黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(国际部,含解析)

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（国
际部，含解析）
第Ⅰ卷
一、选择题
1.设集合{0,1,2}A =，2
{|320}B x x x =-+≤，则A B =（ ）
A. {1}
B. {2}
C. {0,1}
D. {1,2}
【答案】D 【解析】
分析:先化简集合B,再求A∩B 得解.
详解：由题得{|12}B x x =≤≤，所以{}1,2A B ⋂=.故答案为：D
点睛：本题主要考查集合和集合的交集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注
意集合A 和集合B 的交集是有限集，不要写成了不等式.
2.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是( )
A. 2
2y x =-
B. 3y x
=
C. 1y =
D.
2(2)y x =-+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二次函数的单调性判断A 、D 不对，由反比例函数的单调性判断B 不对，根据复合函数和幂函数的单调性判断C 对。

【详解】对于A ，因为2
2y x =-在(],0-∞上为减函数，在(0,)+∞为增函数，所以A 不对；
对于B ，因为3
y x
=在(,0)-∞上为减函数，在(0,)+∞上也为减函数，所以B 不对；
对于C ，因为y =(],2-∞上为减函数，所以1y =在(],2-∞为增函数，所
以C 对；
对于D ，因为2
(2)y x =-+的对称轴是2x =-，所以(],2-∞-上为增函数，在(2,)-+∞为减
函数，所以D 不对。

故选：C
【点睛】本题考查函数的单调性的判断，主要利用二次函数的单调性、反比例函数的单调性、以及复合函数和幂函数的单调性进行判断。

3.若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z ︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（ ） A. 5 B. 4
C. 3
D. 2
【答案】C 【解析】 【详解】
，
，或是
，
，根据集合元
素的互异性，集合为，共含有3个元素，故选C.
考点：元素与集合
4.已知集合{}
A m =，{}1,
B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A. 03 B. 0或3
C. 13
D. 1或3
【答案】B 【解析】
【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =.
若3m =，则{3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=. 若m m =
，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.
若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.
5.函数2
1()y x x x R =++∈的递减区间是( ) A. 1
[,)2
-+∞
B. [1,)-+∞
C. 1(,]2
-∞-
D.
(,)-∞+∞
【答案】C 【解析】 【
分析】
首先求出二次函数的对称轴1
2
x =-；然后根据二次函数开口向上，在对称轴左侧函数单调递
减，据此可写出二次函数的单调递减区间。

【详解】
2213
1()24
y x x x =++=++
∴其对称轴为直线1
2
x =-，
∴ 函数的单调递减区间是1
(,]2
-∞-
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的单调递减区间，解题的关键是先确定出二次函数的对称轴。

6.设集合A ＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y)|3x ＋2y ＝7}，则A∩B＝ A. {x 1=或y 2}= B. (){}
1,2
C. {}1,2
D. ()1,2
【答案】C 【解析】
联立46327x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(){}1
,1,22x A B y =⎧∴⋂=⎨
=⎩
，故选C. 【名师点晴】本题主要考查的集合的表示方法和集合的交集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”还是求“
”和要注意代表元素法的元素是点还是数，否则很容易出现错误．
7.与函数2
21y x =+不相同的函数是( ) A. 2
2
1y x x =++ B.
y =
C. 221y x =+
D. ()
()2
2111
x x y x ++=
+
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的三要素：若函数相同，则定义域、值域、对应关系相同即可。

【详解】函数2
21y x =+的定义域为R ，
对于A ，2
2
2
121y x x x =++=+，定义域为R ，故A 相同； 对于B ，
222121y x x =
=+=+，定义域为R ，故B 相同；
对于C ，2
2
2121y x x =+=+，定义域为R ，故C 相同；
对于D ，()
()2
2111
x x y x ++=
+的定义域为(,0)
(0,)-∞+∞，与221y x =+的定义域不相同，
因此不是相同函数；
故选：D
【点睛】本题考查函数的概念，需掌握函数的三要素，属于基础题。

