2020高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.1不等关系与不等式课件文
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∴b－a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34>0， ∴b>a，∴c≥b>a. 答案：A
2．已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小．
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)
二、必明 2 个易误点 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b，b<c ⇒a<c. 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件，a>b⇒ac2>bc2 就是错误 结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
【小题热身】
(8)开方法则：a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N，n≥2)．(单向性)
3．倒数性质 (1)设 ab>0，则 a<b⇔1a>1b.(双向性) (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
4．有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 (1)ba<ba＋ ＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0) (2)ab>ab＋ ＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)
考向三 求代数式的取值范围问题
[互动讲练型]
[例] 设 f(x)＝ax2＋bx，若 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则 f(－2)
的取值范围是________．
解析：解法一 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
＝(x－1)·x－122＋34， 因为 x<1，所以 x－1<0， 又因为x－122＋34>0， 所以(x－1)x－122＋34<0， 所以 x3－1<2x2－2x.
悟·技法 用作差法比较两个实数大小的四步曲
考向二 不等式的性质
1．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
[变式练]——(着眼于举一反三) 已知－1<x＋y<4 且 2<x－y<3，则 z＝2x－3y 的取值范围是 ________．(答案用区间表示)
解析：解法一 设 2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，
则由待定系数法可得aa＋ －bb＝ ＝2－3， 解得ab＝ ＝2－ 5，12 所以 z＝－12(x＋y)＋52(x－y)．
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.
解法三 由12≤≤aa－＋bb≤≤24
确定的平面区域如图阴影部分，当 f(－2)＝4a－2b 过点 A32，12 时，取得最小值 4×32－2×12＝5，
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)a>b，c>d⇒a－d>b－c.( √ ) (2)a>b⇒a3>b3.( √ ) (3)a>b⇔ac2>bc2.( × ) (4)a>b，c>d⇒ac>bd.( × ) (5)a>b⇒1a<1b.( × ) (6)若1a<1b<0，则|a|>|b|.( × ) (7)若 a>b 且 ab<0，则1a<1b.( × )
知 a>0，且 b>0.
答案：C
5.
1 2－1________
3＋1(填“>”或“<”)．
解析： 21－1＝ 2＋1< 3＋1 答案：<
6．下列不等式中恒成立的是________． ①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m.
解析：m－3－m＋5＝2>0，故①恒成立； 5－m－3＋m＝2>0，故②恒成立； 5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立． 答案：①②
当 f(－2)＝4a－2b 过点 B(3,1)时， 取得最大值 4×3－2×1＝10， ∴5≤f(－2)≤10. 答案：[5,10]
悟·技法 1.此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的 关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．
2．求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①若 a>0，b<0，显然不成立；②若 a＝5，b＝3，c＝6， d＝1，显然不成立；③若 c＝0，显然不成立；④若 a＝2，b＝1，c ＝－1，d＝－2，显然不成立．故选 A.
答案：A
悟·技法 不等式性质应用问题的 3 大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是 基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件． (2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断 p⇒q 和 q⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的 性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.
【知识重温】
一、必记 4 个知识点 1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔①a－b>0. (2)a＝b⇔a－b＝0. (3)a<b⇔②a－b<0.
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔③b<a.(双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒④a>c.(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c.(双向性) (4)同向可加性：a>b，c>d⇔⑤a＋c>b＋d.(单向性) (5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (6)a>b>0，c>d>0⇒⑥ac>bd.(单向性) (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．(单向性)
又－5<252<x－－21yx<＋125y，<12
所以两式相加可得 z∈(3,8)．
解法二 作出不等式组－2<1x<－x＋y<y3<4 表示的可行域，如图中阴 影部分所示．
平移直线 2x－3y＝0，当相应直线经过 x－y＝2 与 x＋y＝4 的 交点 A(3,1)时，z 取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当相应直线经 过 x＋y＝－1 与 x－y＝3 的交点 B(1，－2)时，z 取得最大值，zmax ＝2×1＋3×2＝8.所以 z∈(3,8)．
于是得mn－＋mn＝ ＝－ 4 2， 解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即 5≤f(－mn＝＝13. 2)≤10.
解法二
由ff－1＝1＝a＋a－b b 得ab＝ ＝1212[[ff－ 1－1＋ f－f11]].
2．设 A＝(x－3)2，B＝(x－2)·(x－4)，则 A 和 B 的大小关系为
() A．A≥B C．A≤B
B．A>B D．A<B
解析：A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1>0，所以 A>B.故选
B. 答案：B
3．已知 a<b，则下列不等式正确的是( ) A.1a＞1b B．1－a＞1－b C．a2＞b2 D．2a＞2b
解析：∵a＜b，∴－a＞－b，∴1－a＞1－b.故选 B. 答案：B
4．已知 a，b 是实数，则“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0”
的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a>0 b>0
⇒a＋b>0 ab>0
.又当 ab>0 时，a 与 b 同号，由 a＋b>0
答案：(3,8)
考向一 比较大小
[自主练透型]
1．[2019·长春模拟]已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2， c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b
解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
A.ad>bc abC.cLeabharlann dB.ad<bc ab
D.c<d
[自主练透型]
解析：∵c<d<0，∴0>1c>1d，∴－1d>－1c>0，又 a>b>0，∴－ad> －bc，故选 B.
