数学人教版八年级上册全等三角形判定之角边角公理及推论

知识应用 [ P13: 1,2. ]
2.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证: AB=AD. 证明： ∵ AB⊥BC, AD⊥DC, ∴ ∠B=∠D=900,
在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D, ∠1＝∠2, AC＝AC, ∴ △ABC ≌△ADC （AAS） ∴ AB＝AD.
练一练：
数学思想：
要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
例2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：AC=AD
如果把已知中的 ∠3=∠4 改成, ∠D=∠C 此题又如何?
已知: 如图∠B=∠DEF, BC=EF, 求证:ΔABC≌ ΔDEF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件AB=DE ＿＿＿＿＿＿； ∠ACB= ∠DEF (2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿； AB=DE、AC=DF (3)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿； (4)若要以“AAS” 为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；过实验你发现了什么规律？
A’
B’
探究反映的规律是：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。 用数学符号表示:
在△ABE和△A’CD中 ∠A=∠A’ （已知 ） AB=A’C（已知 ） ∠B=∠C（已知 ） ∴ △ABE≌△A’CD（ASA） B
A
A'
1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS， 或∠B=∠E或∠A=∠D 那么应补充一个直接条件 AC=DF --------------------------， （写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF.
A
F B E D
1 2
A
C
D
B
E
C
2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
C
A
B
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ： 画法：1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
C E C’ D
∠A=∠A（公共角） AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知）
D O
E
B ∴△ACD≌△ABE（ASA） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB=AC（已知） ∴BD=CE
C
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
A
B D
C
E
F
在△ABC和△DEF中, ∠A +∠B +∠C＝1800, ∠D +∠E +∠F =1800, ∵ ∠A ＝∠D, ∠B＝∠E, ∴ ∠C＝∠F, ∴ ∠B＝∠E, BC＝EF, ∠C＝∠F, ∴ △ABC ≌△DEF （ASA）
探究反映的规律是：
两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角 形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
(2) (1)
如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?
(2) (1)
A
D
(2)
C 利用“角边角”可知,带第(2)块去， E 可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。 B
探究6
如下图，在△ABC和△DEF中,∠A ＝∠D, ∠ B＝∠E, BC＝EF, △ABC与△DEF全等吗？能利用 角边角条件证明你的结论吗？
练习:
三步走：
①要证什么； ②已有什么； ③还缺什么。
= B
A
D
=
E C
F
知识要点：
(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
(已知) ABC DBC
A
110
B
A D(已知)
BC BC(公共边)
35 35 110
D
C
\ DABC DDBC ( A A S )
例: 如图,O是AB的中点，∠A= ∠B， △AOC与△BOD全等吗?为什么？
C
两角和夹边 对应相等
A
O
D
B
解：在 D 中 AOC 和 D BOD
E
D C
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。 如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD:
B
∠A=∠B,（已知）
AO=BO ,
C
1 2
∠1=∠2, （已知）
∴△AOC≌△BOD (ASA)
A
O D
例题讲解
例3.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交 于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证：(1)AD=AE; (2)BD=CE。 A 证明 ：在△ADC和△AEB中
A B(已知)
AO BO (中点的定义) (对顶角相等) AOC BOD
\ DAOC DBOD
( ASA )
例: 如图,O是AB的中点，∠C= ∠D， △AOC与△BOD全等吗?为什么？
C
两角和对边 对应相等
A
O
D
B
解：在
中 D AOC 和 D BOD
∠C= ∠D (已知) AO BO (中点的定义) (对顶角相等) AOC BOD \ DAOC DBOD (AAS)
A A'
用数学符号表示: 在△ABE和△A’CD中 AE=A’D（已知 ） ∠A=∠A’ （已知 ） ∠B=∠C（已知 ）
E B D C
∴ △ABE≌△A’CD（AAS）
练一练:
(1) 图中的两个三角形全等吗? 请说明理由. 全等.因为两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等.
解 ： 在 D A B CD 和 D B C 中
答：至少要有三个条件 边边边公理： 有三边对应相等的两个三角形全等。 边角边公理： 有两边和它们夹角对应相等的两个 三角形全等。
问题：
如果已知一个三角形的两角及一边，那 么有几种可能的情况呢？ 答：角边角（ASA） 角角边（AAS）
A
A
B
C
B
C
探究5
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A/B/C/，使A/B/=AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的 △A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
在adc和aeb中aa公共角acab已知cb已知acdabeasaadae全等三角形的对应边相等又abac已知bdce小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块他是否可以只带其中的一块碎片到商店去就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢
回首往事： 1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判断三角形全等至少要有几个条件？