反比例函数与二次函数专题(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题26.20 反比例函数与二次函数专题（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．反比例函数k
y x
=与二次函数2(0)y kx k k =-+≠在同一平面直角坐标系中的大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．函数y ＝x ＋2与y ＝1x 的图象交点横坐标可由方程x ＋2＝1
x
求得，由此推断：方程
m 3＋2m ＋4＝0中m 的大致范围是（ ）
A ．－2＜m ＜－1
B ．－1＜m ＜0
C ．0＜m ＜1
D ．1＜m ＜2
3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则一次函数y ax c =-与反比例函数
b c
y x
+=
．在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．武汉数学著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程3
x
－2＝x 2－4x 的根的情况是（ ）
A ．有三个实数根
B ．有两个实数根
C ．有一个实数根
D ．无实数根
5．方程320x x --=的实数根就是方程2
2
1x x
-=
的实数根，用“数形结合”思想判定方程320x x --=的根的情况，正确的是（ ）
A ．方程有3个不等实数根
B ．方程的实数根0x 满足001x <<
C ．方程的实数根0x 满足012x <<
D ．方程的实数根0x 满足023x <<
6．中国著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．请运用这句话中提到的思想方法判断方程
23
4x x x
=-的根的情况是（ ） A ．有一个实数根 B ．有两个实数根
C ．有三个实数根
D ．有四个实数根
7．方程x 2＋2x －1＝0的根是函数y ＝x ＋2与函数y ＝
1
x
的图象交点的横坐标，利用此方法可推出方程x 3＋x －1＝0的实数根x 0所在的范围是（ ）
A ．－1＜x 0＜0
B ．0＜x 0＜1
C ．1＜x 0≤2
D ．2＜x 0＜3
8．已知x 1、x 2、x 3为方程x 3+3x 2-9x -4=0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1x 2x 3<0
B ．x 1+x 2-x 3>0
C ．x 1-x 2-x 3>0
D ．x 1+x 2+x 3<0
9．已知在同一直角坐标系中二次函数2y ax bx =+和反比例函数c
y x
=的图象如图所示，则一次函数c
y x b a
=
-的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．一次函数()0y ax b a =+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()0k
y k x
=
≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）．则下列结论中，正确的是（ ）
A ．2b a k =+
B ．a b k =+
C ．0a b >>
D ．0a k >>
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．反比例函数1y x
=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为_______． 12．若抛物线y=2x 2-8x -1的顶点在反比例函数y=
k
x
的图像上，则k 的值为_______． 13．若直线y =m （m 为常数）与函数y =2(2)4(2)x x x x
⎧≤⎪
⎨>⎪⎩的图象恒有三个不同的交点，则常数
m 的取值范围是_____．
14．已知抛物线2y ax bx c =++开口向上且经过点()1,1,双曲线1
2y x
=经过点(),a bc ．给出下列结论：①0bc >；①0b c +>；①b ,c 是关于x 的一元二次方程()2
1102x a x a
+-+=的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
15．函数211
2y x x
=
+的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；① 该函数有最小值3
2；①方程21132x x +=有三个根；①如果()11,x y 和()22,x y 是该
函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y <．所有正确结论的序号是______．
16．如图抛物线y =ax 2与反比例函数k y x =交于点C （1，2），不等式2
k ax x
>的解集是_________．
17．如图，双曲线3y x
=-与抛物线2
(00)y ax bx a b =+
，
交于点P ，
P 点的纵坐标为-1，
则关于x 的方程2
3
0ax bx x
++
=的解是_____．
18．已知二次函数21y x bx c =++和反比例函数2k
y x
=
在同一个坐标系中的图象如图所示，则k 的值为_______；不等式2
k
x bx c x
++<
的解集是________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）对于方程m 2+2（1+
