启东中学高考数学全真模拟冲刺试卷和答案

2007年非常高考全真模拟冲刺试卷
数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．已知集合2{,0},{30,}M a N x x x x Z ==-<∈，若M N φ⋂≠，则a 等于 （ ）
A ． 1 B. 2 C. 1或2 D 8
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，
那么函数解析式为2
x y =，值域为{
}4,1的“同族函数”共有 （ ）
A ．7个
B ．8个
C ．9个
D ．10个
3．数列{}n a 中，32a =，71a =，且数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
是等差数列，则11a 等于 ( )
A ．25-
B ．12
C ．2
3
D ．5 4．把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量)0(),(>-=m m m a 的方向平移后，所得的图
象关于y 轴对称，则m 的最小值是 （ ） A ．
6
π B ．
3π C ．
3
2π D ．
6
5π 5、Ｏ是平面上一定点，Ａ、Ｂ、Ｃ是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满
点
[),,0+∞∈+
+=λλ，则Ｐ点的轨迹一定通过ABC ∆的
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心 （ ）
6．过点)0,4(-作直线l 与圆020422
2
=--++y x y x 交于A 、B 两点，如果8||=AB ，
则
（ ）
A ．l 的方程为04020125=+=++x y x 或;
B ．l 的方程为04020125=+=+-x y x 或;
C ．l 的方程为020125=++y x ;
D ．l 的方程为020125=+-y x ;
7．F 1、F 2是双曲线
120
162
2=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为 （ ）
A ．1
B ．17
C ．1或17
D ．6
8．已知复数1z =a+i ，z 2=1+a 2 i ，若
1
2
z z 是实数，则实数a 的值等于 （ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2
9．如图正六边形ABCDEF 中，AC ∥y 轴．从六个顶点中任取三点，
使这三点能确定一条形如y=ax 2+bx+c (a ≠0)的抛物线的概率是 （ ）
A ．
51 B ．52 C ．53 D ．5
4 10．条件中能使命题“a//b 且b//c ⇒a//c ”为真命题的条件的个
数是 （ ）
① a ，b ，c 都表示直线； ② a ，b ，c 中有两个表示直线，另一个表示平面； ③ a ，b ，c 都表示平面； ④ a ，b ，c 中有两个表示平面，另一个表示直线； A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
11．如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数
()y f x =的部分图像，则()f x 可能是 （ ）
A ．sin x x
B ．cos x x
C ．2
cos x x D ．2
sin x x
12．一机器猫每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器猫以前进3步，然后再后退2步的规律移动。

如果将此机器猫放在
数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动。

令P （n ）表示第n 秒时机器猫所在位置的坐标，且P （0）=0，则下列结论中错误的是 （ ）
A ．P （3）=3
B ．P （5）=1
C ．P （101）=21
D ．P （101）> P （104）
第Ⅱ卷（非选择题共120分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
13．在平面直角坐标系中，x 轴的正半轴上有2006个点，y 轴的正半轴上有2007个点，这
4013个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有______个.（用式子作答） 14．若不等式ax x x >-24的解集为{}
40≤<x x ，则实数的取值范围是______________ 15．若()
()()()()11
112
2109
21x a 1x a 1x a a 2x 1x -++-+-+=-+ ，则
()()=+++-+++2104221131a 10a 4a 2a 11a 3a ______(用数字作答).
16．对于直角坐标平面内的任意两点）（、2211,),(y x B y x A ，定义它们之间的一种“距离”：
2121y y x x AB -+-=。

给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AB CB AC =+②在△ABC 中，若∠C=900，则2
2
2
AB CB AC =+③在△ABC 中
AB CB AC >+。

