(新人教A版)2020高中数学第二章圆锥曲线与方程单元测试(二)选修1-1

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．若椭圆22
21(0)4x y m m
+=>的一个焦点坐标为()1,0，则m 的值为（ ）
A ．5
B ．3
C ．5
D ．3
2．抛物线28=y x 的焦点到直线3=0x y -的距离是（ ） A ．23
B ．2
C ．3
D ．1
3．已知椭圆22
21(5)25
x y a a +=>的两个焦点为1F 、2F ，且12||8F F =，弦AB 经过焦点1F ，则2
ABF △的周长为（ ） A ．10
B ．20
C ．241
D ．441
4．椭圆22
213x y m m
+=-的一个焦点为()0,1，则m =（ ）
A ．1
B ．
117
2
-± C ．－2或1
D ．－2或1或
117
2
-± 5．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．2y x =±
B ．2y x =±
C ．2
2y x =±
D ．1
2
y x =±
6．如图所示，汽车前反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ．那么灯泡与反光镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为（ ）
A ．10cm
B ．7.2cm
C ．3.6cm
D ．2.4cm
7．经过点2(2,)P -且与双曲线C ：2
212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．22
=142x y -
B ．22
=124y x -
C ．22
=124
x y -
D ．22
=142
y x -
8．已知0a b >>，1e 、2e 分别为圆锥曲线22
22=1x y a b +和2222=1x y a b -的离心率，
则12lg lg e e +（ ） A ．大于0且小于1
B ．大于1
C ．小于0
D ．等于1
9．经过双曲线22
22=1(0,0)x y a b a b ->>的右焦点，倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个
交点，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
10．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线过点(2,3)，且双曲线的一个焦点在抛物线
247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A ．221x －2
28
y ＝1
B ．228x －2
21
y ＝1
C ．23x －2
4y ＝1
D ．24x －2
3
y ＝1
11．设P 为椭圆29x ＋2
4y ＝1上的一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，且1260F PF ∠=︒，则12·
PF PF 等于（ ）
A ．8
3
B ．
163
C ．
43
3
D ．
83
3
12．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1、A 2，过F 作12A A 的垂线
与双曲线交于B 、C 两点．若12A B A C ⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A ．1
2
±
B ．22
±
C ．1±
D ．2±
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．若抛物线()220y px p >=的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点， 则p =_________．
14．已知椭圆22x a ＋22y b ＝1()0a b >>的离心率为32，则双曲线22x a －2
2y b
＝1的离心率为_________．
15．已知方程为4x 2＋ky 2
＝1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是_________．
16．方程24x t -＋2
1y t -＝1表示曲线C ，给出以下命题：
①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<5
2
．
其中真命题的序号是__________________(写出所有正确命题的序号)．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹．
18．（12分）设F1、F2分别是椭圆E：x2＋
2
2
y
b
＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于
A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．（1）求|AB|；
（2）若直线l的斜率为1，求b的值．
19．（12分）已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．
20．（12分）设F 1、F 2分别是椭圆E ：22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆
E 于A 、B 两点，|A
F 1|＝3|F 1B |．
（1）若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； （2）若23
cos 5
AF B ∠=，求椭圆E 的离心率．
21．（12分）已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
+=>>的一个焦点，C1
与C2的公共弦的长为26．过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且AC 与BD同向．
（1）求C2的方程；
（2）若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
22．（12分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D
【解析】∵椭圆22
21(0)4x y m m
