2019-2020学年武汉市名校数学高二第二学期期末统考试题含解析

2019-2020学年武汉市名校数学高二第二学期期末统考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知函数log (8)a y ax =-(其中0a >，1a ≠)在区间[1,4]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1
(0,)2
C ．1(,1)2
D ．(1,2)
2．曲线1y x x =
-上一点74,4P ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
处的切线方程是（ ）．
A ．51680x y ++=
B ．51680x y -+=
C ．51680x y +-=
D ．51680x y --=
3．由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2
2
16x y +≤，2
2
(2)4x y +-≥，2
2
(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A ．121
2
V V =
B ．1223
V V =
C ．12V V =
D ．122V V =
4．复数2)(1z i i =+(i 为虚数单位)等于（） A ．2
B ．2-
C ．2i
D ．2i -
5．过点(2,0)-且斜率为
23
的直线与抛物线C ：2
4y x =交于M ，N 两点，若C 的焦点为F ，则FM FN ⋅=u u u u v u u u v
（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．设k 1111S k 1k 2k 32k
=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1
S 2k 1+
+
B ．()k 11
S 2k 12k 1+
+++ C ．()
k 11
S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11
S 2k 12k 1
+
-++
7．函数()24
41
2x f x x -+=的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．5(12)(2)x x --的展开式中，3x 的系数是（ ） A ．160
B ．-120
C ．40
D ．-200
9．已知集合A ＝{x ｜x ＜1}，B ＝{x ｜3x ＜1}，则A∩B＝（ ） A ．{x ｜x ＜0}
B ．（x ｜x ＞0}
C ．{x ｜x ＞1}
D ．{x ｜x ＜1}
10．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ） A ．平面内的三条直线，若
，则
.类比推出：空间中的三条直线
，若
，
则
B ．平面内的三条直线，若
，则
.类比推出：空间中的三条向量
，若
，
则
C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面
体的棱长的比为，则它们的体积比为
D ．若，则复数
.类比推理：“若，则
”
11．已知等式 ，
定义映射，则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若
2131ai
i i
+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知x 、y 满足组合数方程21717x y
C C =，则xy 的最大值是_____________.
14．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．
15．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是______．
16．已知“x m ≥”是“1
24
x
>
”的充分不必要条件，且m ∈Z ，则m 的最小值是_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知椭圆2222:1x y C a b += ()0a b >> 的离心率为2
2
，其中左焦点()2,0F -.
（1）求出椭圆C 的方程；
（2）若直线y x m =+与曲线C 交于不同的,A B 两点，且线段AB 的中点M 在曲线2
22x y +=上，求m
的值.
18．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点.
()1求证：平面ACG ⊥平面BCE ； ()2若3AB BC =
，求二面角B CA G --的余弦值.
19．（6分）如图，圆柱的轴截面是11ABB A ，D 为下底面的圆心，1C C 是母线，12AC BC CC ===.
（1）证明：1//AC 平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.
20．（6分）已知函数2()(2)1x x
f x te t e =++-，t ∈R .
（Ⅰ）当1t =-时，求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）当0t >时，若函数()()41x
g x f x e x =--+在R 上有唯一零点，求t 的值 21．（6分）已知复数()3z bi b R =+∈，且()13i z +⋅为纯虚数，求
1z
i
+.（其中i 为虚数单位） 22．（8分）我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450)，[450,550)，[550,650)金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.
（1）求m ，n 值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？ 高消费群 非高消费群 合计 男 女 10 50 合计
附：22
()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
()20P k k …
0.10
0.05
0.010
0.005
0k K0
2.706
3.841 6.635 7.879
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
分类讨论a 的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a 的范围． 【详解】
解：函数y ＝log a （8﹣ax ）（其中a ＞0，a ≠1）在区间[1，4]上单调递减， 当a ＞1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减且t ＞0， 故8﹣4a ＞0，求得1＜a ＜1．
当0＜a ＜1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减，
可得函数y ＝log a （8﹣ax ）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件． 综上，实数a 的取值范围为（1，1）， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题． 2．A 【解析】 【分析】
求导利用导数的几何意义求出曲线1y x =-74,4P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭处的切线斜率,再用点斜式写出方程即
可. 【详解】 由题
21'y x =-
.故4215
'|416
x y ==-=-.
故曲线1y x =-74,4P ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭处的切线方程是()754416y x +=--. 化简得51680x y ++=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题. 3．C 【解析】
【分析】
由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等． 【详解】
解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，
用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-，
22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-
12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】
由复数的乘法运算法则求解. 【详解】
()2
12 2.z i i i i =+==-g 故选B ．
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，属于基础题. 5．D 【解析】
分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由点斜式求出直线方程，与抛物线方程联立求出,M N 的坐标，利用数量积的坐标表示可得结果. 详解：抛物线2
:4C y x =的焦点为()1,0F ，
过点()2,0-且斜率为
2
3
的直线为324y x =+， 联立直线与抛物线2
:4C y x =，
消去x 可得，y y -+=2
680，
解得122,4y y ==，不仿()()1,2,4,4M N ，
()()0,2,3,4FM FN ==u u u u v u u u v
，
则()()0,23,48FM FN ⋅=⋅=u u u u r u u u r
，故选D.
