欣宜市实验学校二零二一学年度高一数学上学期12月月考试题含解析

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度高级中学2021-2021学年高一数学上学期12月月考试题〔含解
析〕
第一卷〔选择题〕
一、单项选择题
U =R ，()(){}310
A x x x =-->，{}2
B x x =<，那么()⋂=U
C
A B 〔〕
A.
{}12x x ≤<
B.
{}12x x << C.
{}2x x < D.
{}1x x ≥
【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合{}31
A x x x =><或，根据集合的交集、补集运算即可求解.
【详解】
()()310x x -->,
3x ∴>或者1x <
即
{}31
A x x x =><或，
[1,3]U C A ∴=，
应选：A
【点睛】此题主要考察理解一元二次不等式，集合的交集，补集，属于容易题. 2.()sin
690-︒=〔〕
A.
12 B.12
-
C.
2
D. 【答案】A 【解析】
1
sin(690)sin(720690)sin 302
︒︒︒︒-=-==，应选A. ()23
log f x x x
=-
的零点所在区间为() A.
()1,2 B.
()2,3
C.
()3,4
D.
()4,5
【答案】B 【解析】
分析：由零点存在性定理判断即可. 详解：
()23
1log 1301f =-=-<，
()231
2log 2022f =-=-<，
()223
3log 3log 3103
f =-=->，
由于
()()230f f ⋅<，得函数在区间()2,3内存在零点.
应选：B.
点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间
[],a b 上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
θ的终边经过点()34P -，
，那么sin 2cos θθ+=() A.
1
5
B.15
-
C.25
-
D.
25
【答案】C 【解析】 【分析】
此题考察的是对角的终边的理解，通过角的终边来确定sin θ和cos θ的值，最后得出结果．
【详解】试题分析：根据三角函数定义知：
4
3sin ,cos 5
5θθ====-
，
所以原式4322555⎛⎫
=
+⨯-=- ⎪⎝⎭
，答案为：C.
【点睛】在计算任意角的三角函数时，一定要考虑到任意角的三角函数的正负． 5.tan 2α=，那么sin 3cos 2sin cos αα
αα
-=+〔〕
A.
54
B.15
C.54
-
D.15
-
【答案】D 【解析】 【分析】
分子分母同除以cos α，可化为关于tan α的式子，代入tan 2α=即可求解.
【详解】sin 3cos tan 3
2sin cos 2tan 1αααααα--=
++, ∴sin 3cos 2312sin cos 2215
αααα--==-+⨯+, 应选：D
【点睛】此题主要考察了同角三角函数的根本关系，属于容易题. 弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为〔〕 A.2 B.sin 2
C.
2
sin1
D.2sin1
【答案】C 【解析】 【分析】
连接圆心与弦的中点，那么得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是1
sin1
，利用弧长公式求弧长即可．
【详解】解：连接圆心与弦的中点，那么由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为
1sin1，这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1
⨯=，应选C ． 【点睛】此题考察弧长公式，求解此题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，纯熟记忆弧长公式也是正确解题的关键．
32
ππα<<
+
()
A.
2
tan α
B.2
tan α-
C.2sin α
D.2sin α
-
【答案】D 【解析】
112
cos cos sin sin sin ααααα-+=+=
, ∵32
ππα<<
，∴原式＝2sin α
-
. 应选D.
()()()21,2log 1,12
a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是〔〕
A.21,52⎡⎫⎪⎢
⎣⎭
B.20,
5⎛⎤ ⎥⎝⎦
C.10,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D.10,
5⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
分段函数
()()(
)21,2
log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩在()
1,+∞上递减，需满足各局部为递减函数，且
log 12(21)a a a ≥-+即可.