其中真命题的是______________
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题12分）在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三条边分别是a ，b ，c ，且满足b 2 =
ac ．
(1)求角B 取值范围； (2)求函数B
B B
y cos sin 2sin 1++=
的取值范围．
18．（本题12分）小张有一只放有a 个红球，b 个黄球，c 个白球的箱子，且a+b+c =6 (a ，b ，c ∈N)，小刘有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜. (1) 用a 、b 、c 表示小张胜的概率；
(2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a 、b 、c 的值.
19．（本题12分）设函数,)(2
c bx ax x f ++=其中Z c N b N a ∈∈∈+,,.
（1） 若a b 2>,且函数))((sin R x x f ∈的最大值为2,最小值为4-,求)(x f 的解析式； （2）在（1）的条件下设函数27)()(-+-=x x f x g 在[]n m ,上的值域是[]4,5-，试求
22n m +的取值范围.
20．（本题12分）直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，且
60ABC ∠=，侧棱AA 1长等于3a ，O 为底面ABCD 对角线的交点.
（1）求证：OA 1∥平面B 1CD 1；
（2）求异面直线AC 与A 1B 所成的角；
（3）在棱1AA 上取一点F ，问AF 为何值时，C 1F ⊥平面BDF ？ 21．（本题12分）已知双曲线M ：x 2－y 2=1，直线l 与双曲线M 垂直，且依次交直线y =x 、双曲线M 、直线y =－x 于A 、B 、C 、D 为坐标原点．
(1) 若AB BC CD ==，求△AOD 的面积；
(2) 若△BOC 的面积等于△AOD 面积的13
，求证AB BC CD ==．
22．（本题14分）已知数列}{n a 满足n a ＞0，且对一切n ∈N + ，有∑n
i=1
a 3i =S 2n
，其中S n =∑n
i=1
a i ，
(1) 求证：对一切n ∈N +，有a 2
n +1 -a n+1=2S n ；
(2) 求数列}{n a 的通项公式；
(3) 求证：∑n
k=1 k
a 2k
＜3．
数学答案
一、选择题
1、答案C 。

由集合N 中的不等式得0<x<3，又由于Z x ∈，故}{
2,1=N ，所以a=1或2 2、答案C 。

分别令x 2=1和4得x=21±±和。

要使得值域为{
}4,1，定义域必含1±中的至
少一个和2±中的至少一个。

所以组合起来有如下9种：{
}2,1，{}2,1-{}2,1-{}2,1--{}2,1,1-{}2,1,1--{}2,2,1-{}2,2,1--{}2,2,1,1--
3、答案B 。

数列11+n a 的公差为24
13711
1137=-+-
+a a ，所以24141111711⨯++=+a a =32
，
因此11a =
12
4、答案C 。

x x y sin 3cos -==)3
cos(2π
+x ，按a 平移得m m x y ++
+=)3
cos(2π
，
令3
π
+
m =πk ，得3
π
π-
=k m ，当k=1时m 取得最小正值
3
2π。

5、答案B 。

由结
构
想到向量的数量积，原式即
为
AP =λ，等式两边同时点乘BC
，
得
0=-=∙BC AP λ，所以P 过ABC ∆的垂心。

6、答案A 。

由22)2
(l
R d -=得圆心到直线l 的距离为3，再由点到直线的距离公式得直
线l 的斜率是12
5
-
，得到一个解，说明可能存在的另一条直线的斜率不存在，故去验证得A 答案。

7、答案D 。

由于双曲线中a+c=4+6=10>9，所以点P 只能在靠近焦点F 1的那一支上，故
17942212=+⨯=+=PF a PF
8、答案B 。

()()
1
a i
1a a a z z 2
3212+++-=，故a 3+1=0，得a =－1. 9、答案 C 。

由二次函数的性质知三点可确定一条抛物线，但两点连线不能与纵轴平行，
故其概率为5342C C 3
6
3
6=⨯- 10、答案B 。

①由公理4可得，③是两平面平行的判定定理，②和④可通过一一验证来否定。

11、答案A 。

由图知此函数是偶函数，故排除B 与D ，又函数图象落在x y <区域内，所以选A 。

12、答案D 。

由于“机器猫以前进3步，然后再后退2步的规律移动”，因此可以认为机器猫的运动以5为周期向前前进1步。

易推A 与B 成立，101除以5得20余1，所以P （101）
=21，而104除以5得20余4，故P （104）=22 > P （101）
二、填空题：
13、答案为
C C 2
200722006⋅。

