高考数学北京大一轮精准复习课件：2.4 指数与指数函数

a=(
2
)
4 3
=
2
2 3
,因为y=2x为单调递增函数,且
2
>
2
,所以a=
2
2 3
>
2
2 5
=b,
35
2
22
因为y= x3 在(0,+∞)上为单调递增函数,所以a=23 <33 =c,所以b<a<c.选A.
答案 A
考向二 指数型函数的图象和性质的应用
例2
已知函数f(x)=
(, x e|x2| , x
1,
1,
当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;
当x<1时,f(x)>e.
故f(x)的最小值为f(1)=e.
答案 e
考点清单
考向基础
考点 指数、指数函数的图象与性质
1.根式 (1)根式的概念
根式的概念 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数 当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两 个数互为相反数
符号表示 —
na
± n a(a>0)
备注 n>1且n∈N* 零的n次方根是零
(ii)负分数指数幂:
a
m n
=
1
m
an
=
n
1 am
(a>0,m,n∈N*,且n>1);
(iii)0的正分数指数幂等于⑤ 0 ,0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的性质 (i)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(ii)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(iii)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; (3)分层逐一求解函数的单调区间; (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).
例2 已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)
的最小值为
.
解析
f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=
在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小. (无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大)
考向突破 考向一 指数式值大小的比较
例1
已知a=(
2
)
4 3
,b=
2
2 5
,c=
1
93
,则
(
)
A.b<a<c B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
解析
3.指数函数的图象与性质
a>1 图象
0<a<1
定义域 值域 性质
⑥R ⑦ (0,+∞) 过定点⑧ (0,1) 当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是单调增函数
当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1 在(-∞,+∞)上是⑨ 单调减函数
4.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的 关系如图所示,其中0<c<d<1<a<b.
答案 B
方法2 指数(型)函数的图象与性质
1.指数型复合函数的图象 对于指数型复合函数的图象问题,一般从最基本的指数函数的图象入 手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.需特别注意底数a>1与0<a<1两 种不同情况. 2.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域与y=f(x)的定义域相同; (2)先确定f(x)的值域,再根据指数函数的单调性确定y=af(x)(a>0,且a≠1) 的值域. 3.与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤 (1)求复合函数的定义域;
3a,
x
1,
的值域为R,则实数a的取值范围
是
.
解析 当x≥1时,f(x)=2x-1≥1; 当x<1时, f(x)=(1-2a)x+3a.
∵函数f(x)=
(1 2x1
2a)x ,x 1
3a,
x
1,
的值域为R,
∴f(x)=(1-2a)x+3a在(-∞,1)上的值域需包含(-∞,1),
则
1 1
2a 2a
例1 下列各式比较大小正确的是 ( )
A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
解题导引
解析 A中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3, ∴1.72.5<1.73. B中,∵y=0.6x在R上是减函数,-1<2, ∴0.6-1>0.62. C中,∵(0.8)-1=1.25,y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2, ∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2. D中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,且0.3>0, ∴1.70.3>1.70=1, 又函数y=0.9x在R上是减函数,且3.1>0,∴0<0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
① a , n为奇数,
n
an
= |
a
|
② a (a ③ a (a
0), 0),
n为偶数;
( n a )n=④ a (注意a必须使 n a 有意义).
2.有理指数幂
(1)幂的有关概念
m
(i)正分数指数幂:a n = n am (a>0,m,n∈N*,且n>1);
0, 3a
1,
解得0≤a<
1 2
.
答案
0,
1 2
方法技巧
方法1 指数式的大小比较
指数式值大小比较的常见类型:同底不同指数,同指数不同底,底和指数 均不相同.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为相同指数或相同底 数后利用相应函数的单调性比较大小;(2)作差或作商法;(3)利用中间量 (0或1等)分段比较大小.