没有 零 点．
如 图 １所 示 ．
１
反例 ４ 函数 厂 （ ｚ ） 一（ 一２ ） （ 一３ ） ， 在
区间［ １ ， ４ ］ 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲线 ，
且 ，（ １ ）・ 厂（ ４ ） ＞０ ， 但 是 函数 （ ｚ ） 在 区间 （ Ｏ ， ３ ） 上有 零 点 ２ ， ３ ． 从 上例 可 以 看 出 ， “ 函 数 Ｙ— ｆ（ ｚ） 在 区
∥反 例 ２ 已 知 函 数 ， （ ｚ ） 一 １ 一 ， 虽 然 有 ，（ ） 在 区 间（ 口 ， ） 上 一定 没有零 点 ？
厂 （ 一１ ） 一一１ ＜０ ， 厂 （ １ ） 一１ ＞ ０， 即 厂 （ 一１ ）・
， （ １ ） ＜Ｏ ， 但是函数在 （ 一１ ， １ ） 上没有 零点，
ｒ 一１， ≤ １ ，
上 才一 定有 零点 ．
３ ．有 零点 ， 是 不是 只有 一个 零点 ？
反 例 ３ 函数 厂 （ ｚ ） 一（ ｘ －１ ） （ ｘ－ ２ ）．
ｚ 一３ ） 在 区 间［ Ｏ ， ４ ］ 上 的 图 象是 一 条 不 问断 反 例 １函 数 ｆ （ ｘ ） 一 ｊ － １ ， １ ￣ ｘ ＜ ［ ２ ， （
多 同学对 它存 在 许 多 认 知上 的偏 差 ． 下 面我 厂 （ 口 ）・ 厂 （ ６ ） ＜０ ， 函数 ｙ一厂（ ｚ ） 在 区间 （ 口 ， ６ ） 们通 过举 反例 帮 助 同学 们 纠正这 些 偏差 ．
１ ．结论 件 要强调 是 闭区 间？
断的 曲线 ？
在 区间 ［ 口 ， ６ ］ 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲
间（ ｎ， ６ ） 上 至少 有一 个零 点．
４ ．是不 是 ， （ 口 ）・ ， （ ６ ） ＞０时 ， 函数 Ｙ ＝
且 ， （ ｎ ）・ 厂（ ６ ） ＜Ｏ ， 则 函数 一－ 厂 （ ｚ ） 在 区 ２ ．为什 么 强 调 函 数 的 图 象 是 一 条 不 间 线 ，
线， 那 么即使 它 满 足 厂（ 口 ）・ ，（ ６ ） ＜０ ， 函数 练 习 ， 自己试 着 找 找 反 例 ， 有 助 于 大 家 迅 速
一， （ ） 在 区间 （ 口 ， ６ ） 上也 不 一 定有 零 点 （ 不 地 掌握这 一 定理及 其运 用 ．
Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ２ １
间［ ｎ ， ６ ］ 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲线 ， 且
＿ 一
１
厂 （ 口 ）・ 厂 （ ６ ） ＜０ ” 只是 函数 Ｙ一厂（ ｚ ） 在 区间
（ 口 ， ６ ） 上有零点 的一种情况 ， 即 满 足 上 述 条
件， 该 函数 一 定 有 零 点 ， 但 它 并 不 表 示 不 满 足 上述 条 件 时 ， 函数 就 没 有零 点 ． 也 就 是 说