【详解】因为函数
()()(
)21,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，
所以210
01
l log 12(21)a
a a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪≥-+⎩，
即120l 2
5a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪⎪≤
⎩
，解得205a <≤，
应选：B
【点睛】此题主要考察了分段函数的单调性，对数函数的单调性，一次函数的单调性，属于中档题.
f (x )=cos (x +
3
π
)，那么以下结论错误的选项是 A.f(x)的一个周期为−2π B.y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称
C.f(x+π)的一个零点为x=6
π D.f(x)在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D 【解析】
f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；
f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++
⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C
正确；
由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 应选D.
ln 1x
y e
x =--的图象大致是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
函数图象问题要根据图象特点及解析式区分，排除掉不符合解析式的图象即可， 【详解】观察图象，研究函数在1x >时，ln ln 1111x
x y e
x e x x x =--=-+=-+=，排除选项
C ， 当01x <
≤时，ln ln 1
111211x
x y e
x e x x x
-=--=+-=
+-≥-=， 当且仅当1
x
x
=
，即1x =时等号成立， 所以排除选项A ，D ，应选项B 正确. 应选：B
【点睛】此题主要考察了函数的图象，函数的解析式，属于中档题.
()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，令
255sin
,cos ,tan ,777a f b f c f πππ⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫
=== ⎪
⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭
那么〔〕 A.b a c << B.c b a <<
C.b c a <<
D.a b c <<
【答案】A 【解析】 试
题
分
析
：
注
意
到
，，
，
从
而
有
；因为函数
()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上
是
增
函
数
，
所
以
有
，
而，
，
所以有b a c <<，应选Ａ．
考点：１．函数的奇偶性与单调性；２．三角函数的大小．
R 的偶函数()f x 满足对任意的x ∈R ,有()2f x +=()()1,f x f +且当[]
2,3x ∈时,
()f x =221218x x -+-,假设函数y =()()log 1a f x x -+在(0,+)∞上恰有六个零点,那么实数
a 的取值范围是
A.3⎛ ⎝⎭
B.5? ⎫
⎪⎪⎝⎭
C.53? ⎝⎭
D.3⎫
⎪⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 因为
()
2f x +=
()()
1f x f +,且
()
f x 是定义域为R 的偶函数，令
1
x =-,那么
()()()()12111f f f f -+==-+，解得()10f =，所以有()2f x +=()f x ，所以()f x 是周
期为2的偶函数，因为当[]2,3x ∈
时，()f x =22212182(3)x x x -+-=--，其图象为开口向下，
顶点为(3,0)的抛物线，因为函数
y
=
()()
log 1a f x x -+在(0,+
)
∞上恰有六个零点，令
()()
log 1a g x x =+，因为
()0f x ≤，所以
()0
g x ≤，所以
01
a <<，要使函数
y =()()log 1a f x x -+在(0,+)∞上恰有六个零点，如下列图：
只需要()()2242
g g ⎧>-⎪⎨
<-⎪⎩,解得53
53a <<
.应选C.
点睛：此题考察函数的零点及函数与方程，解答此题时要注意先根据函数给出的性质对称性和周期性，画出函数的图象，然后结合函数
()()log 1a y f x x =-+的零点个数即为函数()y f x =和
()log 1a y x =+图象交点的个数，利用数形结合思想求得实数的取值范围.
第二卷〔非选择题〕
二、填空题
0a >且1a ≠时，函数()2
3x f x a -=-恒过定点P ，那么点P 的坐标是______
【答案】
()2,2-
【解析】
【分析】
根据解析式可知2x =时，()2f 为定值，求出定值即可得到定点坐标.
【详解】当2x
=时，()0
23132f a =-=-=-
∴函数()f x 恒过点()2,2-，即()2,2P -
此题正确结果：
()2,2-
【点睛】此题考察指数型函数恒过定点问题的求解，属于根底题.
{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<，假设A B =∅，务实数a 的取值范围.
【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞-
+∞ ⎥⎝⎦
【解析】 【分析】 分别在
A =∅和A ≠∅两种情况下来讨论，根据交集为空集可确定不等关系，从而求得结果.
【详解】当121a a -≥+，即2a ≤-时，
A =∅，满足A
B =∅
当121a a -<+，即2a >-时，A ≠∅ 假设
A B =∅，那么需：210a +≤或者11a -≥
解得：1
22
a
-<≤-
或者2a ≥ 综上所述：[)1,2,2a ⎛⎤∈-∞-
+∞ ⎥⎝
⎦
【点睛】此题考察根据交集结果求解参数范围问题，易错点是忽略了对于集合为空集的讨论.
y =________.