答案：B
2．[2019·长沙模拟]对于任意实数 a、b、c、d，给出以下命题：
①若 a>b，则1a<1b；②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；③若 a>b，则 ac2>bc2；④若 a>b>0，c>d，则 ac>bd.其中真命题的个数是( )
2．已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小．
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)
二、必明 2 个易误点 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b，b<c ⇒a<c. 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件，a>b⇒ac2>bc2 就是错误 结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
【小题热身】
(8)开方法则：a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N，n≥2)．(单向性)
3．倒数性质 (1)设 ab>0，则 a<b⇔1a>1b.(双向性) (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
4．有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 (1)ba<ba＋ ＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0) (2)ab>ab＋ ＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)
考向三 求代数式的取值范围问题
[互动讲练型]
[例] 设 f(x)＝ax2＋bx，若 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则 f(－2)
的取值范围是________．
解析：解法一 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
＝(x－1)·x－122＋34， 因为 x<1，所以 x－1<0， 又因为x－122＋34>0， 所以(x－1)x－122＋34<0， 所以 x3－1<2x2－2x.
悟·技法 用作差法比较两个实数大小的四步曲
考向二 不等式的性质
1．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
[变式练]——(着眼于举一反三) 已知－1<x＋y<4 且 2<x－y<3，则 z＝2x－3y 的取值范围是 ________．(答案用区间表示)
解析：解法一 设 2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，
则由待定系数法可得aa＋ －bb＝ ＝2－3， 解得ab＝ ＝2－ 5，12 所以 z＝－12(x＋y)＋52(x－y)．
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.
解法三 由12≤≤aa－＋bb≤≤24
确定的平面区域如图阴影部分，当 f(－2)＝4a－2b 过点 A32，12 时，取得最小值 4×32－2×12＝5，
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)a>b，c>d⇒a－d>b－c.( √ ) (2)a>b⇒a3>b3.( √ ) (3)a>b⇔ac2>bc2.( × ) (4)a>b，c>d⇒ac>bd.( × ) (5)a>b⇒1a<1b.( × ) (6)若1a<1b<0，则|a|>|b|.( × ) (7)若 a>b 且 ab<0，则1a<1b.( × )
知 a>0，且 b>0.
答案：C
5.
1 2－1________
3＋1(填“>”或“<”)．
解析： 21－1＝ 2＋1< 3＋1 答案：<
6．下列不等式中恒成立的是________． ①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m.
解析：m－3－m＋5＝2>0，故①恒成立； 5－m－3＋m＝2>0，故②恒成立； 5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立． 答案：①②
当 f(－2)＝4a－2b 过点 B(3,1)时， 取得最大值 4×3－2×1＝10， ∴5≤f(－2)≤10. 答案：[5,10]
悟·技法 1.此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的 关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．
2．求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①若 a>0，b<0，显然不成立；②若 a＝5，b＝3，c＝6， d＝1，显然不成立；③若 c＝0，显然不成立；④若 a＝2，b＝1，c ＝－1，d＝－2，显然不成立．故选 A.
答案：A
悟·技法 不等式性质应用问题的 3 大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是 基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件． (2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断 p⇒q 和 q⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的 性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.
【知识重温】
一、必记 4 个知识点 1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔①a－b>0. (2)a＝b⇔a－b＝0. (3)a<b⇔②a－b<0.
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔③b<a.(双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒④a>c.(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c.(双向性) (4)同向可加性：a>b，c>d⇔⑤a＋c>b＋d.(单向性) (5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (6)a>b>0，c>d>0⇒⑥ac>bd.(单向性) (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．(单向性)
又－5<252<x－－21yx<＋125y，<12
所以两式相加可得 z∈(3,8)．
解法二 作出不等式组－2<1x<－x＋y<y3<4 表示的可行域，如图中阴 影部分所示．
平移直线 2x－3y＝0，当相应直线经过 x－y＝2 与 x＋y＝4 的 交点 A(3,1)时，z 取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当相应直线经 过 x＋y＝－1 与 x－y＝3 的交点 B(1，－2)时，z 取得最大值，zmax ＝2×1＋3×2＝8.所以 z∈(3,8)．
于是得mn－＋mn＝ ＝－ 4 2， 解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即 5≤f(－mn＝＝13. 2)≤10.
解法二
由ff－1＝1＝a＋a－b b 得ab＝ ＝1212[[ff－ 1－1＋ f－f11]].
2．设 A＝(x－3)2，B＝(x－2)·(x－4)，则 A 和 B 的大小关系为
() A．A≥B C．A≤B
B．A>B D．A<B
解析：A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1>0，所以 A>B.故选
B. 答案：B
3．已知 a<b，则下列不等式正确的是( ) A.1a＞1b B．1－a＞1－b C．a2＞b2 D．2a＞2b
解析：∵a＜b，∴－a＞－b，∴1－a＞1－b.故选 B. 答案：B
4．已知 a，b 是实数，则“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0”
的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a>0 b>0
⇒a＋b>0 ab>0
.又当 ab>0 时，a 与 b 同号，由 a＋b>0
答案：(3,8)
考向一 比较大小
[自主练透型]
1．[2019·长春模拟]已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2， c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b
解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
A.ad>bc abC.cLeabharlann dB.ad<bc ab
D.c<d
[自主练透型]
解析：∵c<d<0，∴0>1c>1d，∴－1d>－1c>0，又 a>b>0，∴－ad> －bc，故选 B.
答案：B
2．[2019·长沙模拟]对于任意实数 a、b、c、d，给出以下命题：
①若 a>b，则1a<1b；②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；③若 a>b，则 ac2>bc2；④若 a>b>0，c>d，则 ac>bd.其中真命题的个数是( )