8.函数
23x y +=
( )
A. {
0x x <且32x ⎫
≠-⎬⎭
B. {}
0x x <
C. {}0x x >
D. {0x R x ∈≠且32x ⎫≠-⎬⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的定义域使式子有意义，只需230
0x x x +≠⎧⎨->⎩
即可求解。

【详解】要使函数
23x y +=
2300x x x +≠⎧⎨->⎩ ，即320
x x ⎧
≠-
⎪⎨⎪<⎩，
所以函数的定义域为{
0x x <且32x ⎫
≠-⎬⎭。

故选：A
【点睛】本题考查函数的定义域，需使式子有意义，属于基础题。

9.下列说法中，正确的是( ) A. 偶函数的图象一定与y 轴相交
B. 若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =
C. 既是奇函数又是偶函数的函数一定是()0,f x x R =∈
D. 图象过原点
增函数（或减函数）一定是奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇函数、偶函数的图像性质解决此题，即偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，且奇函数在0x =有意义时，则(0)0f =，据此逐个判断选项。

【详解】对于A 项，若定义域不包含0，则图像与y 轴不相交，故A 错； 对于B 项，若奇函数在0x =有意义，则(0)0f =，故B 正确； 对于C 项，若定义域不包含0，则图像不过原点，故C 错；
对于D 项，图像过原点的单调函数，不一定为奇函数，例如y =D 错；
故选：B
【点睛】本题考查奇函数和偶函数图像以及性质，属于基础题。

10.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是( ) A. y ＝3x ＋1 B. f(x)＝
1x
C. y ＝1－
1x
D. f(x)＝x 3
【答案】D 【解析】
y ＝3x ＋1不是奇函数，在定义域上是增函数；f(x)＝1
x
是奇函数，在定义域上不是增函数；y ＝1－1
x
不是奇函数，在定义域上不是增函数；f(x)＝x 3是奇函数，在定义域上是增函数；选D.
11.函数2
()48f x x x =--的定义域为[0,]a ，值域为[12,8]--，则a 的取值范围是（）
A. [2,4]
B. [4,6]
C. [2,6]
D. [0,4]
【答案】A 【解析】
【分析】
画出函数2
()48f x x x =--，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：
函数值域为[12,8]--，(0)(4)8,(2)12f f f ==-=- 则[2,4]a ∈ 故答案选A
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，利用图像可以简化运算，直观简洁.
12.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()20f =，若对任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，
()()1212
0f x f x x x ->-恒成立，则不等式()0xf x >的解集为( )
A. ()()202+-∞，，
B. ()()200,2-，
C. ()(),22,-∞-+∞
D. ()
(),20,2-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数为奇函数求出()20f -=，再将不等式()0xf x >分成两类讨论，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集。

【详解】任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，
()()1212
0f x f x x x ->-，
∴()f x 在(0,)+∞内是增函数，
又
()
f x 奇函数，且()20f =
()220()f f ∴-=-=，
由()0xf x >，则0()0(2)x f x f >⎧⎨
>=⎩ 或0
()0(2)
x f x f <⎧⎨<=-⎩
根据函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞内是单调递增，解不等式组可得2x >或2x <- 所以不等式的解集为()(),22,-∞-+∞
故选：C
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题。

第Ⅱ卷
二、填空题
13.设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________． 【答案】f (－3)>f (－π) 【解析】
由()()1212()[]0x x f x f x >－－ 得()f x 是R 上的单调递增函数，又
3(3)()f f ππ>∴>－－，－－ ．
14.已知53
()8f x ax bx cx =++-，且()10f d =，则()=f d -__________.
【答案】26- 【解析】 【分析】
负数的奇数次幂是其偶数次幂的相反数，所以当x 分别等于d 与d -时，53ax bx cx ++的值是相反数关系，即可整体代入求解。

