高中数学 第一章 抛体运动 第2讲 运动的合成与分解学案 粤教版必修2

第2讲运动的合成与分解
[目标定位] 1.理解运动的独立性、合运动与分运动.2.掌握运动的合成与分解的方法——平行四边形定则.3.会用平行四边形定则分析速度、位移的合成与分解问题.
一、分运动与合运动
如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的____________，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的__________，这两个运动叫做这一实际运动的__________.
二、运动的独立性
一个物体同时参与两个运动，其中的任意一个分运动并不因为有其他分运动而有所改变，即两个分运动________________________，这就是运动的独立性.
三、运动的合成与分解
1.定义
(1)运动的合成：已知分运动求__________.
(2)运动的分解：已知合运动求__________.
2.法则：遵循矢量运算法则——____________________.
3.举例：两个分运动互相垂直时，请分别作出s1、s2的合位移，v1、v2的合速度.(如图1所示)
图1
想一想在满足平行四边形定则的前提下，可以将物体的速度任意分解吗？
一、对分运动与合运动的理解
1.合运动的判定：在一个具体运动中，物体的实际运动是合运动，合运动往往是物体相对于静止地面的运动或相对于静止参考系的运动.
2.分运动与合运动的关系
(1)等效性：各分运动的共同作用效果与合运动的作用效果相同.
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束.
(3)独立性：各分运动之间互不相干、彼此独立、互不影响.
在解决此类问题时，要深刻理解“等效性”；利用“等时性”把两个分运动与合运动联系起来；坚信两个分运动的“独立性”；放心大胆地在两个方向上分别研究.
例1如图2所示，一名92岁的南非妇女从距地面大约2 700米的飞机上，与跳伞教练绑在一起跳下，成为南非已知的年龄最大的高空跳伞者.假设没有风的时候，落到地面所用的时
图2
间为t，而实际上在下落过程中受到了水平方向的风的影响，则实际下落所用时间( ) A.仍为t B.大于t
C.小于t
D.无法确定
二、运动的合成与分解
1.运动的合成与分解的实质：运动的合成与分解实质上是对描述物体运动状态的位移、速度及加速度的合成与分解.
2.运动的合成与分解的方法：位移、速度、加速度都是矢量，因此运动的合成与分解遵循矢量运算法则，应用平行四边形定则进行运动的合成与分解.
3.小船渡河问题
(1)渡河时间最短问题
若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，
不能提供指向河对岸的分速度.因此只要使船头垂直于河岸航行即可.由图3可知，此时t 短
＝
d v 船，此时船渡河的位移s ＝d sin θ，位移方向满足tan θ＝v 船v 水
.
图3
(2)渡河位移最问题(v 水<v 船)
最短的位移为河宽d ，此时渡河所用时间t ＝d
v 船 sin θ
，船头与上游的夹角θ满足
cos θ＝
v 水
v 船
，如图4所示.
图4
4.“绳联物体”的速度分解问题
“绳联物体”指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题(下面为了方便，统一说“绳”).解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量.
例2 质量m ＝2 kg 的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x 和v y 随时间变化的图线如图5(a)、(b)所示，求：
(1)物体所受的合力；(2)物体的初速度；(3)t ＝8 s 时物体的速度；(4)t ＝4 s 内物体的位移.
图5
例3 小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？
三、合运动性质的判断
分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断.
(1)若a＝0时，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动.
(2)若a≠0且a与v0的方向共线时，物体做直线运动，a恒定时做匀变速直线运动.
(3)若a≠0且a与v0的方向不共线时，物体做曲线运动，a恒定时做匀变速曲线运动.
例4如图6所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮.红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管由静止水平匀加速向右运动，则蜡块的轨迹可能是( )
图6
A.直线P
B.曲线Q
C.曲线R
D.无法确定
借题发挥互成角度的两个直线运动的合运动的性质：
(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动.
(2)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动合成时，由于其加速度与合速度不在同一条直线上，故合运动是匀变速曲线运动.
(3)两个都是从静止开始的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动.
(4)两个匀加速直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运
动.