2
m
）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数．
20．（8分）如图，抛物线1
:()(4)2
L y x t x t =--+（常数t ＞0）与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OB 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线6
(0)y x x
=
<于点P ． (1) 当t ＝1时，求AB 长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离； (2) 当直线MP 与L 对称轴之间的距离为1时，求t 的值．
(3) 把L 在直线MP 右侧部分的图象（含与直线MP 的交点）记为G ，用t 表示图象G
最低点的坐标；
(4) 设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足﹣6≤x 0≤﹣4，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．
21．（10分）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261
x
y x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； x
… 5- 4-
3-
2- 1-
0 1 2 3 4
5 …
2
61x y x =
+
…
1513-
2417-
125-
3- 0 3
12
5 2417
15
13
…
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴；
①该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-；
①该函数图象与坐标轴只有一个交点；
①当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
26211
x
x x >-+的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
22．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．
下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数()()2
1124
62x x x y x x
⎧++≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩的图象与性质．
列出表格： x …
6- 5- 4-
3- 2- 1-
0 1 2 3 4 5 6 7 …
y …
4
94 1
1
4
1
4 1 9
4 4 2 32
6
5 1 6
7
… 描点连线：
（1）以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数()()2
1124
62x x x y x x
⎧++≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩的图象．
探究性质：
（2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题：
①当2x ≤时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______．
①点()13,A y -，()28,B y -在该函数图象上，则1y ______2y （填“＞”“＜”或“＝”）． ①请写出该函数的一条性质：______________________． 解决问题：
（3）①当直线1y =时，与该函数图像的交点坐标为_________________．
①在直线2x =的左侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +值．
23．（10分）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表法式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点
的方法画函数图象．已知函数，2(50)2
1(2)4(0)4
k
x x y x x ⎧-≤<⎪⎪+=⎨⎪--+≥⎪⎩探究函数的表达式、图象和性质、
解决问题的过程如下：
（1）下表是y 与x 的几组值，则函数表达式中的k =_______，表格中的=a ______ x
5-
4- 3-
5
4-
1-
0 1 2 3 4 5 6 …
y 2- 3- 6- 8
6 3
15
4 4
15
4
3 a 0 …
（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象： （3）观察函数2(50)2
1(2)4(0)4
k
x x y x x ⎧-≤<⎪⎪+=⎨⎪--+≥⎪⎩的图象，请描述该函数（当0x ≥时）的一条性
质：____________．
（4）若直线y m =（m 为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则m 的取值范围为_________．
24．（12分）数学活动课上，老师出示了如下问题：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，10AD =，点E 是AD 边上一动点（不与点A ，D 重合），连接BE ，过点E 作EF BE ⊥，交CD