构造凸四边形，凸四边形对角线的交点在凸四边形内，故最多
有
C C 2
20072
2006⋅个点。

14、答案为0<a 。

令214x x y -=
，它表示以（2，0）为圆心、2为半径的上半个圆；
令ax y =2，它表示一条过原点的直线。

现要使得21y y >在0<x ≤4成立，即在0<x ≤4时直线落在半圆下方，故斜率0<a 。

15、答案为0。

两边求导，再分别把x 赋值x=2，x=0，最后把所得两式相乘即得. 16、答案为①。

设）（）、（、332211,,),(y x C y x B y x A ，利用定义知①成立；②③验证可以先这样建系：以
C
为原点，CA 为x 轴的正向建系，则
22
2
2
22
)(,,B A B A y x AB y CB
x AC +===，故②不成立，③不成立。

三、解答题：
17．(1)由b 2=ac 和由余弦定理，得
ac
b c a B 2cos 2
22-+= ……………………………2分
≥
2
1
22=-ac ac ac ． ……………………………4分
又∵B ∈(0，π)， ∴ 0＜B ≤
3
π
． ……………………………6分
(2)B B B
y cos sin 2sin 1++==B
B B B cos sin )cos (sin 2++
=)4
sin(2sin
cos π
+=+B B B ， ……………………………8分
又 0＜B ≤3π，∴
4π
＜B +4
π≤127π．……………………………10分 ∴ 2)4
sin(21≤+
<
π
B ，即原函数的值域是(1，2)．………………12分
18、解：(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球)
=
636a ⨯ + 626b ⨯+ 616c ⨯=36
c b 2a 3++ ……………………………5分 (2) 设小张的得分为随机变量ξ，则
P(ξ=3)= 616c ⨯，P(ξ=2)= 626b ⨯，P(ξ=1)= 6
3
6a ⨯，
A
B
C
D
O
F
B 1
C 1
D 1
A 1
P(ξ=0)=1一P(小张胜)=1一
36
c
b 2a 3++，……………………………9分
∴E ξ=3×616c ⨯+2×626b ⨯+1×636a ⨯+0×(1一36c
b 2a 3++)
= ()36
2136336343b b c b a c b a +=+++=++
∵ a ，b ，c ∈N ，a+b+c=6，∴b=6，此时a=c=0，
∴当b=6时，E ξ=
3
2
61213621=+=+b ，此时a=c=0，b=6…………………12分 19．解：（1）因为 224)2(sin )(sin a
b
c a b a a x f -++=
又 a b 2>，所以 ,12-<-a
b
因为 1sinx 1 ,0≤≤->a ，…………………2分
所以 当1sin =x 时，2)(sin max =++=c b a x f ，
当1sin -=x 时，4)(sin min -=+-=c b a x f ； …………………4分 解得：2,1,,2,3-==∴∈<=+c a N a b a b
所以 23)(2
-+=x x x f ； …………………6分 （2） 因为44)2()(2
≤+--=x x g
又5)5(,5)1(-=-=-f f …………………8分
因为 当∈x []n m ,时，值域为[]4,5-.
所以 521≤≤-=n m 且或521=≤≤-n m 且, …………………10分 所以 29252652222≤+≤≤+≤n m n m 或,
所以 29522≤+≤n m . …………………12分
20．（方法一）(1) 连A 1C 1，设其与B 1D 1交于点O 1.
∵A 1O 1//=
OC , ∴四边形A 1O 1OC 为平行四边形， ∴OA 1//O 1C , 1O C ⊂平面B 1CD 1, 1OA ⊄平面B 1CD 1， ∴OA 1∥平面B 1CD 1.…………………………3分
(2) ∵A 1C 1//AC ，∴11C A B ∠就是异面直线AC 与
A 1
B 所成的
角或其补角.
由题意得11
11,,AC a A B
C B ==
根据余弦定理得 222
11cos BA C ∠=
=
……………………6分 故异面直线AC 与A 1B 所成的角为…………………………………7分 (3) ∵ABCD 是菱形，∴.BD AC ⊥ 又1,AA BO ⊥ ∴BD ⊥平面11AA C C .
B ∵1
C F ⊂平面11AA C C ，∴1.B
D C F ⊥……………………………………………9分
故C 1F ⊥平面BOF ⇔ 1.C F OF ⊥ ∴11
tan tan AC F AFO ∠=∠.……………10分 设AF x =，则13.A F a x =- ∴32,
a
a x x a
-= 即22
260,x ax
a -+=
解得.x =
故当AF a =时，C 1F ⊥平面BOF .………………………12分
（方法二） 以O 为原点，OC 、OD 所在直线分别为
x 轴、y
轴，则O (0, 0, 0), (,0,0)2a C ，(,0,0)2
a A -，
11(0,,
0),(0,0,3),(,0,3)2a B O a A
a -
，1(0,,3)B a ， 11(0,
,3),(0,,0),(,0,3)2
a D a D C a .……………3分 (1) 1(,0,0)(0,0,3)(,0,3),22
a a O C a a =--=-
∴1111
,//,OA OC OA OC =-∴ 1O C ⊂平面11B CD ，1OA ⊂平面11B CD ， ∴OA 1∥平面B 1CD 1.……………………………………………………………………5分
（2）(,0,
0)(,0,0)(,
0,0)22
a a AC a =--=， 1(0,,0)(,0,3)(,,3)22a a A B a a =
--=--， 于是2
111cos ,a
AC A B AC A B AC A B a a ⋅〈〉=
==⋅ 故异面直线AC 与A 1B 所成的角为……………………………………8分 (3) 设(,0,)2a F z -为1AA 上任意一点，则1(,0,)(,0,3)(,0,3)22
a a C F z a a z a =--=--.
∵10C F BD ⋅=
，于是C 1F ⊥平面BOF ⇔2
10(3)
02
.a C F OF z z a ⋅=⇔+-= 解得z =
. 即AF =时，C 1F ⊥平面BOF .………………………12分 21．（1）设2
2
:1,l y kx b x y =+-=代入
得2
2
2
(1)210.(1)k x bkx b ----=…………………………………………2分
显然22221,
44(1)(1)0k b k b k ≠±∆=++->,
即22
(1)0b k +->.
设112212(,),(,),,(1),B x y C x y x x 则是方程的两个根有
2121222
(1)2,11.b bk x x x x k k
-++==--………………………………………………4分 设3344(,),(,)A x y D x y 由34,,;,
,
11y kx b y kx b b b x x y x y x k
k
=+=+=
=-
==--+⎧⎧⎨
⎨
⎩⎩得由得。