点睛：本题考查抛物线的简单性质的应用，平面向量的数量积的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 6．C 【解析】
分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：
()()()()11111
111213
21k S k k k k +=
+++++++++++L
()
1111
23421k k k k =
++++++++L ()
111111
23422121k k k k k k =
+++++++++++L ()11111111
1234221211k k k k k k k k =
+++++++-+++++++L ()1111111
123422121k k k k k k k =
++++++-++++++L ()
11
2121k S k k =+
-++. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k+1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D 【解析】 【分析】
利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 【详解】
函数24
41
()2x f x x
-+=是偶函数，排除选项B ，当x=2时，f （2）=1532-＜0，对应点在第四象限，排除A ，C ； 故选D ． 【点睛】
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力． 8．D 【解析】 【分析】
将已知多项式展开,将求展开式中3x 的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数;利用二项展开式的通项公式求出通项,令通项中的r 分别取32，求出二项式的含3x 和含2x 的系数． 【详解】
555(12)(2)2(12)(12)x x x x x --=---
5(12)x -Q 的展开式的通项为155(2)(2)r r r r r r T C x C x +=-=-，
令3r =得5
(12)x -展开式中3x 的项的系数是35880C -=-, 令2r =得5
(12)x -展开式中2x 的项的系数是25440C =,
555(12)(2)2(12)(12)x x x x x ∴--=---的展开式中3x 的项的系数是2(80)40200⨯--=-.
故选:D . 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,难度较易. 9．A 【解析】 【分析】
分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】
∵集合A ＝{x|x ＜1}，B ＝{x|3x ＜1}＝{x|x ＜0}， ∴A ∩B ＝{x|x ＜0}． 故选：A ． 【点睛】
本题考查交集的求法及指数不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．
10．D
【解析】
【分析】
对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案
【详解】
对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误
对于，若，则若，则不正确，故错误
对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误
对于，在有理数中，由可得，，解得
，故正确
综上所述，故选
【点睛】
本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．
11．C
【解析】
试题分析：
本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简．解：比较等式两边x3的系数，得4=4+b1，则b1=1，故排除A，D；再比较等式两边的常数项，有1=1+b1+b2+b3+b4，∴b1+b2+b3+b4=1．故排除B故应选C
考点：二项式定理
点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型．
12．A
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数2
1
ai
i
+
+
，然后利用复数相
等的性质列方程求解即可.
详解：因为
()()
()()
2i1i 2i
1i1i1i
a
a+-+
=
++-
()()22i 2
a a ++-=
13i =--，
所以212
232
a
a +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，
解得4a =-，故选A.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．128 【解析】 【分析】
由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论. 【详解】
x Q 、y 满足组合数方程21717x y
C C =，()208y x
x ∴=≤≤或217x y +=，
当2y x =时，则[]2
20,128xy x =∈；当217x y +=时，2
2
2172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128. 故答案为：128. 【点睛】
本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 14．283
π
-
． 【解析】
试题分析：由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则：
，211212333
S Sh ππ=
=⨯⨯=圆锥． 得体积为：283
π-
考点：三视图与几何体的体积． 15．0.768
【解析】 【分析】
至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．分别求解后根据互斥事件的概率加法公式求解即可． 【详解】
至少连续2天预报准确包含3种情况： ①三天都预报准确，其概率为30.80.512=；
②第一二天预报准确，第三天预报不准确，其概率为20.80.20.128⨯=； ③第一天预报不准确，第二三天预报准确，其概率为20.20.80.128⨯=． ∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是
0.5120.1280.1280.768P =++=．
即所求概率为0.768． 【点睛】
本题考查独立事件同时发生的概率的求法和互斥事件的概率，解答类似问题时首先要分清概率的类型，然后在选择相应的公式求解．某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化． 16．1- 【解析】 【分析】
先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围. 【详解】
1
224
x x >
⇒>-，则由题意得2m >-，所以m 能取的最小整数是1-． 【点睛】
本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）22
184
x y +=（2）32m =或3m =-
【解析】 【分析】
（1）根据离心率和焦点坐标求出,a b ，从而得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出M 点横坐标，代入直线得到M 坐标；再将M 代入曲线方程，从而求得m . 【详解】
（1
）由题意得：
2
c a =
，2c =
解得：a =2b =
所以椭圆C 的方程为：22
184
x y +=
（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y
由22
184x y y x m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得2234280x mx m ++-= 由29680m ∆=->
，解得：m -<<所以120223x x m x +=
=-，003
m
y x m =+= 因为点()00,M x y 在曲线2
22x y +=上
所以2
22233m m ⎛⎫-+⨯= ⎪
⎝⎭
解得：3
2
m =或3m =- 【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，关键是能够通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来，从而利用点在曲线上构造方程，求得结果. 18．()1证明见解析；()
27
. 【解析】 【分析】
()1推出CB AB ⊥，从而CB ⊥平面ABEF ，进而得出CB AG ⊥，再得出AG BE ⊥，从而AG ⊥平面
BCE ，由此能证明平面ACG ⊥平面BCE ；
()2以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B CA G --的余弦值.
