第6章 二元关系

（2）设R上的“相等”关系为S，则
S={<x,y>|(x,y∈R)∧(x=y)}。
2.关系图法
（1）A≠B
设A＝{a1,a2,„,an}，B＝{b1,b2,„,bm}，R是 从A到B的一个二元关系，则规定R的关系图如下： ①.设a1,a2,…,an和b1,b2,…,bm分别为图中的结点， 用“○”表示；
②.如<ai,bj>R，则从ai到bj可用有向边ai。。bj 相连。<ai,bj>为对应图中的有向边。
关系图法(续)
（2)A=B
设 A ＝ B=<a1,a2,…,an> ， R 是 A 上的关系，则 R 的关 系图规定如下： ①.设a1,a2,…,an为图中结点，用“○”表示 ②. 如 <ai,aj>R ，则从ai 到 aj 可用有向边 ai 。。 bj 相连。<ai,aj>为对应图中的有向边。 ③ . 如 <ai,ai>R, 则从 ai 到 ai 用一带箭头的小圆环 表示，即：ai
R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<1,3>,
<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}。 1 3
2
4
3.关系矩阵
设A＝{a1,a2,…,an}，B＝{b1,b2,…,bm}，R是从A到 B的一个二元关系，称矩阵 MR＝（rij)n×m为关系R的 关系矩阵(Relation Matrix)，其中
注意
由例6.2.3我们可以看出： （1）笛卡儿积不满足交换律；
（2）A×B=Φ当且仅当A=Φ或者B=Φ；
（3）笛卡儿积不满足结合律； （4）对有限集A,B，有|A×B|=|B×A|=|A|×|B|。
定理6.2.1
设A,B,C是任意三个集合，则
（1）A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)；
（2）(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)；
的子集，即从A到B的不同关系共有2|A|•|B|个。
用图表示关系
假设A={a1,a2,a3,a4,a5,a6}，B={b1,b2,b3,b4,b5}，
C={a3,a4,a6}，D={b1,b2,b4,b5}， R={<a3,b1>,<a3,b2>,<a4,b4>,<a6,b4>,<a6,b5>}。 显然，RC×DA×B。
于是有x∈A且y∈B或者x∈A且y∈C。
从而，<x,y>∈A×B或者<x,y>∈A×C。 即<x,y>∈(A×B)∪(A×C)， 所以，A×(B∪C)(A×B)∪(A×C)。
定理6.2.1证明(续)
另一方面，对任意<x,y>∈(A×B)∪(A×C)， 由并运算定义知，<x,y>∈A×B或者<x,y>∈A×C。
推广
定义6.2.6 设A1,A2,…,An是n个集合，称集合
A1×A2×…×An
={<a1,a2,…,an>|(ai∈Ai)∧i∈{1,2,3,…,n}}
为集合A1,A2,…,An的笛卡儿积(DescartesProduct) 当A1=A2=…=An=A时，有A1×A2×…×An=An。 定 理 6.2.3 当 集 合 A1,A2,…,An 都 是 有 限 集 时 ， |A1×A2×…×An|=|A1|×|A2|×…×|An|。
1. 集合表示法（枚举法和叙述法）
例 6.2.7 （ 1 ）设 A={a} ， B={b,c} ，用枚举法写出从 A到B的不同关系； （2）用叙述法写出定义在R上的“相等”关系。 解（1）A到B的不同关系有： R 1= Ф ， R3={<a,c>}， R2={<a,b>}， R4={<a,b>,<a,c>}；
例6.2.8
试用关系图表示下面的关系。
（1）设A={2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A到B之间的一 种整除关系R1={<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<4,4>} R1 B A 关系图中的 3 2 有向边与关
4 3 5 4 6
系集合中的 序偶一样多
例6.2.8(续)
（2）假设A={1,2,3,4}，则A上的小于等于关系
