最新版安徽省高一数学下学期开年考试试题(实验班)

太和中学高一年级下学期开学测试数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1．设U =R ，集合{|0}A x x =>，集合{}0lg |>=x x B ，则()U A C B =
(A) {|01}x x ≤< (B) {|01}x x <≤ (C) {|0}x x < (D)
{|1}x x >
2
．已知函数y =
(A) (),2-∞
(B) (,2⎤⎦-∞
(C) ()(,33,2⎤⎦-∞-- (D)
)()2,33,⎡⎣+∞
3．下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是
(A) x y = (B) x y ln = (C)
1
3
y x
= (D)
3y x -=
4．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的2
1
(纵坐标不变)，再将所得到的图象上所有点
向左平移π个单位，所得函数图象的解析式为
(A) )3
2sin(π
-
=x y (B) )32sin(π
+
=x y (C) )3
21sin(π
+=x y (D) )6
21sin(π
+=x y
5．设βαtan ,tan 是方程0232
=--x x 的两个实数根,则)tan(
βα+的值为 (A) 3- (B) 1- (C) 1
(D) 3
6．已知函数B x A y ++=)cos(ϕω的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2
A π
ωϕ>><，则
(A) 4=A
(B) 1ω=
(C) 4=B (D) 3
π
ϕ-
=
7．设⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<=-)2(ln 2
1)
2(2)(1x x x e x f x 则))((e f f 的值为
(A)0 (B) e (C) 2e
(D) 3
8．已知
,4
5
cos sin ,2
4
=
+<
<θθπ
θπ
则=-θθcos sin
(B)
(D) 9．把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y 的矩形木料，如图，点O 为圆心， OA AB ⊥，设θ=∠AOB ,把面积y 表示为θ的表达式,则有
(A) θ2cos 50=y (B) θsin 25=y (C) θ2sin 25=y (D) θ2sin 50=y 10．函数)2
,2(,cos 3
π
π-∈=x x x y 的大致图象是
11．已知)(x f 在R 上是以3为周期的偶函数,3)2(=-f ，若2tan =α，则)2sin 10(αf 的值是
(A) 1 (B) 1- (C) 3 (D) 8
12．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=2
,)2(,
2,2)(2
x x x x x f ,函数)2()(x f b x g --=,其中R b Î.若函数)()(x g x f y -=恰有4个零点，则b 的取值范围是错误！未找到引用源。

（A ）),(+∞47 (B)),(47-∞ (C))(47，0 (D)),(24
7 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在题中横线上. 13．︒︒+︒︒2sin 43cos 2cos 43sin 的值为 ．
14．若指数函数()f x 的图象过点(2,4)-，则=-)3(f ． 15．函数()12c o s
5s i n f
θθθ=+
[)()0,2θπ∈在0θθ=处取得最小值,则点
()00cos ,sin M θθ关于坐标原点对称的点坐标是 ．
16．关于函数x
b
ax x f +
=)(有如下四个结论： ①.函数()f x 为定义域内的单调函数； ②.当0ab >时，
⎫
+∞⎪⎪⎭
是函数()f x 的一
个单调区间；
(A)
（B ）
（C ）
（D ）
③.当0,ab >
[]1,2x ∈时，若,2)(min
=x f 则2(1)1
(14);444b a a b b a
a b a a ⎧-<⎪
⎪
⎪=≤<⎨
⎪⎪⎛⎫-≥ ⎪⎪
⎝⎭⎩
④.当0,ab < []1,2x ∈时，若,2)(min
=x f 则()()20,0.440,0a a b b a a b -<>⎧⎪=⎨-><⎪⎩
其中正确的结论有 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
17． (本小题满分10分)
（Ⅰ）计算：
)
1 （Ⅱ）若tan 2,x =求值:
2sin()cos .cos cos()
2
x x
x x ππ
----
18．（本小题满分12分）
已知函数22()log (2)log (2).f x x x =++-
（Ⅰ）求证：函数()f x 为偶函数； （Ⅱ）求)3(f 的值．
19． (本小题满分12分)
已知A 、B 是单位圆O 上的点，且点B 在第二象限， 点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为)5
4,53(，若△AOB 为正三角形. （Ⅰ）若设θ
=∠COA ，求
θ2s i n 的值；
（Ⅱ）求COB ∠cos 的值．
20． (本小题满分12分)
已知函数()11
()11
x f x a a a =->+. （Ⅰ）证明：()y f x =在R 上是增函数；
（Ⅱ）当2a =时，方程12)(+-=x x f 的根在区间))(1,(Z k k k ∈+内，求k 的值.
21．(本小题满分12分)
已知函数)2
0,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<
<>>+=A x A x f 的图象经过三点
15110,,,0,,081212⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，在区间511,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一的最小值.
