教学设计3：1.2.2 第1课时 函数的表示法

1.2.2 第1课时函数的表示法
教学目标
1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．
3．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．
4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．重点难点
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．
教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．
教学过程
导入新课
思路1．语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．
思路2．我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．
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新知探究
提出问题
初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？
讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．
(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做
图象法．
(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．
应用示例
例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为：
用图象法可将函数y＝f(x)表示为图1.
图1
点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对
应，因此身高y 是年龄n 的函数y ＝f (n )，但是这个函数的解析式不存在，函数y ＝f (n )不能用解析法来表示．
注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；
③图象法：根据实际情境来决定是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征. 变式训练1
1.1 如图2所示为y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论正确的是( )
图2
A ．abc ＞0
B ．a ＋b ＋c ＜0
C ．a －b ＋c ＞0
D ．2c ＜3b
【解析】由图象研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易知a ＜0，b ＞0，c ＞0. 当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＞0；当x ＝－1时，a －b ＋c ＜0，故A ，B ，C 都错． 【答案】D
1.2 已知2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，则f (x )＝________.
【解析】由题意得2()()32,2()()32,
f x f x x f x f x x +-=+⎧⎨-+=-+⎩
把f (x )和f (－x )看成未知数，解方程即得． 【答案】3x ＋2
3
例2 下面是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．
解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．
图3
由图3可看到：
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；
赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．
点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.
变式训练2
2.1 函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是________．
【答案】[2,11)
2.2 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象．
【解析】解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积y表示为x的函数，
用数学的方法解决，然后再回到实际中去．
解：设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，则面积y ＝12(a －2x )x ＝－x 2＋1
2ax .
又0,20,
x a x >⎧⎨
->⎩得0＜x ＜a 2
，即定义域为⎝⎛⎭⎫0，a 2.由于y ＝－⎝⎛⎭⎫x －a 42＋116a 2≤1
16a 2， 如图4所示，结合函数的图象得值域为⎝⎛⎦
⎤0，1
16a 2.
图4
2.3 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图5所示，那么水瓶的形状是( )
图5
【解析】要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系，突出了对思维能力的考查． 观察图象，根据图象的特点发现：取水深h ＝H 2，注水量V ′＞V 0
2，
即水深为一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半． A 中V ′＜V 02，C 、D 中V ′＝V 0
2，故排除A ，C ，D.
【答案】B 课堂训练
1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则()
A．y＝10－x(0＜x≤10)
B．y＝10－x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
【解析】根据等腰三角形的周长列出函数解析式．
∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．
∴y＝20－2x(5＜x＜10)．
【答案】D
2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为()
A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]
C．[a－1，b－1] D．无法确定
【解析】将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．【答案】A
3．函数f(x)＝1
1＋x2
(x∈R)的值域是() A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
【解析】(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜
1
1＋x2
≤1.
【答案】B
拓展提升
问题：变换法画函数的图象都有哪些？
解答：变换法画函数的图象有三类：
1．平移变换：
(1)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图象；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图象；
(3)将函数y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图象；
(4)将函数y＝f(x)的图象向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图象．
简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．
2．对称变换：
(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0即y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0即x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
3．翻折变换：
(1)函数y＝|f(x)|的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到．
(2)函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y 轴左边部分并保留y＝f(x)在y轴右边部分图象即可得到．
函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．
课堂小结
本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．
作业
课本习题1.2A组7,8,9.。