+=>的一个焦点坐标为()1,0，∴241m -=，∴23m =，
又0m >，∴3m =．故选D ． 2．【答案】D
【解析】由28=y x 可得其焦点坐标()2,0，根据点到直线的距离公式可得()
2
2|230|=113d -⨯=
+
．故选
D ． 3．【答案】D
【解析】由椭圆定义可知，有122AF AF a ＋＝，122BF BF a ＋＝，
∴2ABF △的周长221212224L AB AF BF AF AF BF BF a a a ++=+++==+=．
由题意可知225b ＝，28c =，∴216c =，225141a +==，∴41a =，∴441L =，故选D ． 4．【答案】C
【解析】∵焦点在y 轴上，∴23m m >－，由231m m --=得1m =或2-，选C ． 5．【答案】C
【解析】∵22b =，223c =，∴1b =，3c =，∴222312a c b =-=-=，∴2a =，故渐近线方程为2
2
y x =±
．故选C ． 6．【答案】C
【解析】设抛物线的方程为22y px =，由题意知，点()10,12在抛物线上， ∴21220p =，∴7.2p =．∴灯泡与反光镜的顶点距离为 3.6cm 2
p
=．故选C ． 7．【答案】B
【解析】设所求双曲线方程为2
2(0)2
x y λλ-=≠，又∵点2(2,)P -在双曲线上，
∴442
λ-=，∴2λ=-．所求双曲线的方程为22=124y x -．故选B ．
8．【答案】C
【解析】∵2222442
1222lg lg =lg lg =lg lg =lg1=0a b a b a b a e e a a a a
-+-++<，
∴12lg lg 0e e +<．故选C ． 9．【答案】A
【解析】由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，∴
tan603b
a
=︒=，
∴3b a =，代入222a b c +=中得224a c =，∴24e =，∵1e >，∴2e =，故选A ． 10．【答案】D
【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b
y x a =±，由点(2,3)在渐近线上，所以
3
2
b a =
，双曲线的一个焦点在抛物线247y x =准线方程7x =-上，所以7c =，由此可解得2a =，3b =，所以双曲线方程为24x －2
3y ＝1，故选D ．
11．【答案】B
【解析】∵29a =，24b =，∴25c =．由椭圆定义知1226PF PF a +==， ∴2
2
1212236PF FP PF PF ++⋅=．在12F PF △中，由余弦定理得
2
2
21212122cos60||20PF PF PF PF F F ︒=+-⋅=，∴2
2
1212·20PF PF PF PF +=+，
∴12316PF PF ⋅=，∴1216
3
PF PF ⋅=．故选B ． 12．【答案】C
【解析】由已知得右焦点(),0F c （其中2
2
2
c a b =+，0c >）
，1,()0A a -、()2,0A a ；2(,)b B c a -、2
(,)b C c a
；从而21,b A B c a a ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，22,b A C c a a ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭，又因为12A B A C ⊥，所以120A B A C ⋅=，即22()()()()0b b c a c a a a -⋅++-⋅=；化简得到2
2b a
＝1，即双曲线的渐进线的斜率为1±；故选C ．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】22
【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为2
p
x =-
，因为0p >，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(2,0)-；故由22
p
-=-可解得22p =． 14．【答案】
5
2
【解析】在椭圆中a 2－b 2＝c 2
，
c a
＝32，∴2a b =，在双曲线中，a 2＋b 2＝c 2，
且2a b =∴a 2
＋214
a ＝c 2
，∴22c a ＝54，∴e ＝c a ＝52．
15．【答案】(0,4)
【解析】方程4x 2
＋ky 2
＝1可化为214x ＋21y k
＝1，由题意得1k >1
4，∴0<k <4．
16．【答案】③④ 【解析】显然当t ＝
52时，曲线为x 2＋y 2
＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52
时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <5
2
时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】见解析．
【解析】设点M 的坐标为(x ，y )、点A 的坐标为(x 0，y 0)．
由题意得004232x x y y +⎧
=⎪⎪⎨+⎪=
⎪⎩，∴002423x x y y =-⎧⎨
=-⎩，又∵点A (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上， ∴(2x －3)2
＋(2y －3)2
＝4，即(x －32)2＋(y －32
)2
＝1． 故线段AB 的中点M 的轨迹是以点(32，3
2
)为圆心，以1为半径的圆． 18．【答案】（1）
4
3
；（2）22．
【解析】（1）求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝
43
． （2）l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2
，
设A (x 1，y 1)、B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩
，
消去y 化简得(1＋b 2
)x 2
＋2cx ＋1－2b 2
＝0．则x 1＋x 2＝2
21c
b -+，x 1x 2＝22121b b -+．
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即
4
3
＝2|x 2－x 1|．
则()()
()2242222
