上甘岭区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

上甘岭区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个 2． 已知函数()cos()3
f x x π
=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =
的图象（ ）
A ．向右平移
2π个单位 B ．向左平移2π
个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23
π
个单位
3． 函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到 D ．向左右平移
个单位得到
4． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3
的系数为（ ）
A ．4320
B ．﹣4320
C ．20
D ．﹣20
5． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）
A ．π1492+
B ．π1482+
C ．π2492+
D ．π2482+
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.
7． 复数
的虚部为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣2i
C ．2
D ．2i
8． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （
）=（ ）
A ．2或0
B ．0
C ．﹣2或0
D ．﹣2或2
9． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
10．若实数x ，y 满足，则（x ﹣3）2+y 2
的最小值是（ ）
A ．
B ．8
C ．20
D ．2
11．已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k ﹣4，与垂直，k 的值为（ ）
A ．﹣6
B ．6
C ．3
D ．﹣3
12．下列命题中正确的是（ ）
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”
C ．“
”是“
”的充分不必要条件
D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是
“”
二、填空题
13．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________.
14．如图，△ABC 是直角三角形，∠
，此图形中有 个直角三角形．
15．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ A ．
1310
B ．3
C ．4 能力、数形结合的思想． 16．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
照此规律，第n 个等式为 ．
17．直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为 ． 18．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)
x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．
三、解答题
19．在等比数列{a n }中，a 2=3，a 5=81． （Ⅰ）求a n ；
（Ⅱ）设b n =log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
20．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集； （2）当[]01x ∈，时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．
21．已知（
+）n 展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数之和．
22．如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于E 点，F ，G 分别为AD ，BC 的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使得AC=．
（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）求二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值．
23．已知等差数列{a n}中，其前n项和S n=n2+c（其中c为常数），
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b1=1，{a n+b n}是公比为a2等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．
24．（本小题满分12分）
∆的内角,,
ABC
a b c，(sin,5sin5sin)
A B C所对的边分别为,,
=+，
m B A C
=--垂直.
n B C C A
(5sin6sin,sin sin)
（1）求sin A的值；
∆的面积S的最大值.
（2）若a=ABC
上甘岭区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：a ※b=12，a 、b ∈N *
，
若a 和b 一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a ，b ）有4个；
若a 和b 同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a ，b ）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B
2． 【答案】B
【解析】
试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛
⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数 ()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故选B.
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换. 3． 【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin （2x+），
y=sin2x ﹣cos2x=
sin （2x ﹣
）=
sin[2（x ﹣
）+
）]，
∴由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象向左平移个单位得到y=
sin （2x+
），
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
4． 【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣
+…+
﹣1，
∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7）， ∴a=6，
∴
展开式的通项为T r+1=
，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，
故选：B．.
5．【答案】A
【解析】解：因为每一纵列成等比数列，
所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．
第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，
所以y=，
第5行的第1、3个数分别为，．
所以z=．
所以x+y+z=++=1．
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．6．【答案】A
7．【答案】C
【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．
故选；C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），
∵f（+x）=f（﹣x），
可知函数的对称轴为x==，
根据三角函数的性质可知，
当x=时，函数取得最大值或者最小值．
∴f （
）=2或﹣2
故选D ．
9． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 10．【答案】A
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由图象得P （3，0）到平面区域的最短距离d min =
，
∴（x ﹣3）2+y 2
的最小值是：
．
故选：A ．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
11．【答案】B
【解析】解：∵ =（2+3）（k ﹣4）
=2k +（3k ﹣8）
﹣12
=0，
又∵
=0．∴2k ﹣12=0，k=6．
故选B
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
12．【答案】 D
【解析】解：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为假命题，故A 不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy ≠0，则x ≠0”，故B 不正确；
“”⇒“
+2k π，或，k ∈Z ”，
“”⇒“
”，
故“
”是“”的必要不充分条件，故C 不正确；
命题“∀x ∈R ，2x
＞0”的否定是“
”，故D 正确． 故选D ．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
二、填空题
13．【答案】6
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，9,2,2,S T n S T ===>；第2次运行后，
13,4,3,S T n S T ===>；第3次运行后，17,8,4,S T n S T ===>；第4次运行后，
21,16,5,S T n S T ===>；第5次运行后，25,32,6,S T n S T ===<，此时跳出循环，输出结果6n =程
序结束．
14．【答案】 4
【解析】解：由PA ⊥平面ABC ，则△PAC ，△PAB 是直角三角形，又由已知△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°所以BC ⊥AC ，从而易得BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以△PCB 也是直角三角形，
所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC ，△PAB ，△ABC ，△PCB ．
故答案为：4
【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．
15．【答案】D 【
解
析】
16．【答案】n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．
【解析】解：观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2
左边的式子的项数与右边的底数一致，
每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，
故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
17．【答案】．
【解析】解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），
∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，
即d==，
整理得a2+2b2=2，
则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d==≥，
∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．
18．【答案】2- 【解析】1111]
试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=- 考点：利用函数性质求值
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 2=3，a 5=81，得
，解得
．
∴；
（Ⅱ）∵，b n =log 3a n ，
∴
． 则数列{b n }的首项为b 1=0，
由b n ﹣b n ﹣1=n ﹣1﹣（n ﹣2）=1（n ≥2）， 可知数列{b n }是以1为公差的等差数列．
∴
．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，是基础的计算题．
20．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，． 【解析】
试题分析：（1）由于12
2a -==⇒()1
4127222x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，；（2）由()()27
41442
27lg241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<．设()44lg lg 128a g x x a =+，
原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<<⎨<⎪⎩
⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
．
考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数与
不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思想
和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，． 21．【答案】
【解析】解：（1）对（+）n ，所有二项式系数和为2n
=512，
解得n=9；
设T r+1为常数项，则：
T r+1=C 9r =C 9r 2r
，
由
﹣r=0，得r=3，
∴常数项为：C 9323
=672； （2）令x=1，得（1+2）9=39
．
【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．
22．【答案】
【解析】（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，
∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=，
∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，
∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，
又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；
（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，
则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，，）G（﹣，1，），
平面CDG的一个法向量=（0，0，1），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）
∴，即，令z=1，得x=3，y=，
故平面FDG的一个法向量=（3，，1），
∴cos==，
∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣．
【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
因为等差数列{a n}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∴a1=1，d=2，a n=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12
分）
【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．
24．【答案】（1）4
5
；（2）4． 【解析】
试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sin ,sin ,sin A B C 的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得cos A ，由同角关系得sin A ；（2）由于已知边及角A ，因此在（1）中等式2
2
2
65bc b c a +-=
中由基本不等式可求得10bc ≤，从而由公式 1
sin 2
S bc A =可得面积的最大值．
试题解析：（1）∵(sin ,5sin 5sin )m B A C =+，(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--垂直， ∴2
2
2
5sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∙=-+-=，
考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．111]。