由笛卡儿积的定义知，x∈A且y∈B或x∈A且y∈C。
进一步有x∈A且y∈B∪C， 从而<x,y>∈A×(B∪C)。 所以(A×B)∪(A×C)A×(B∪C)。 于是，根据定理1.2.2， 有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。 (2)、(3)和(4)的证明作为练习，自证。
定理6.2.2
设A,B,C,D是任意四个集合，则
N重有序组
定义 6.2.3 由 n 个元素 a1,a2,a3,…,an 按照一定次序 组成的n元组称为n重有序组 (n-Type)(Vector) ，记 作：<a1,…,an> 例6.2.2 用n重有序组描述下列语句。 定 义 6.2.4 给 定 n 重 有 序 组 <a1,a2,…,an> 和 （1）中国四川成都电子科技大学计算机学院； <b1,b2,…,bn>。 <2006 中国年 ,四川 ,成都 ,点 电子科技大学 （2 ） 9月10 日18 16分25秒； ,计算机学院> <a1,a2,…,an>=<b1,b2,…,bn> <2006,9,10,18,16,25> （3 ） 16减5再加3除以7等于2。 <16,5,3,7,2> ai=bi(i=1,2,…,n)
例6.2.4
假设 A={a,b} ， B={c,d} ，试写出从 A 到 B 的所有不同 关系。 解 因为A={a,b}，B={c,d}，所以 A×B={<a,c>,<a,d>,<b,c>,<b,d>}。 于是A×B的所有不同子集为： 0–元子集：Φ； 1–元子集：{<a,c>},{<a,d>},{<b,c>},{<b,d>}； 2–元子集：{<a,c>,<a,d>}，{<a,c>,<b,c>}， {<a,c>,<b,d>}，{<a,d>,<b,d>}， {<a,d>,<b,d>}，{<b,c>,<b,d>}；
理论等计算机学科很好的数学工具。
第6章 二元关系1来自二元关系 关系的运算 关系的性质
内 容 提 要
2
3
4
关系的闭包运算
6.2 二元关系
6.2.1 序偶与笛卡尔积
上,下；左，右；3<4；中国地处亚洲；平面上点 的坐标（x,y）等。 特征：成对出现、具有一定的顺序。 定义6.2.1 由两个元素x,y按照一定的次序组成 的二元组称为有序偶对 ( 序偶 ) ，记作 <x,y> ，其 中称x为<x,y>的第一元素，y为<x,y>的第二元素。
例6.2.4解(续)
3–元子集：
{<a,c>,<a,d>,<b,c>},{<a,c>,<a,d>,<b,d>}，
{<a,c>,<b,c>,<b,d>},{<a,d>,<b,c>,<b,d>}；
4–元子集：{<a,c>,<a,d>,<b,c>,<b,d>}。
注意 当集合A,B都是有限集时，A×B共有2|A|•|B|个不同
（3）A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)；
（4）(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。 分析 待证等式两端都是集合 等式成立两个集合相等 集合相等两个集合互相包含
定理6.2.1证明
（1）对任意<x,y>∈A×(B∪C)，
由笛卡儿积的定义知，x∈A且y∈B∪C；
由并运算定义知，y∈B或者y∈C。
B={b1,b2,…,bn}
二元关系
定义 6.2.7 设 A,B 为两个非空集合，称 A×B 的任何 子集 R 为从 A 到 B 的二元关系，简称关系 (Relation) 。 如A＝B，则称R为A上的二元关系。
这里，A称为R的前域，B称为R的后域。
令
C＝{x|<x,y>R}A，
D＝{y|<x,y>R}B，
又称MR为R的邻接矩阵(Adjacency Matrix)。
1 < ai,bj > R r (i= 1,2,...,n,j = 1,2,...,m) ij = 0 < ai,bj > R
1. 必须先对集合A,B中的元素排序 2. A中元素序号对应矩阵元素的行下标， 3. B中元素序号对应矩阵元素的列下标； 4. 关系矩阵是0-1矩阵，称为布尔矩阵。
⇔
笛卡尔乘积