【详解】
53()810f d ad bd cd =++-=，
则5318ad bd cd ++=，所以53
()18ad bd cd -++=-
所以5
3
5
3
(((8()()=)82))6f d d d d a b c ad bd cd ++-=-+-+--=--- 故答案为：26-
【点睛】此题主要考查对偶数与奇数次幂的掌握情况以及对整体代入的运用熟练程度，属于基本运算。

15.不等式22235
13134
x x x x --≥-+的解集为________________．
【答案】1
13x x ⎧<≤⎨⎩
或}49x <≤ 【解析】 【分析】
首先22235
13134
x x x x --≥-+化为2210903134x x x x -+≤-+，
从而222(3134)(109)0
31340x x x x x x ⎧-+-+≤⎨-+≠⎩
，采用“穿针引线”解高次不等式即可。

【详解】由2223513134x x x x --≥-+化为2210903134x x x x -+≤-+，即222
(3134)(109)031340
x x x x x x ⎧-+-+≤⎨-+≠⎩， 不等式组等价于(1)(9)(31)(4)0x x x x ----≤且(31)(4)0x x --≠
由下图可知，不等式的解集为1
13
x
x ⎧<≤⎨⎩或}49x <≤
故答案为：1
13
x
x ⎧<≤⎨⎩或}49x <≤ 【点睛】本题考查解分式不等式，在解分式不等式时需掌握住等价转化，当出现高次不等式时，利用“穿针引线”法。

16.设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]
0,2上单调递减，若(1)(1)f m f -<，则实数m 的取值范围是_______________.
【答案】[)(]1,02,3-⋃ 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性性质以及单调性的定义即可求解。

【详解】因为()f x 是定义在[]2,2-的偶函数，且()f x 在区间[]
0,2上单调递减， 所以()f x 在[)2,0-上单调递增，
由(1)(1)f m f -<，则212
11m m -≤-≤⎧⎨->⎩
解得10m -≤<或23m <≤
故实数m 的取值范围为[)(]1,02,3-⋃
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性在解不等式中的应用，属于中档题。

三．解答题
17.已知集合{}63A x x x =><-或，{}
3B x a x a =<<+，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.
【答案】(][),66,-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】 根据A 与B
的
并集为A ，得到B 为A 的子集，当B 为空集与B 不是空集分两种情况考虑，求
实数a 的取值范围即可。

【详解】由A B A ⋃=，则B A ⊆， 分两种情况考虑：
当B =∅时，则3a a >+，此时无解；
当B ≠∅时，则6a ≥或33a +≤-，即6a ≥或6a ≤- 所以实数a 的取值范围为(][),66,-∞-⋃+∞
【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题。

18.判断下列函数奇偶性：
（1）()f x =
（2）()f x =
【答案】（1）非奇非偶函数； （2）奇函数 ； 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性的定义进行判断即可 【详解】（1）由1010x x -≥⎧⎨-≥⎩解得1
1
x x ≥⎧⎨≤⎩，所以1x =，函数的定义域为{}1，定义域关于原点不
对称，
则()f x =
为非奇非偶函数。

（2）由240330
x x ⎧-≥⎪
⎨+-≠⎪⎩解得220x x -≤≤⎧⎨≠⎩ ，函数的定义域为[)
(]2,00,2-，定义域关于原点
对称，
由函数()f x =的定义域为[)
(]2,00,2-，故()f x ==
又()()f x f x x
-===--，所以函数为奇函数。

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键，注意要先求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称。

19.已知函数2
2
()2f x x ax a =--在区间[0,2]上的最小值为1-，求实数a 的值.
【答案】1a =-或a =
【解析】
【分析】 根据二次函数的性质，求出二次函数的对称轴x a =，然后分三种情况讨论：0a <；02a ≤≤；2a >，由二次函数的单调性找出最小值即可求解。