边于点F ，点G 在BC 边上，且GFC EFD ∠=∠．当DF CG =时，求AE 的长．
某个小组的探究过程如下，请补充完整． （1）初步分析
当点E 在AD 边上运动时，设AE x =，则DF =______，CG =______．（用含x 的代数式表示）
（2）建立函数模型
“当DF CG =时，求AE 的长”可以转化为求二次函数y =______（010x <<）与反比例函数()36
010y x x
=
<<的图象的交点的横坐标． （3）画出函数图象
在如图2所示的平面直角坐标系中已经画出了（2）中的反比例函数的图象，描出了（2）中二次函数图象上的部分点，参照自变量x 的取值范围请用平滑曲线画出该二次函数的图象．
（4）得出结论
结合函数图象可知，当DF CG =时，AE 的长约为______．（结果精确到0.1）
参考答案
1．D
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图像与性质，二次函数图像和性质进行判断即可．
解：当k ＞0时，二次函数2=-+y kx k 的图像开口向下，顶点在y 轴的正半轴；反比例函数k
y x
=
图像在第一、三象限； 当k ＜0时，二次函数2=-+y kx k 的图像开口向上，顶点在y 轴的负半轴；反比例函数k
y x
=
图像在第二、四象限，故选项D 正确； 故选：D ．
【点拨】本题考查反比例函数的图像、二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
2．A
【分析】由m 3＋2m ＋4＝0可变形为2
42m m
+=-
，因此作函数y =x 2+2与函数y =-4x 图
象，观察交点横坐标即可得答案．
解：由m 3＋2m ＋4＝0可变形为：2
42m m
+=-
， 作函数y =x 2+1与函数y =-4
x
图象如下：
根据图象可得：两函数图象交点M 横坐标满足-2<xM <-1，即m 2+2=−4
x 中m 的大致范围
是-2<m <-1，故A 正确．
故选：A ．
【点拨】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题．
3．D
【分析】根据抛物线图象，得到0a ＞，0c ＜，0b ＜，即可判断出答案．
解：根据抛物线图象，开口向上，即0a ＞；与y 轴交于负半轴，故0c ＜；对称轴在x 轴正半轴，即02b
a
-
＞，所以0b ＜；
①y ax c =-中，0a ＞，0c ＜，①排除A 、B 选项； ①b c
y x
+=
，0b ＜，0c ＜，①0b c +＜，故排除C 选项； 故选D ．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象及一次函数图象，熟练掌握函数图象和性质是本题的关键．
4．C
【分析】根据题意可得方程
3x －2＝x 2－4x 的根的个数等于函数y 1=3
x
与y 2= x 2－4x +2的交点的个数，结合图象，即可求解．
解：①3
x －2＝x 2－4x ，
①3
x ＝x 2－4x +2， 令y 1=3
x
，y 2= x 2－4x +2，
①方程3
x
－2＝x 2－4x 的根的个数等于两函数的交点的个数，
如图，
观察图象得：两个函数只有一个交点， ①方程3
x
－2＝x 2－4x 有一个实数根．
故选：C
【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．C
【分析】将方程2
21x x -=
的右边看作是反比例函数2
y x
=，左边看作是二次函数21y x =-，在坐标系中作出两个函数的图像即可作答．
解：将方程2
21x x -=
的右边看作是反比例函数2
y x
=，左边看作是二次函数21y x =-，
即反比例函数2
y x
=
、二次函数21y x =-在坐标系中的图像如下：
由图可知反比例函数2
y x
=、二次函数21y x =-只有一个交点，且交点的横坐标在1和2之间，
则方程320x x --=只有一个实数根，且实数根0x 满足012x <<， 故选：C ．
【点拨】本题考查了利用函数图像求解三次方程根的知识，将一元三次方程转化为求二次函数与反比例函数的交点问题，注重数形结合是解答本题的关键．
6．A 【分析】由
234x x x
=-可知，方程的根为3
y x =与24y x x =-的图象交点的横坐标，画
3
y x
=
与24y x x =-的图象，观察图象确定交点个数，进而可得方程根的个数． 解：由
234x x x
=-可知，方程的根为3
y x =与24y x x =-的图象交点的横坐标，
作3y x
=与24y x x =-的图象如下图所示，
①由图象可知，图象共有1个交点，即方程有1个根， 故选A ．
【点拨】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键．7．B
【分析】根据题意方程x3+mx﹣1＝0的根可视为函数y＝x2+m的图象与函数
1
y
x
=的图
象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象过第一、二象限，函数
1 y
x =
的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点
越低，与函数
1
y
x
=的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m＝0时，y＝x2与
1
y
x
=的交点
