两角差的余弦公式

§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1两角差的余弦公式
学习目标
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.理解用向量法导出公式的主要步骤.
3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
知识点两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．
1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.(√) 2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(×) 3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(√) 4．任意角α，β，cos α－cos β＝cos(α－β)．(×)
题型一利用两角差的余弦公式化简求值
例1计算：
(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
考点两角差的余弦公式
题点利用两角差的余弦公式化简求值
解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝3
2×
2
2
＋1
2×
2
2
＝
6＋2
4.
方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝2
2×
3
2
＋2
2×
1
2
＝
6＋2
4.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
反思感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
跟踪训练1(2018·广安期末)cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是()
A.
2
2B．－
2
2 C.
1
2D．－
1
2
考点两角差的余弦公式
题点利用两角差的余弦公式化简、求值
答案 A
解析cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°
＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝2
2.
题型二给值求值
例2(1)已知sin α－sin β＝1－
3
2，cos α－cos β＝
1
2，则cos(α－β)等于()
A．－
3
2B．－
1
2 C.
1
2 D.
3
2
考点两角差的余弦公式
题点给值利用两角差的余弦公式求值答案 D
解析因为sin α－sin β＝1－
3
2
，cos α－cos β＝1
2
，
所以(cos α－cos β)2＝1
4，(sinα－sin β)2＝7
4
－ 3.
两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－ 3. 所以cos(α－β)＝
32
. (2)已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝21
29，求cos β的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求值 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π
6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π
6.
所以cos α＝1－sin 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫8172＝15
17，
sin(α－β)＝－
1－cos 2(α－β)＝－
1－⎝⎛⎭⎫21292＝－20
29
， 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋8
17×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 反思感悟 给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β.②α＝α＋β2＋α－β
2.
③2α＝(α＋β)＋(α－β)．④2β＝(α＋β)－(α－β)．
跟踪训练2 已知π4<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3
5，求cos 2α的值．
考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 解 ∵π4<β<α<3π
4，
∴0<α－β<π2，π2<α＋β<3π2
.
又sin(α＋β)＝－35，∴π<α＋β<3π
2
，
从而有cos(α＋β)＝－4
5.
∵cos(α－β)＝12
13，
∴sin(α－β)＝5
13.
∴sin(β－α)＝－5
13
.
∴cos 2α＝cos [(α＋β)－(β－α)]
＝cos(α＋β)cos(β－α)＋sin(α＋β)sin(β－α) ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＝－3365. 题型三 给值求角
例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－11
14，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值． 考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求角
解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－11
14， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝
43
7
， sin(α＋β)＝
1－cos 2(α＋β)＝53
14
.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π
3. 引申探究
若本例条件中的“cos(α＋β)＝－1114”改为“sin(α＋β)＝53
14”，则β的值是什么？
解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，∴α＋β∈(0，π)， ∵cos α＝17，sin(α＋β)＝53
14
，
∴sin α＝437，cos(α＋β)＝±11
14，
当cos(α＋β)＝－11
14
时，
cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12， ∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π
3； 当cos(α＋β)＝11
14
时，
cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1114×17＋5314×437＝7198<1114
＝cos(α＋β)，
且α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，∴β＝π
3.
反思感悟 求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝12
13，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，
且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.
由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－5
13，cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×5
13＝－1. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π
2，2π， 所以2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以2β＝π，则β＝π2
.
两角差的余弦公式的应用
典例 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．
(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，12
13，求cos α和sin β；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值． 考点 两角差的余弦公式
题点 两角差的余弦公式的综合应用
解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，12
13，
∴sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝3
5.
(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－5
13，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365
. [素养评析] 从已给信息得出角α，β的正弦、余弦值是解决本题的关键，体现了从图形关系中抽象出数学概念的思想，这正是数学核心素养数学抽象的具体表现.
1．(2018·滨州期末)cos 165°等于( ) A.12 B.3
2 C ．－6＋24 D ．－6－24 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 C
解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－6＋2
4
.故选C. 2．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3
5，则cos β等于( ) A.2525
B.255
C.2525或255
D.
55或5
25
考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A
解析 依题意得sin α＝
1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±4
5
.
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－4
5
.
于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－45×55＋35×255＝25
25. 3．(2018·河南商丘九校联考)cos(－40°)·cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 1
2
解析 原式＝cos(－40°)cos 20°＋sin(－40°)sin 20° ＝cos(－40°－20°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12
.
4．已知α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝10
10，求α－β的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 ∵α，β均为锐角， ∴cos α＝
55，cos β＝310
10
. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝
55×31010＋255×1010＝22
. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，
∴0<α－β<π
2.
故α－β＝π
4
.
