数归

用数学归纳法证明
1 证明：①当n=1时，左边＝ 右边＝ 2
1 1 1 1 1 n ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ n 1 - ( ) 2 2 2 2 2
等式成立。
1 1 1 1 1 k ②假设n=k时等式成立，有 ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ k 1 - ( ) 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2
如何改正？
1 1 1 1 1 1 k 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ＋ k k 1 1 - ( ) k 1 2 2 2 2 2 2 2 1 k 1 1 1 k 1 1 - 2( ) k 1 1 - ( ) 2 2 2 注意:用上假 设 三注意：1、有时 n 不一定等于1 递推才真
数学归纳法及其应用举例
完全归纳 完全归纳法 法 问题 1:大球中有5个小球，如何验证它们都是绿
问题情境一
色的？
问题2：若an=(n2- 5n+5)2 ，
n=5,a5=2 5
问题3: 已知： －1＋3= 2 －1＋3－5= －3 －1＋3－5＋7= 4 －1+3－5＋7－9=－5 可猜想：
当n=1,a1 = 1 ; n=2,a2= 1 ; n=3,a3= 1 ; n=4,a4= 1 ; 则 a n =1。对吗？
......
归纳法
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推
理方法。
归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。 （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结 论的推理方法。
（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）
（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论 的推理方法。
（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）
递推依据
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对 于不小于n 0 的所有正整数都成立.这种证明 方法称为数学归纳法.
数学归纳法格式 1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命 题成立 2.假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立，再 证明当n=k+1时命题也成立， 由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然
1. 对于 n N n
*
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2，求证： n 2 3 n
1 1 2.用数学归纳法证明 :1 2 3
1 n n(n N , n 1), 2 1
1 1 1 2.用数学归纳法证明 : n n 1 n 2
1 1 2.用数学归纳法证明 : n 1 n 2
1 1(n N 2n
1 13 (n N ), 2n 24
，
数学归纳法的核心思想
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基 础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的 手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法 的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论 不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊 到一般、由有限到无穷。
1 1 k 1 那么，当n=k+1时，有 [1 ( ) ] 1 1 1 1 1 k 1 2 2 2 k k 1 1 （ ） 1 2 2 2 2 2 1 2 即n=k+1时，命题成立。
根据①②可知，对n∈N＋，等式成立。
第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明
如何解决不完全归纳法 必须寻找一种用有限个步骤，就 能处理完无限多个对象的方法。 存在的问题呢？
多米诺骨牌操作实验
什么是数学归纳法 ?
一般地，当要证明一个命题对于n≥ n0 的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立
递推基础
（2）假设当n=k(k ∈ N＋ ,k≥ n0 )时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立。
不完全归纳法
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝
（－1）n n
问题情境二：数学家费马运用不完全 归纳法得出费马猜想的事例
猜想：
Fn 2 1(n N )
都是质数
2nΒιβλιοθήκη 费马观察到： 2 2 2 2 2
20 21 22 23 24
1 3 1 5 1 17 1 257 1 65537
数都成立
递推基础不可少，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还 不能说明结论的正确性.
在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可 以了,没有必要验证命题对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没 有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第 二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无 法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否 正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而 n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理, 定义加以证明.
A.1
B.1 a
C.1 a a 2
D.1 a a 2 a3
2.用数学归纳法证明(n 1)(n 2)
( n n) 2 n 1 3
(2n 1
(n N )从 " k到k 1" 左端需增乘的代数式是( ) 2k 1 2k 3 A.2k 1 B.2(2k 1) C. D. k 1 k 1
在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边 是否成立.
当n=k+1时
等式左边＝ －1+3－5＋ …＋（－1）k（2k－1）
从n=k到n=k+1 有什么变化
＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1]
利用 假设
＝（－1）k k ＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1] ＝（－1）k＋1 [－k＋2(k+1)－1] ＝ （－1）k＋1 (k+1)＝右边 所以当n=k+1时等式（*）成立。
0
2、项数不一定只增加一项。
3、一定要用上假设
例 1、用数学归纳法证明：当n∈ N+时， 下面我们来证明前面问题 3中猜想的正确性
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n （*）
证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1, ∴左边=右边, ∴ 当n=1时，式（*）成立 (2)假设当n=k时，式（*）成立， 即 －1+3－5＋ …＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k
特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证
n n0 时成立,注意 n0 不一定为1;
(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归 纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化
凑结论
由（1）（2）可知，
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n
典型题选讲
例
1 4 2 7 3 10 n(3n 1) n(n 1)
用数学归纳法证明:
2
n2 1 a 2 n 1 用数学归纳法证明 :1 a a a (a 1) 1. 1 a 在验证n 1时, 左端计算所得的项为( C )