A的坐标为（1，1），于是得到当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
解：①方程x3+mx﹣1＝0变形为x2+m﹣1
x
＝0，
①方程x3+mx﹣1＝0的根可视为函数y＝x2+m的图象与函数1
y
x
=的图象交点的横坐标，
①当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象过第一、二象限，函数1
y
x
=的图象分别在第一、三象限，
①它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，
①当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物
线顶点越低，与函数
1
y
x
=的图象的交点的横坐标越大，
当m＝0时，y＝x2与
1
y
x
=的交点A的坐标为（1，1），
①当m=1时，方程x3＋x－1＝0的实数根可视为函数y＝x2＋1的图象与函数1
y
x
=的图象交点的横坐标，由以上分析可知方程x3＋x－1＝0的实数根x0所在的范围是0＜x0＜1．故选：B．
【点拨】此题考查了反比例函数与二次函数的交点问题，反比例函数与二次函数的交点坐标满足两函数的解析式，阅读理解能力和数形结合思想是解决问题的关键．
8．D
【分析】由323940x x x +--=可得2
4
39x x x
+-=
则x 1、x 2、x 3可以看作是抛物线239y x x =+-与反比例函数4
y x
=
的三个交点的横坐标，由此画出函数图象求解即可． 解：①323940x x x +--=，当0x =时，40-≠， ①24
390x x x +--=， ①2439x x x
+-=
， ①x 1、x 2、x 3可以看作是抛物线239y x x =+-与反比例函数4
y x
=
的三个交点的横坐标， ①由函数图象可知1230x x x >，1230x x x ++<，根据现有条件无法判定12312300x x x x x x +->-->，，
故选D ．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到x 1、x 2、x 3可以看作是抛物线239y x x =+-与反比例函数4
y x
=
的三个交点的横坐标是解题的关键． 9．B
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a ﹤0，b ﹥0，c ﹥0，由此可得出c
a
﹤0，一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
解：由二次函数图象可知：a ﹤0，对称轴2b
x a
=-
﹥0，
①a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
①c
a
﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数
c
y x b
a
=-的图象特征．
故选：B·
【点拨】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
10．D
【分析】根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．
解：①根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（-2，0），
①-2a+b=0，
①b=2a．
①由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，
①b＞0．
①反比例函数图象经过第一、三象限，
①k＞0．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0，
①2a+k＞2a，即b＜2a+k，
故A选项不符合题意；
B、①k＞0，b=2a，
①b+k＞b，
即b+k＞2a，
①a=b+k不成立，
故B选项不符合题意；
C、①a＞0，b=2a，
①b＞a＞0．
故C选项不符合题意；
D 、观察二次函数y =ax 2+bx 和反比例函数y =k x
（k ≠0）图象知，当x =-2b a =-22a
a =-1时，
y =-k ＞-2
b 4a =-2
44a a
=-a ，即k ＜a ，
①a ＞0，k ＞0， ①a ＞k ＞0． 故D 选项符合题意； 故选：D ．
【点拨】本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．
11．3个
【分析】根据数形结合的思想进行判断即可；
解：()2
24321=-+-=--+y x x x ，画出图像如图所示：
即可得到有三个交点． 故答案是3．
【点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象问题，准确分析是解题的关键． 12．-2．
解：试题解析：①y=x 2-4x+3=（x -2）2-1， ①顶点C 的坐标为（2，-1）； ①点C （2，-1）在反比例函数y=k
x
的图像上 ①k=-1×2=-2．
考点：待定系数法求反比例函数解析式． 13．0＜m ＜2
【分析】首先作出分段函数y=2(2)4(2)x x x x
⎧≤⎪
⎨>⎪⎩的图象，根据函数的图象即可确定m 的取值
范围．
解：分段函数y=2(2)4(2)x x x x
⎧≤⎪
⎨>⎪⎩的图象如图：
故要使直线y=m （m 为常数）与函数y=2(2)4(2)x x x x
⎧≤⎪
⎨>⎪⎩的图象恒有三个不同的交点，常数m
的取值范围为0＜m ＜2．