对分运动与合运动的理解
1.关于运动的合成，下列说法中正确的是( )
A.合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B.合运动的时间一定比每一个分运动的时间大
C.分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
D.合运动的速度可以比每个分运动的速度小
合运动性质的判断
2.塔式起重机模型如图7所示，小车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起，下列选项中能大致反映Q运动轨迹的是( )
图7
运动的合成与分解
3.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮.在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图8所示.若玻璃管的长度为1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离为( )
图8
A.0.1 m/s,1.73 m
B.0.173 m/s,1.0 m
C.0.173 m/s,1.73 m
D.0.1 m/s,1.0 m
4.小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)
答案精析
第2讲 运动的合成与分解 预习导学
一、效果相同 合运动 分运动 二、独立进行、彼此互不影响 三、1.(1)合运动 (2)分运动 2．平行四边形定则 3.
想一想 不可以．对物体速度的分解既要遵循平行四边形定则，又要根据实际运动效果，不能脱离物体的实际运动效果任意分解． 课堂讲义
例1 A [水平风力并不影响跳伞者在竖直方向的运动规律，有风与无风的情况下，下落时间均为t ，故A 正确．]
例2 (1)1 N ，方向沿y 轴正方向 (2)3 m/s ，方向沿x 轴正方向
(3)5 m/s ，方向与x 轴正方向的夹角为53° (4)12.6 m ，方向与x 轴正方向的夹角为arctan 1
3
解析 (1)物体在x 方向：a x ＝0；
y 方向：a y ＝
Δv y Δt
＝0.5 m/s 2
根据牛顿第二定律：F 合＝ma y ＝1 N ，方向沿y 轴正方向．
(2)由题图可知v x 0＝3 m/s ，v y 0＝0，则物体的初速度为v 0＝3 m/s ，方向沿x 轴正方向． (3)由题图知，t ＝8 s 时，v x ＝3 m/s ，v y ＝4 m/s ，物体的合速度为v ＝v 2
x ＋v 2
y ＝5 m/s ，tan
θ＝43
，θ＝53°，即速度方向与x 轴正方向的夹角为53°.
(4)t ＝4 s 内，x ＝v x t ＝12 m ，y ＝12
a y t 2
＝4 m.
物体的位移s ＝x 2＋y 2
≈12.6 m
tan α
＝y x ＝13，所以α＝arctan 1
3
即方向与x 轴正方向的夹角为arctan 1
3
.
例3 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s. (2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m.
解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河对岸航行时耗时最少，即最短时间t min ＝d v 船＝2004
s ＝50 s.
(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即应使v 合的方向垂直于河对岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有 cos α＝
v 水v 船＝24＝1
2
，解得α＝60°.
例4 B [红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，所受合力水平向右，合力方向与合速度方向不共线，红蜡块的轨迹应为曲线，A 错误；由于做曲线运动的物体所受合力应指向曲线弯曲的一侧，故B 正确，C 、D 错误．] 对点练习
1．CD [根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故A 错误．分运动与合运动具有等时性，故B 错误．]
2．B [物体Q 参与两个分运动，水平方向向右做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速直线运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度向上，故物体合运动的加速度向上，故轨迹向上弯曲，故B 正确，A 、C 、D 错误．]
3．C [设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v 1，位移为s 1，蜡块随玻璃管水平向右移动的速
度为v 2，位移为s 2，如图所示，v 2＝v 1tan 30°＝0.1
3
3 m/s≈0.173 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升
的时间t ＝s 1v 1＝1.0
0.1
s ＝10 s ．由于合运动与分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为
10 s ．水平运动的距离s 2＝v 2t ＝0.173×10 m＝1.73 m ，故选项C 正确．]
4．(1)40 s 下游120 m
(2)船头与岸的上游成53°角50 s
解析(1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀
速运动，故渡河时间t＝d
v船
＝
200
5
s＝40 s，小船沿河流方向的位移s＝v水t＝3×40 m＝120 m，
即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸．
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合＝v2船－v2水＝4 m/s.
经历时间t＝d
v合＝
200
4
s＝50 s．又cos θ＝
v水
v船
＝
3
5
＝0.6，即船头与岸的上游所成角度为53°.。