5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，求α－β的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式综合应用
解 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0. 因为－π<α－β<π，所以α－β＝－π2或π2
.
1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值． (2)确定角所在的范围(找区间)． (3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
一、选择题
1．cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为( ) A.
22 B ．－22 C.32 D ．－3
2
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式化简、求值 答案 A
解析 原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20° ＝cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°) ＝cos 45°＝
2
2
. 2．满足cos αcos β＝
3
2
－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝3π
4
B ．α＝π2，β＝π
3
C ．α＝π2，β＝π
6
D ．α＝π3，β＝π
4
考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 B
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－3
5，则cos(α－β)的值为( )
A ．－6365
B ．－3365 C.6365 D.33
65
考点 两角差的余弦公式
题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A
解析 ∵α为锐角，且cos α＝12
13，
∴sin α＝
1－cos 2α＝5
13
.
∵β为第三象限角，且sin β＝－3
5，
∴cos β＝－
1－sin 2β＝－4
5
，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－63
65.故选A. 4．(2018·山西孝义高二期末)下列关系式中一定成立的是( ) A ．cos(α－β)＝cos α－cos β B ．cos(α－β)<cos α＋cos β C ．cos ⎝⎛⎭⎫
π2－α＝sin α D ．cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝sin α 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 C
解析 由两角差的余弦公式知A 不正确；令α＝β＝π
2知B 不正确；由诱导公式可知C 正确，
D 不正确．
5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π
6，则cos α的值是( ) A.3－43
10
B.4－33
10
C.23－35
D.3－235
考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A
解析 ∵π3<α<5π6，∴π2<π
6＋α<π.
∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－
1－sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－4
5
.
∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6＋α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310. 6．若cos(α－β)＝
55，cos 2α＝10
10
，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π
6 考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求角 答案 C
解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α<β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－25
5，sin 2α＝310
10
， ∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝
1010×55＋31010×⎝⎛⎭
⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝
3π
4
. 7．(2018·北京海淀科大附中高二期中)若cos(α－β)＝1
3，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2等于
( )
A.83 B ．－83 C.223 D ．－223 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 A
解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.
二、填空题
8．若a ＝(cos α ，sin β)，b ＝(cos β，sin α)，0<β<α<π2，且a ·b ＝1
2，则α－β＝________.
考点 两角差的余弦公式 题点 两角差余弦公式的综合应用 答案 π
3
解析 a ·b ＝cos αcos β＋sin βsin α＝cos(α－β)＝1
2，
因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2.所以α－β＝π
3.
9．化简：2cos 10°－sin 20°
cos 20°＝________.
考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案
3
解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°
cos 20°
＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°
＝ 3.
10．(2018·湖南衡阳二十六中高二期中)已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝10
10
，则α－β的值为________． 考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求角 答案 －π4
解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝255，sin β＝31010. ∵sin α<sin β，∴α<β， ∴α－β∈⎝⎛⎭
⎫－π
2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝
255×1010＋55×31010＝22
， ∴α－β＝－π
4
.
11．函数f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π
6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为________． 考点 和、差角公式的综合应用
题点 和、差角公式与其他知识的综合应用 答案 ⎣⎡⎦
⎤－5π12，π
12
解析 f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π6＝sin 2x sin π6＋cos 2x cos π
6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增．取k ＝0，得－5π12≤x ≤π
12，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π
12. 三、解答题
12．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2
3，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式综合应用 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π， α
2
－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭
⎫α－β
2 ＝
1－181＝45
9
， cos ⎝⎛⎭⎫
α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫
α2－β
＝
1－49＝5
3
， ∴cos α＋β2
＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α
2－β ＝－19×53＋459×23＝7527
.
13．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2. (1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π
2，求cos φ的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 和、差角公式与其他公式的综合应用
解 (1)因为a ⊥b ，
所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1， 即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45
，
又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55. (2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， 所以cos φ＝sin φ，
所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ， 即cos 2φ＝1
2
.
因为0<φ<π2，所以cos φ＝2
2
.
14．(1)已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝3
2，则cos(α－β)＝________.
考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求值
2
解析 由cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝3
2
，
两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322
＝1， ∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝1， 2(cos αcos β＋sin αsin β)＝－1， ∴cos(α－β)＝－12
.
(2)已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________. 考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求值 答案 －1
2
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
sin α＋sin β＝－sin γ， ①
cos α＋cos β＝－cos γ， ②
①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 即cos(α－β)＝－1
2
.
15．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2，求β的值．
考点 两角差的余弦公式
题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 由0<β<α<π2，得0<α－β<π
2，
∵cos α＝17，cos(α－β)＝13
14，
∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝
1－⎝⎛⎭⎫13142＝33
14，
sin α＝
1－cos 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫172＝43
7，
∴cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝1
2
，
3。