【点拨】本题主要考查了二次函数和反比例函数的图象．通过数形结合的方法找到满足条件的m 的范围即可.
14．①①
【分析】根据抛物线2y ax bx c =++开口向上且经过点()1,1,双曲线1
2y x
=
经过点(),a bc ,
可以得到a >0,a,b ．c 的关系,然后对a,b 、c 进行讨论,从而可以判断①①①是否正确,从而得出答案．
解：①抛物线2y ax bx c =++开口向上且经过点()1,1,双曲线1
2y x
=
经过点(),a bc , ①0112a a b c bc a ⎧
⎪>⎪
++=⎨⎪⎪=⎩ , ①0bc > ,故①正确．
当a > 1时,则b 、c 均小于0,此时b +c <0, 当a = 1时，b +c =0，不符合题意，
当0 <a < 1时,则b 、c 均大于0,此时
b +
c >0,故①错误．
①关于x 的一元二次方程()21
102x a x a
+-+=可以转化为：2()0-++=x b c x bc ,则x b = 或x c = ,故①正确．
故答案为：①①
【点拨】本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题．
15．①①##①①
【分析】根据函数解析式可知1
x
中0x ≠，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，
进而判断①，根据2112y x x
=+与3y =存在3个交点可判断①当0x <时，
y 随x 的增大而减小，进而即可判断①
解：
211
2y x x
=
+则，0x ≠，即函数图象与y 轴无交点， ∴该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；
故①正确；
根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值， 故①不正确； 如图211
2y x x =
+与3y =存在3个交点，则方程21132x x
+=有三个根；
故①正确
当0x <时，y 随x 的增大而减小，如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y >．
故①不正确 故正确的有①① 故答案为：①①
【点拨】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
16．1x >或0x <
【分析】根据两函数图象的上下关系结合点C 的坐标，即可得出不等式的解集． 解：从图象得出当1x >或0x <时，二次函数y =ax 2的图象在双曲线k
y x
=的上方， ①不等式2k
ax x
>
的解集为1x >或0x <． 故答案为：1x >或0x <
【点拨】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，关键是由C 点坐标，利用数形结合的思想解决问题．
17．3x =．
解：①P 的纵坐标为－1， ①3
1x
-=-，①3x =，
①23
0ax bx x ++
=可化为关于x 的方程23ax bx x
+=-的形式， ①此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值， ①3x =． 故答案为3x =．
考点：1．二次函数的图象；2．反比例函数的图象；3．反比例函数图象上点的坐标特征．
18． 2- 10x -<<或12x << 【分析】把点（1，-2）代入2k
y x
=
即可求出k 的值，根据当10x -<<或12x <<时，抛物线在双曲线的下方，即可求出不等式的解．
解：①反比例函数2k
y x
=的图像在过点（1，-2） ①k =1×（-2）=-2；
①当10x -<<或12x <<时，抛物线在双曲线的下方， ①不等式2k
x bx c x
++<
的解集是：10x -<<或12x <<． 故答案是：2；10x -<<或12x <<．
【点拨】本题主要考查反比例函数和二次函数综合，掌握函数图像的交点坐标与不等式
的关系，是解题的关键．
19．m 2+2（1+
2
m
）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【分析】根据等式的性质，可化简方程，根据函数与方程的关系，可得答案． 解：由等式的性质，得 m 2+2=﹣
4m
． 在同一平面直角坐标系内画出n=m 2+2，n=﹣
4m
， ，
由图象，得 n=m 2+2与n=﹣
4
m
的交点坐标在﹣2与﹣1之间， 即方程m 2+2（1+
2
m
）=0的解在﹣2与﹣1之间． 【点评】本题考查了函数图象，利用等式的性质把方程转化成m 2+2=﹣4
m
，利用函数与方程的关系是解题关键．
20．(1)1
2
(2)t ＝2(3)（t ﹣2，﹣2）(4)不存在 【分析】（1）当t ＝1时，令y ＝0，得：
()()1
11402
x x --+=，解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，A （1，0），B （﹣3，0），求出AB 的长为4；由()()()2
11131222y x x x =
-+=+-，写出抛物线对称轴为直线x ＝﹣1，根据M 为OB 中点，写出3,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求出直线MP 与L 对称轴之间的距离为1
2；
（2）求出抛物线()()1
42
y x t x t =
--+的对称轴为直线x ＝t -2，求出抛物线与x 轴交点为A （t ，0），B （t ﹣4，0），写出线段OB 的中点4
(,0)2
t M -，根据M 与对称轴的距离为1， 解得t ＝2．