【答案】72,2,66k k k πππ
π⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 【解析】 【分析】
根据使函数有意义必须满足12sin 0x -≥，再由正弦函数的性质得到x 的范围． 【详解】由题意得：12sin 0x -≥
即72,2,66x k k k πππ
π⎡
⎤
∈-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 故答案为72,2,66k k k πππ
π⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 【点睛】此题考察关于三角函数的定义域问题，属于根底题．
1,,
()0,,
x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数有以下四个命题：
①对于任意的x ∈R ，都有
(())1f f x =；②函数()f x 是偶函数；
③假设T 为一个非零有理数，那么()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立；
④在()f x 图象上存在三个点A ，B ，C ，使得ABC ∆为等边三角形．其中正确命题的序号是
__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】
①根据函数的对应法那么，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f 〔f 〔x 〕〕＝1； ②根据函数奇偶性的定义，可得f 〔x 〕是偶函数；
③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质可判断；
④取x
1=，x 2＝0，x
3=
A
0〕，B 〔0，1〕，C
〔-
0〕，三点恰好构成等边三角形，即可判断．
【详解】①∵当x 为有理数时，f 〔x 〕＝1；当x 为无理数时，f 〔x 〕＝0，
∴当x 为有理数时，f 〔f 〔x 〕〕＝f 〔1〕＝1；当x 为无理数时，f 〔f 〔x 〕〕＝f 〔0〕＝1， 即不管x 是有理数还是无理数，均有f 〔f 〔x 〕〕＝1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f 〔﹣x 〕＝f 〔x 〕，f 〔x 〕为偶函数，故②正确； ③由于非零有理数T ，假设x 是有理数，那么x +T 是有理数； 假设x 是无理数，那么x +T 是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，
f 〔x +T 〕＝f 〔x 〕对x ∈R 恒成立，故③正确；
④取x
1=，x 2＝0，x
3=
f 〔x 1
〕＝0，f 〔x 2
〕＝1，f 〔x 3
〕＝0， ∴A
〔
3
，0〕，B 〔0，1〕，C
〔3
-
，0〕，恰好△ABC 为等边三角形，故④正确． 故答案为①②③④．
【点睛】此题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考察了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题． 三、解答题
17.(1)请化简：()()()()()9sin cos 3cos cos 211cos 2sin sin sin 22ππαπαπααπππαπααα⎛⎫
----+ ⎪
⎝⎭⎛⎫⎛⎫
-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
(2)02
x π
-
<<,1
sin cos 5
x x +=
,求sin cos x x -. 【答案】〔1〕tan α-；〔2〕7
5
- 【解析】 【分析】
〔1〕根据诱导公式化简即可〔2〕计算sin cos x x -的平方，分析sin ,cos x x 的大小即可求值.
【详解】〔1〕原式=
()()()
()()
sin cos cos sin cos sin cos cos αααααααα⋅-⋅-⋅-⋅-⋅⋅-
〔2〕因为1
sin cos 5x x
+=
，两边平方得112sin cos 25
x x +=， 有242sin cos 25
x x =-
所以
()
2
49sin cos 12sin cos 25
x x x x -=-=
又因为02
x π
-<<，所以sin 0x <，cos 0x >，那么sin cos 0x x -<
所以7sin cos 5
x x
-=-
． 【点睛】此题主要考察了三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系，正余弦函数的性质，属于中档题.
()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，x ∈R .