121224141288()91114x x x b b b b b b x --=+-=-=+++，解得b ＝22． 19．【答案】（1）y 2
＝4x ；（2）见解析． 【解析】（1）由题意得|MF |＝4＋
2
p ＝5，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2
＝4x ． （2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4．由24
4x y x =⎧⎨=⎩
，得y ＝±4．
∴|AB |＝8，∴
||
2
AB ＝4，∴以AB 为直径的圆过原点． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)．
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由()244y k x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2
＝0，
∴x 1＋x 2＝2
2
48k k +，x 1x 2＝16．
2212121212()()[()]
44416y y k x x k x x x x =--=-++
222
2
22
481632[16416](32)16k k k k k k +-=-⨯+=-=-，
∴12120x x y y +=．又12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴OA ⊥OB ， ∴以AB 为直径的圆必过原点． 综上可知，以AB 为直径的圆必过原点． 20．【答案】（1）5；（2）
2
2
． 【解析】（1）由|AF 1|＝3|F 1B |及|AB |＝4得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1，
又∵2ABF △的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． ∴|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5．
（2）设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义知：|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ，
在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2
＝|AF 2|2
＋|BF 2|2
－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2
＝(2a －3k )2
＋(2a －k )2
－
6
5
(2a －3k )(2a －k )， ∴(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，∴a ＝3k ， 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，
∴|BF 2|2
＝|F 2A |2
＋|AB |2
，∴F 2A ⊥AB ，F 2A ⊥AF 1， ∴△AF 1F 2是等腰直角三角形，从而c ＝
2
2
a ，
所以椭圆离心率为e ＝c a
＝
22
． 21．【答案】（1）29
y ＋2
8x ＝1；（2）64±．
【解析】（1）由C 1：x 2
＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以221a b -=　①；
又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2
＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(6±，
32)，∴294a
＋26
b ＝1 ②； 联立①②得a 2
＝9，b 2
＝8，故C 2的方程为29y ＋2
8x ＝1．
（2）如图，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，
因AC 与BD 同向，且|AC |＝|BD |，
所以AC =BD ，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2， 于是2234341212()(4)4x x x x x x x x +-=+-　③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由214y kx x y
=+⎧⎨=⎩，得x 2
－4kx －4＝0，
由x 1、x 2是这个方程的两根，∴x 1＋x 2＝4k ，124x x =-　④
由22118
9y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3、x 4是这个方程的两根，
x 3＋x 4＝21698k k -
+， 34
2
64
98x x k +＝-⑤ 将④、⑤代入③，得16(k 2
＋1)＝
()
2
264
98k +＋
2
464
98k ⨯+．
即16(k 2
＋1)＝
()
()
222
2169198k k ⨯++，所以(9＋8k 2)2
＝16×9，解得k ＝64
±
， 即直线l 的斜率为64
±
．
22．【答案】（1）216x ＋2
12y ＝1；（2）不存在，见解析．
【解析】（1）设椭圆的方程22
221(0,0)x y a b a b
+=>>，
∵F (2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A (2,3)，∴22358c a =⎧⎨=+=⎩，∴2
4c a =⎧⎨=⎩
，
∵a 2
＝b 2
＋c 2
，∴b 2
＝12，故椭圆方程为216x ＋2
12
y ＝1．
（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程y ＝
3
2
x ＋t ． 由22
3211612
y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得3x 2＋3tx ＋t 2
－12＝0． ∵直线l 与椭圆有公共点，∴()2
2(312120)t t ∆=-≥-，解得－43≤t ≤43． 另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得，
||9
14
t +＝4，∴t ＝±213．
由于21343,43⎡⎤±∉-⎣⎦，故符合题意的直线l 不存在．。