（3）配方()()()21142222y y x t x t x t =--+=---⎡⎤⎣
⎦，当4
22t t -≤-，即t ≤0时，不合题意，当4
2
2t t ->
-，即t ＞0时，图象G 最低点为抛物线L 的顶点（t ﹣2，﹣2）； （4）满足条件的t 的取值范围不存在．根据交点横坐标为0x 和二次函数反比例函数解析式得到
()()0001642x t x t x --+=，求出000
1242x t x x +=+推出06x =-时，42t =-， 04x =-时，21t =-±，从t 值最大到最小分段讨论得到421t -≤-+，423t -≤-，由于
t ＞0，所以满足条件的t 的取值范围不存在．
解：(1)当t ＝1时，令y ＝0，得：()()1
11402x x --+=，
解得：x 1＝1，x 2＝﹣3， ①A （1，0），B （﹣3，0）， ①AB ＝4； ①抛物线L ：()()()2
11131222
y x x x =
-+=+-， ①抛物线L 的对称轴为直线x ＝﹣1， ①M 为OB 中点， ①3,02M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
①直线MP 与L 对称轴之间的距离为1
2；
(2)①抛物线
()()142y x t x t =
--+的对称轴为：直线x ＝42t t +-＝t ﹣2，
抛物线L 与x 轴交点为A （t ，0），B （t ﹣4，0） ①线段OB 的中点4
(,0)2
t M -， 由题意得：
()4
212
t t ---=， 解得：t ＝2或﹣2， ①t ＞0， ①t ＝2； (3)①
()()()211
42222y y x t x t x t =
--+=---⎡⎤⎣⎦，
①当4
2
2t t -≤
-，即t ≤0时，不合题意，舍去
当4
2
2t t ->
-，即t ＞0时，图象G 最低点为抛物线L 的顶点（t ﹣2，﹣2）； (4)满足条件的t 的取值范围不存在． 如图①()()001
42y x t x t =
--+，0
6y x =， ①()()000
1642x t x t x --+=， ①()()2
0000412x x t x x t -+-=， ①()2
0002124x x t x -+=+， ①0
00
1242x t x x +=+ ①﹣6≤x 0≤﹣4，
当06x =-时，42t =-42t =-42t =- 当04x =-时，21t =-±，t ＝﹣1或﹣3，
随着t 的逐渐减小，抛物线L 的位置随着A （t ，0）向左平移， 当t ＝﹣1时，L 左侧过点C ；
当42t =-L 左侧过点D ，即421t -≤-+；
当342t -<<-+L 左侧离开了点C ，而右侧未到达点D ， 即L 与该段无交点，舍去； 当t ＝﹣3时，L 右侧过点C ，
当42t =-L 右侧过点D ，即423t -≤-． 综上所述，421t -≤-+或423t -≤-． 由于t ＞
0，所以满足条件的t 的取值范围不存在．
【点拨】本题主要考查了二次函数和反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握二次函数
和反比例函数的图象性质，（1）问，当t ＝1时，令y ＝0，求得 A （1，0），B （﹣3，0），求出AB 的长为4；把L 的解析式配方，写出其对称轴为直线x ＝﹣1，根据OB 中点3,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
求出直线MP 与L 对称轴之间的距离为1
2；（2）问，求出抛物线的对称轴为直线x ＝t -2，求出抛物线与x 轴交点A （t ，0），B （t ﹣4，0），再求出线段OB 的中点4
(,0)2
t M -，根据M 与对称轴的距离为1求出t ＝2．（3）问，将解析式配方配方()21222y x t =
---⎡⎤⎣
⎦，分4
22t t -≤-，4
2
2t t ->
-两种情况讨论，即t ＞0时，得图象G 最低点为（t ﹣2，﹣2）；（4）问，满足条件的t 的取值范围不存在．根据交点横坐标为0x ，联立二次函数反比例函数解析式求出，
00
1242x t x x +=+06x =-时与 04x =-时求出t 值，然后按大到小的顺序分段讨论得到t 的取值范围，由于此范围不合t ＞0，所以满足条件的t 的取值范围不存在．
21．（1）95-，9
5
，见分析；（2）①①①；（3）1x <-或0.3 1.8x -<<
【分析】（1）分别代入x 求y ． （2）观察图象，逐条分析判断即可．
（3）根据图象及不等式分类讨论x ＞0与x ＜0解集． 解：（1）当x =-3时，2(6(3)
11053)8
9
1y ⨯--===-+- 当x =3时，263189
105
13y ⨯=
==+ 故填：95-，9
5
补全图象．
（2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确；
①该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当
1x =-时，函数取得最小值3-，正确；
①该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确；
①当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大，正确； 故答案为：①①①；
（3）由图象得，1x <-或0.3 1.8x -<<
【点拨】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式．