定义6.2.5 设A，B是两个集合，称集合： A×B＝{<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}
为集合A与B的笛卡尔积(DescartesProduct)。
注意： ① 集合A与B的笛卡儿积A×B仍然是集合； ② 集合A×B中的元素是序偶，序偶中的第一元素取 自A，第二元素取自B。
例6.2.3
a1 a2 R
a3
a4 a6 C D
a5
b1 b2 b4 b5 B
b3
A
例6.2.5
求定义在Z上关系的定义域、值域和域。 （1）R1={<x,y>|(x,y∈Z)∧(y=x2)}； （2）R2={<x,y>|(x,y∈Z)∧(|x|=|y|=7)}。 解（1）domR1=Z，ranR1={x2|x∈Z}，fldR1=Z；
称C为R的定义域，记为C＝domR；称D为R的值域， 记D＝ranR；并称fldR＝D∪C为R的域。
特别
当R=Φ时，称R为空关系(emptyrelation)；
当R=A×B时，则称R为全关系(TotalRelation)。 设一有序对<x,y>：
若<x,y>∈R，则记为xRy，读作“x对y有关系R”； 若<x,y>R，则记为 xRy，读作“ x 对 y 没有关系 R”。 当A=B时，称IA={<a,a>|a∈A}是A上的恒等关系。
(A×B)(C×D) AC，BD。
证明 充分性()： 对任意<x,y>∈A×B，有x∈A且y∈B。 又因为AC，BD，所以有x∈C且y∈D，即 <x,y>∈C×D，从而(A×B)(C×D)。
定理6.2.2证明(续)
必要性()：
对任意x∈A，y∈B，有<x,y>∈A×B。
又因为(A×B)(C×D)，所以<x,y>∈C×D。 根据笛卡儿积的定义有x∈C且y∈D，从而 A C ，B D 。 综上所述，定理成立。
6.2.2关系的定义
问题：某学校组织学生看电影，电影院里共有 n 个 座位，看电影的学生共有 m 个（m≤n ），每个学生 坐一个座位。请问，怎样表示学生和座位之间的从 属关系？ 假设A,B分别表示某学校 所有学生的集合和电影院 里所有座位的集合，即 A={a1,a2,…,am}
B bn b3 b2 b1 0 a1 a2 a3 am A
设 A={a} ， B={b,c} ， C=Φ ， D={1,2} ，请分别写出 下列笛卡儿积中的元素。
（1）A×B，B×A；（2）A×C，C×A；
（3）A×(B×D)，(A×B)×D。
解 根据笛卡儿积的定义，有
（1）A×B={<a,b>,<a,c>}，
B×A={<b,a>,<c,a>}；
（2）A×C=Φ，C×A=Φ；
例6.2.1
用序偶表示下列语句中的次序关系
(1)平面上点A的横坐标是x，纵坐标是y，x,y∈R； <x,y>，x,y∈R；
(2)成都是四川的省会；
<成都,四川>
(3)英语课本在书桌上； <英语课本,书桌> (4)左，右关系。
< 左, 右>
序偶与集合的关系
1. 序偶可以看作是具有两个元素的集合； 2. 但是序偶中的两个元素具有确定的次序。 即<a,b>≠<b,a>，但是{a,b}={b,a}。 定义6.2.2 给定序偶<a,b>和<c,d>， <a,b>=<c,d> ⇔ a=c且b=d。
（2）domR2={7,-7}，ranR2={7,-7}，fldR2={7,–7}。
推广
定 义 6.2.8 设 A1,A2,…,An 为 n 个 非 空 集 合 ， 称 A1×A2×…×An 的任意子集 R 为以 A1×A2×…×An 为基的 n 元 关系(n-Relation)。
6.2.3关系的表示法
第三篇
二元关系
关系理论历史悠久。它与集合论、数理逻辑、 组合学、图论和布尔代数都有密切的联系。 关系是日常生活以及数学中的一个基本概念， 例如：兄弟关系，师生关系、位置关系、大小关系、 等于关系、包含关系等。
计算机程序的输入、输出关系； 数据库的数据特性关系； 计算机语言的字符关系；
数据结构、情报检索、数据库、算法分析、计算机
例6.2.3解(续)
（3）因为B×D={<b,1>,<b,2>,<c,1>,<c,2>}，
所以A×(B×D) ={<a,<b,1>>,<a,<b,2>>,<a,<c,1>>,<a,<c,2>>}。 同理，(A×B)×D ={<<a,b>,1>,<<a,b>,2>,<<a,c>,1>,<<a,c>,2>}。