（Ⅰ）求出函数)sin()(ϕω+=x A x f 的解析式；
（Ⅱ）求函数()f x 在R 上的单调递增区间和对称中心坐标.
22．(本小题满分12分)
已知函数()2x u x =cos 2x 210cos 2
x +． (I)求函数()u x 的最小正周期； (II)将函数()u x 的图象向右平移
6
π
个单位长度，再向下平移b （0b >）个单位长度
后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．
(i)求函数()g x 的解析式；
(ii)(仅理科生做)证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．
太和中学高一年级下学期开学测试数学科试题参考答案及评分意见
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13.
2
2
； 14. 8； 15.)135,1312(； 16. ②③
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（Ⅰ）解：原式＝151
1 1.6
66
-
=
+= …………………（5）分
（Ⅱ）原式＝
2sin cos 2tan 1221
1.cos sin 1tan 12
x x x x x x --⨯-===+++ …………………（5）分
18. 证明：⑴ 20
,20
x x +>⎧⎨->⎩ 解得2 2.x -<<
∴)(x f 的定义域为)2,2(- …………………（2分） 又当(2,2)x ∈-时，有(2,2).x -∈-
22()log (2)log (2)().f x x x f x -=-++= …………………（4）分
∴
()f x 为偶函数. …………………（6）分
（2）)32(log )32(log )3(22-++=f
)
32)(32(log 2-+=
=01log 2=. …………………（12）分
19. 解：（1）因为A 点的坐标为34,
55⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据三角函数定义可知 5
4
sin ,53cos ==
θθ, …………………（3）分 ∴25
24
53542cos sin 22sin =⨯⨯
==θθθ . …………………（6）分 （2）因为三角形AOB 为正三角形，所以0
60AOB ∠=，
4sin 5COA ∠=
，3
cos 5
COA ∠=， 所以cos COB ∠=0
cos(60)COA ∠+
00cos cos60sin sin 60COA COA =∠-∠
=314525⋅
-=
. …………………（12）分 20. （Ⅰ）证明： x R ∈ ， 设12x x <,
则1
21211()()11x x f x f x a a a a -=--+++12
12(1)(1)
x x x x a a a a -=++, 12x x < , 且1,a > 120.x x a a ∴-<
又12(1)(1)0,x
x
a a ++> 12()()0,f x f x ∴-< 即12()()f x f x <,
()f x ∴为增函数. …………………（6）分
（Ⅱ）解：令12)()(-+=x x f x g ，
当2=a 时，由（Ⅰ）知，函数)(x f 是R 上的增函数，
所以，函数)(x g 是R 上的增函数且连续， …………………（9）分 又7
(0)(0)110,(1)0.6
g f g =-=-<=
> …………………（11）分 所以，函数)(x g 的零点在区间()1,0内， 即方程12)(+-=x x f 的根在区间()1,0内，
所以0.k = (12)
21.解：提示：有三种情况，提供一种正确答案即可给满分.以下是一种参考答案.
（Ⅰ）函数()()sin f x A x ϖϕ=+的周期1152 1.1212T ⎛⎫
=-= ⎪⎝
⎭ ………………（1）分 所以周期2 1.T π
ϖ
=
=即2.ϖπ= ……………（2）分
又由题意当5
12
x =
时，0.y = 5sin 2012A πϕ⎛⎫
∴⨯+= ⎪⎝⎭
即.6πϕ= (3)
分
再由题意当0x =时，1.8
y =
1sin
.68
A π
∴=即1
.4A = (4)
分
1()sin 2.46f x x ππ⎛⎫
∴=+ ⎪⎝⎭
(6)
分
（Ⅱ）求()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
πππ-≤+
≤+
∈时，()y f x =
为增函数.
解得()11
,36
k x k k Z -
≤≤+∈ 所以函数的单调递增区间为)(,61,31Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
+-. …………………（9）分
)(6
2Z k k x ∈=+
ππ
π时()0.f x =
解得().12
1
2Z k k x ∈-=
所以函数的对称中心为()Z k k ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛-0,1212. …………………（12）分
22. 解：(I)()2x u x =cos 2x +210cos 2
x
5cos 5x x =++10sin()56
x π
=++
所以函数()u x 的最小正周期2πT =． (II)(i)将()u x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象， 再向下平移b （0b >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052b +-=，解得13b =． 所以()10sin 8g x x =-．
(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，
即04sin 5x >
．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5
α=．
由正弦函数的性质知，当0(x α∈，π-0)α时，均有4
sin 5
x >
． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有
4sin 5
x >
． 因为对任意的整数k ，()()00022213
k k πππαπαπα+--+=->
> 所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得
4
sin 5
k x >.
亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．。