22．（1）见分析；（2）①直线x =-2；（-2，0）；①＜；①图象有最低点（-2，0）；（3）①（-4，1），（0，1），（6，1）；①x 3+x 4=-4．
【分析】（1）根据画函数图象的步骤解答即可； （2）观察图象的对称性，最低点特征，即可求解①①； ①根据函数有最低点写出即可； （3）①观察图象可直接得出结论；
①分析题意可得P 、Q 两点关于直线x =-2对称，得P 、Q 连线的中点在直线x =-2上，根据中点坐标公式即可得出结果．
解：（1）该函数图象如图所示； （2）结合（1）中画出的函数图象，
①当x ≤2时，该函数图象的对称轴为：直线x =-2；最低点坐标为 （-2，0）； 故答案为：直线x =-2；（-2，0）；
①点A （-3，y 1），B （-8，y 2）在该函数图象上，且A 、B 在对称轴左侧， 观察图象，对称轴左侧是y 随x 的增大而减小， y 1＜y 2； 故答案为：＜；
①写出该函数的一条性质：图象有最低点（-2，0）； 故答案为：图象有最低点（-2，0）；
（3）①当直线y =1时，观察图象经过（-4，1），（0，1），（6，1） ①与该函数图象的交点坐标为 （-4，1），（0，1），（6，1）； 故答案为：（-4，1），（0，1），（6，1）；
①在直线x =2的左侧的函数图象上有两个不同的点P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），且y 3=y 4， ①P 、Q 两点关于直线x =-2对称， ①P 、Q 连线的中点在直线x =-2上， ①根据中点坐标公式得：x 3+x 4=-4．
【点拨】本题考查了分段函数的图象画法，函数的增减性，最值问题，图象上点的坐标特征，解题关键是数形结合思想的综合运用．
23．（1）6，7
4
；（2）见分析；（3）当2x >时，y 随x 的增加而减小；（4）2m ≤-或3
m =或4m =
【分析】（1）根据表格信息，利用待定系数法解决即可求得k ，把5x =代入
21
(2)44
y x =--+即可求得a ．
（2）利用描点法画出函数图象即可，结合图形描述函数的性质即可． （3）根据图象即可求得；
（4）判断出直线与双曲线有交点的m 的取值范围即可． 解：（1）把1x =-，6y =代入(50)2
k y x x =-<+得，612k =-+，
解得6k =，
把5x =代入21(2)44
y x =--+得，7
4
y =， 7
4
a ∴=
， 故答案为：6，7
4
．
（2）函数图象如图所示．
（3）性质：当2x >时，y 随x 的增加而减小． 故答案为：当2x >时，y 随x 的增加而减小．
（4）观察图象可知，若直线(y m m =为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则m 的取值范围为2m ≤-或3m =或4m =，
故答案为2m ≤-或3m =或4m =．
【点拨】本题考查反比例函数与二次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）21563x x -+，36
10x x -+；（2）2121063
x x -++；（3）答案见分析；（4）3.6或
8.1．
【分析】(1)设AE x =，根据GFC EFD ∠=∠，EF BE ⊥，+90AEB DEF ∠∠=︒，+(90)90AEB EFD ∠︒-∠=︒，进而求得；
(2) 当DF CG =时，21536
1063x x x x -+=-+，求AE 的长，可转化为求二次函数
2110(010)63
2
y x x x =-++<<与反比例函数(03610)y x x =<<的图象的交点的横坐标，即可
得出结论；
(3) 根据二次函数2110(010)63
2
y x x x =-++<<，即可求得图象；
(4) 当DF CG =时，求AE 的长，可结合函数图象解答即可． 解：（1）设AE x =，
①GFC EFD ∠=∠，EF BE ⊥， ①+90AEB DEF ∠∠=︒， 即+(90)90AEB EFD ∠︒-∠=︒，
①AEB EFD ∠=∠， ①tan tan AEB EFD ∠=∠， ①
AB DE AE DF =，即610x
x DF -=，①21563
DF x x =-+， ①GFC EFD ∠=∠， ①tan tan GFC EFD ∠=∠，
①CG DE AB FC DF AE
==，即26156()63
CG x x x =
--+，
36
10CG x x
=-+
； （2）故(1)可知215
63DF x x =-+，3610CG x x
=-+，
当DF CG =时，21536
1063x x x x
-+=-+，
即2136
10263x x x
-++=，
①当DF CG =时，求AE 的长，可转化为求二次函数2110(010)63
2
y x x x =-++<<与反
比例函数(036
10)y x x
=
<<的图象的交点的横坐标， 故答案为：212
1063
x x -++．
（3）①二次函数2110(010)63
y x x x =-+<<，
①图象如图所示：（注：()0,10和()10,0处用空心圆圈）
（4）当DF CG =时，求AE 的长，可转化为求二次函数2110(010)63
2
y x
x x =-++<<与
反比例函数(036
10)y x x
=
<<的图象的交点的横坐标， 观察函数图象可得 3.5x =或8.1x =， 故答案：3.6或8.1（可以有0.1-0.2的误差）．
【点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数的综合，正确作出辅助线，理解题意是解题的关键．。