AB BC CD ==, 所以123413
x x x x -=-。

………………………………6分
所以
22131b k =-, 整理，得 229(1)8b k =-.
220, 1.2
,1b b k OA OD k
>∴>==-又
, 90,AOD ∠=︒
2
2
19
.2
81AOB b S OA OD k
∆∴=
⋅=
=-…………………………………………………8分 （2）设,,BC P AD Q 的中点为的中点则P x 3412
22,2211Q x x x x bk bk x k k
++=
===--, ,,,,又都在直线上所以重合.Q P x x P Q P Q =……………………………………10分
AP DP ∴=, AP BP DP CP ∴-=-, AB CD ∴=.
又11,33BQC AOD S S BC AD ∆∆=∴=, 2,3
.AB CD AD AB BC CD ∴+=∴==…12分
22． (1) 由∑n
i=1
3
i a =S n 2， (1)
得∑n ＋1i=1
3
i a =S n ＋12， (2) …………………2分
(2)-(1)，得2
2131n n n S S a -=++=(S n +1+S n )(S n +1-S n )=(2 S n +a n +1) a n +1．
∵ a n +1 ＞0，∴a n ＋12-1n a +=2S n ． …………………4分 (2)由a n ＋12-1n a +=2S n ，及a n 2-a n =2S n -1 (n ≥2)， 两式相减，得(a n +1+ a n )( a n +1-a n )= a n +1+ a n ．
∵a n +1+ a n ＞0，∴a n +1-a n =1(n ≥2) …………………6分
当n=1，2时，易得a 1=1，a 2=2，∴a n +1 - a n =1(n ≥1)．…………………8分 ∴{ a n }成等差数列，首项a 1=1，公差d=1，故a n =n ． …………………9分 (3)∑n
k=1
2
k a =∑n
k=1
＜1＋∑n
k=2
1
(k －1)k (k ＋1)
＜１＋∑n
k=2
2
(k －1)(k ＋1) ( k ＋1 ＋
k －1 )
=21n
k =+
=1＋ ∑n
k=2
(
1(k －
1) - 1(k ＋
1) ) =1＋1
- 1(n ＋1) ＜2＜3．
…………………14分。