【详解】函数22()2f x x ax a =--的对称轴x a =
当0a <时，函数22
()2f x x ax a =--在[0,2]上单调递增，
所以2min ()(0)1f x f a ==-=-，即1a =-或1a =（舍去）； 当02a ≤≤时，函数22
()2f x x ax a =--在[]0,a 内单调递减，在(],2a 内单调递增，
所以222min ()()21f x f a a a a ==--=-，解的a =2a =-（舍去）； 当2a >时，函数22
()2f x x ax a =--在[0,2]内单调递减，
所以2min ()(2)441f x f a a ==--=-，解得5a =-或1a =，均舍去；
故实数1a =-或2
a = 【点睛】本题主要考查由二次函数的最值求参数值，此题属于“动轴定区间”，需采用分类讨论，属于中档题。

20.用函数单调性定义证明,求证：函数1()1f x x
=-
-在区间(),0-∞上是单调增函数 【答案】见详解
【解析】
【分析】
利用定义证明函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数即可。

【详解】证明：在(),0-∞上任取120x x <<， 则1212122112
1111()()(1)(1)x x f x f x x x x x x x --=-----=-=， 120x x <<，
120x x ∴>，120x x -<，
1212
0x x x x -∴<，即12())0(f x f x -<， 12()()f x f x ∴<，
∴函数1()1f x x
=--在区间(),0-∞上是单调增函数。

【点睛】本题考查了函数在某一区间上的单调性判定问题，是基础题。

21.函数()f x ，()1,1x ∈-为奇函数，且()()f a f a -+-<2110. 若()f x 是()1,1-上的减函数，求实数a 的取值范围.
【答案】(0,1)
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数把不等式化为2
(1)(1)f a f a -<-， 再利用()f x 是()1,1-上的减函数得2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩
解不等式组即可。

【详解】由()()f a f a -+-<2110，得()()f a f a -<--211，
因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(,)a -∈-2111时，有()()f a f a --=-2211
2(1)(1)f a f a ∴-<-，又()f x 是()1,1-上的减函数，
于是得22021111110011121
a a a a a a a a <<⎧-<-<⎧⎪⎪-<-<⇒<<<<⎨⎨⎪⎪->--<<⎩⎩，
所以实数a 的取值范围为(0,1)
【点睛】解抽象函数不等式时，利用函数的
单调性和奇偶性消去f ，同时不要忘记“定义域优先”。

22.若函数21()ax f x bx c
+=+是奇函数，(),,a b c N ∈,且(1)2f =，(2)3f < （1）求实数a ,b ,c 的值；
（2）判断函数()f x 在(,1]-∞-上的增减性,并证明.
【答案】（1）1,1,0a b c ===
（2）函数()f x 在(,1]-∞-上单调递增；证明见详解
【解析】
【分析】 （1）由()()f x f x -=-，求得0c ，即21()ax f x bx
+=，再有(1)2f =，(2)3f <，a N ∈，求得,a b 的值，从而得到a ,b ,c 的值。

（2）由（1）知，211()x f x x x x
+==+，()f x 在(,1]-∞-上单调递增，设121x x <≤-，则
由121212
1()()()(1)0f x f x x x x x -=--<，从而得到()f x 在(,1]-∞-上单调递增。

【详解】（1）由函数21()ax f x bx c
+=+是奇函数，则()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+ ∴0c ，即21()ax f x bx
+= 又(1)2f =，得
12a b
+=，所以12a b += 又因为(2)3f <，可得4132a b +<，即4131a a +<+，12a ∴-<<， a N ∈，0a ∴=或1
若0a =，则12
b N =∉（舍去） 1,1,0a b
c ∴===
（2）由（1）知，211()x f x x x x
+==+，函数()f x 在(,1]-∞-上单调递增。

用定义证明：设121x x <≤-， 则2112121212121212
111()()()()(1)x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+-+=-+=--， 因为121x x <≤-，即120x x -<，12110x x -
>， 12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <
故函数()f x 在(,1]-∞-上单调递增。

【点睛】本题主要考查利用函数为奇函数求参数值以及定义法证明函数的单调性，同时考查分式不等式的解法，属于基础题。