〔1〕求函数
()f x 的最小正周期及单调递减区间；
〔2〕假设0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,求函数()f x 的最值及对应的x 的值. 【答案】〔1〕最小正周期为π，递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤
++⎢
⎥⎣⎦
〔k Z ∈〕；〔2〕6x π=时，函数
有最大值3，2
x π=时，函数有最小值3
2
-
． 【解析】 【分析】
〔1〕根据正弦型函数的图象和性质即可求解〔2〕由0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图象与性质求解即可. 【详解】〔1〕最小正周期22
T π
π=
= 令26
t x π
=+
.函数
sin y t =的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
〔k Z ∈〕 由
32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤+
≤
+， 得
263
k x k π
π
ππ+≤≤
+，k Z ∈ 那么函数
()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，x ∈R 的单调减区间是
2,63k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，〔k Z ∈〕 〔2〕因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 那么当26
2
x π
π
+
=
，即6
x π
=
时，函数有最大值3
当726
6
x π
π
+
=
，即2
x π=
时，函数有最小值32
-
【点睛】此题主要考察了正弦函数的图象与性质，正弦型函数的性质，属于中档题.
R 的单调减函数()f x 是奇函数，当0x >时,()23
x x
f x =
-. 〔1〕求
()f x 的解析式；
〔2〕假设对任意的t ∈R ，不等式
()()
22220f t t f t k -+-<恒成立，务实数k 的取值范围
【答案】〔1〕
()2,0,30,0,2,0.3
x
x x x f x x x
x -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩；〔2〕1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
〔1〕根据奇函数的性质
(0)0f =及()()
f x f x -=-即可求解〔2〕利用奇函数性质可化为
()()2222f t t f t k
-<--恒成立，利用函数单调性转化为2
222t
t k t ->-恒成立，即可求解.
【详解】〔1〕因为定义域为R 的函数
()f x 是奇函数，所以()00f =
因为当0x <时，0x ->，所以()23
x
x f x ---=
- 又因为函数
()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-.所以()23
x x
f x -=
+。

综上，
()2,0,30,0,2,0.3
x
x x x f x x x
x -⎧->⎪⎪
==⎨⎪⎪+<⎩
〔2〕由()()
22220f t t f t k -+-<得()()
2222f t t f t k -<--.
因为()f x 是奇函数，所以()()2222f t t f k t -<-.
又
()f x 在R 上是减函数，所以2222t t k t ->-.
即2
320t t k -->对任意t ∈R 恒成立.
所以4120k ∆=+<，解得13
k <-
. 故实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
． 【点睛】此题主要考察了奇函数性质的应用，单调性，二次不等式恒成立，转化思想，属于难题. 20.某桶装水经营部每天的房租，人员工资等固定本钱为200元，每桶水的进价是5元，销售价x 〔元〕与日均销售量()g
x 〔桶〕的关系如下表，为了收费方便，经营部将销售价定为整数，并保持经营部每天盈利．
〔1〕写出()()1g
x g x -+的值，并解释其实际意义；
〔2〕求()g
x 表达式，并求其定义域；
〔3〕求经营部利润表达式()f x ，请问经营部怎样定价才能获得最大利润？
【答案】〔1〕()()140g
x g x -+=，实际意义表示价格每上涨1元，销售量减少40桶．
〔2〕()40720g
x x =-+，617x ≤≤，x ∈N ；
〔3〕经营部将价格定在11元或者12元时，才能获得最大利润． 【解析】 【分析】
〔1〕根据题意计算即可，表示价格每上涨1元，销售量减少40桶〔2〕设()g x kx b =+，由待定系数法
求解即可〔3〕由题意获利为
()()()5200f x g x x =--，利用二次函数求最值即可.
【详解】〔1〕由表格数据可知()()140g
x g x -+=
实际意义表示价格每上涨1元，销售量减少40桶． 〔2〕由〔1〕知：设()g
x kx b =+
那么6480
7440k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得：40k =-，720b =
即()40720g
x x =-+，617x ≤≤，x ∈N
〔3〕设经营部获得利润()f x 元，
由题意得
()()()5200f x g x x =--()()407205200x x =-+--
当11.5x =时，
y 有最大值，但x ∈N
∴当11x =或者12x =时，
y 获得最大值．
答：经营部将价格定在11元或者12元时，才能获得最大利润．
【点睛】此题主要考察了函数在实际问题中的应用，涉及一次函数，二次函数的性质，属于中档题.
()2sin cos f x x a x a =++，a ∈R .