【详解】
解：()1证明：Q 平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥， 平面ABCD I 平面ABEF AB =.
∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥.
在菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，可知ABE △为等边三角形，G 为BE 中点，
∴AG BE ⊥.
Q BE CB B =I ，∴AG ⊥平面BCE .
Q AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .
()2由()1知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG ，AF ，AD 两两垂直，
以A 为原点，如图建立空间直角坐标系. 设2AB =，则23
BC =
，()0,0,0A ，
(
)
3,0,0G ，233,1,C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭
，(
)
3,1,0B -.
设(),,m x y z =u r
为平面ABC 的法向量，
由00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 可得302330x y x y z ⎧-=⎪⎨-+
=⎪⎩
， 取()1,3,0m =u r ，同理可求平面ACG 的法向量()
0,2,3n =r
，
∴2321
cos ,27
m n m n m n ⋅===⨯u r r
u r r u r r ，
即二面角B CA G --的余弦值等于
21
7
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）4
3
. 【解析】 【分析】
（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD ，利用三角形中位线定理证明1//OD AC ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用面面垂直的性质证明CD ⊥平面11ABB A ，可得点C 到平面11A DB 的距离为CD ，由1111111
3
A CD
B
C A DB A DB V V S C
D --∆==⨯，结合棱锥的体积公式可得结果. 【详解】
（1）
如图，连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .
Q 四边形11BCC B 是矩形，O ∴是1BC 的中点.
∴点D 为AB 的中点，1//OD AC ∴.
又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，1//AC ∴平面1B CD . （2）AC BC =Q ，AD BD =，CD AB ∴⊥.
在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =，CD \^平面11ABB A ，
∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin
24
CD AC π
==.
1111111
3
A CD
B
C A DB A DB V V S C
D --∆∴==⨯
111111422223263
A B AA CD =⨯⨯⨯⨯=⨯=. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理、以及棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
20．（Ⅰ）()f x 的单调递增区间是(,ln 2)-∞-，单调递减区间是(ln 2,)-+∞.极大值是3
4
-，无极小值.（Ⅱ）1 【解析】 【分析】
（Ⅰ）把1t =-代入2()(2)1x
x f x te
t e =++-，令()0f x '=，求出极值点，再求出()f x 的单调区间，确
定函数的极值；（Ⅱ）函数()()41x
g x f x e x =--+在R 上有唯一零点，等价于()g x 的极小值等于0，列出等式，可求得t. 【详解】
解：（Ⅰ）当1t =-时，2()1x
x f x e
e =-+-，
则()2()2e
e e 12e x
x x x f x '=-+=-，
令()0f x '=，得ln2x =-，
∴()f x 的单调递增区间是(,ln 2)-∞-，单调递减区间是(ln 2,)-+∞. ∴()f x 的极大值是3
(ln 2)4
f -=-
，无极小值. （Ⅱ）当0t >时，()()41x
g x f x e x =--+2e (2)e x
x t t x =+--，
由2()2e
(2)e 1x
x g x t t '=+--()()e 12e 10x x
t =-+=，得ln x t =-，
∴()g x 在(,ln )t -∞-上单调递减，在(ln ,)t -+∞上单调递增， ∴()g x 的极小值是(ln )g t -，∴只要(ln )0g t -=，即1ln 10t t
-+=， 令1()ln 1F t t t =-+，则2
11
()0F t t t '=+>，∴()F t 在(0,)+∞上单调递增. ∵(1)0F =， ∴t 的值是1. 【点睛】
本题主要考查利用导函数求增减区间和极值；以及根据函数零点的个数，确定参数的取值，数形结合方法的应用是解决本题的关键.
21【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义出复数z ，再代入目标式子利用复数的运算法则、模的计算公式即可得到答案． 【详解】
复数3i()z b b =+∈R ，且(1)3i z +⋅为纯虚数．
即(13)(3)33(9)i bi b b i +⋅+=-++为纯虚数，330b ∴-=，90b +≠， 解得1b =．
3z i ∴=+．
∴
3(3)(1)42211(1)(1)2
z i i i i i i i i i ++--====-+++-，
|
||2|1z
i i
∴=-=+ 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查对概念的理解、考查基本运算求解能力，
属于基础题．
22．（1）0.0025,0.0035m n ==，470x =（2）没有90%的把握 【解析】
分析：（1）由题意知 ()1000.6m n +=且20.0015m n =+，得,m n ，用每个矩形的中点值乘以面积求和可得平均值；
（2）由题知数据完善2×2列联表，计算2K ，查表下结论即可. 详解：（1）由题意知 ()1000.6m n +=且20.0015m n =+ 解得0.0025,0.0035m n == 所求平均数为：
3000.154000.355000.256000.157000.10470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)
（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：
根据上表数据代入公式可得()2
210015403510100
1.33
2.70625755050
75
K ⨯⨯-⨯=
=
≈<⨯⨯⨯ 所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握
情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式1122·
··n n x x p x p x p =+++计算.其中n x 代表第n 个矩形的横边的中点对应的数，n p 代表第n 个矩形的面积.。