(1)当1a =时，求函数
()f x 的最大值；
(2)假设对于区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的任意一个x ，都有
()1f x ≤成立，求a 的取值范围.
【答案】〔1〕9
4
；〔2〕0a ≤ 【解析】 【分析】
〔1〕利用同角三角函数的关系转化为余弦的二次函数求最值即可〔2〕由题意可别离参数得2cos cos 1
x
a x ≤+对
任意0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，只需求不等式右边函数的最小值即可. 【详解】〔1〕当1a =时，
()2
219cos cos 2cos 24f x x x x ⎛
⎫=-++=--+ ⎪⎝
⎭
[]cos 1,1x ∈-，所以当1
cos 2x =
即23x k ππ=±〔k Z ∈〕时，()max 94
f x =⎡⎤⎣⎦ 〔2〕依题得2
sin cos 1x a x a ++≤即()2
sin cos 11x a x ++≤对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立
而1cos 12x ≤+≤所以2cos cos 1
x
a x ≤+对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立
令cos 1t x =+，那么12t ≤≤，所以()2
212112t t t a t t
t t
--+≤
==+-对任意12
t ≤≤恒成立，
于是min
12a
t t ⎛⎫
≤+- ⎪⎝⎭ 又因为120t t
+
-≥，当且仅当1t =，即2x π
=时取等号
所以0a ≤
【点睛】此题主要考察了同角三角函数的根本关系，换元法，余弦函数的性质，属于难题.
()f x ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+,当0x >时，()0f x <，且
1
(1)2
f =-
.
(I)求
(0),(3)f f 的值；
(II)当810x -≤
≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；
(III)设函数2()()2()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范
围. 【答案】〔I 〕()()3
00,32
f
f ==-
；〔II 〕max min ()4,()5f x f x ==-；〔III 〕当()1,0m ∈-时，函数()g x 最多有4个零点. 【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕根据条件，取特殊值求解；
〔Ⅱ〕根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；
〔Ⅲ〕根据定义，判断函数为奇函数，得出g 〔x 〕＝f 〔x 2
﹣2|x |﹣m 〕，令g 〔x 〕＝0即f 〔x 2
﹣2|x |﹣m 〕＝0＝f 〔0〕，根据单调性可得x 2
﹣2|x |﹣m ＝0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m ∈〔﹣1，0〕． 【详解】〔I 〕令0x y ==得()()()000f f f =+，得()00f =.
令1,x y ==得()()2211f f ==-，
令2,1x
y ==得()()()3
321.2
f f f =+=-
(II)任取12,,x x R ∈且12x x <，那么210x x ->，
因为()()()f x y f x f y +-=，即()()()()f x y f x f x y x f y ⎡⎤+-=+-=⎣⎦，
令21 x x y x x =+=，，
那么()()()2121f x f x f x x -=-.
由0x >时，()0f x <且210x x ->，那么()210f x x -<， 所以
()()210f x f x -<，()()21f x f x <，
所以函数
()f x 在R 上是减函数，
故
()f x 在[]8,10-单调递减.
所以
()()()()max min 8,10f x f f x f =-=，
又
()()()()310252232152f f f f ⎛
⎫⎡⎤==+=--=- ⎪⎣⎦⎝⎭
， 由
()()()()011110f f f f =-=+-=，得()1
12
f -=
， ()()()()1
8244281842
f f f f -=-=-=-=⨯
=， 故
()()max min 4,5f x f x ==-.
(III)令,y x =-代入()()()f x y f x f y +=+，
得
()()()00f x f x f +-==， 所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数.
∴()()
()22g x f x m f x =
-- =()
()22f x m f x -+- =
()
()()2f x m f x f x -+-+-
()22f x x m
=--，
令()0g
x =,即()2200f x x m f --==（
）， 因为函数()f x 在R 上是减函数，
所以2
20x
x m --=，即22m x x
=-，
所以当()1,0m ∈
-时，函数()g x 最多有4个零点.
【点睛】此题考察了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，关键是利用函数的性质及赋值法解决问题，属于难题．。