广西贺州市平桂高级中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题

........................ 优质文档..........................
广西贺州市平桂高级中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试
试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
一、单选题(每小题5分，共60分)
1．已知集合{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，则A ∩B=（ ）
A ．{}1,2,3,4
B ．{}1,2,3
C ．{}2,3
D ．{}2,3,4
2．计算1
2
94⎛⎫
= ⎪⎝⎭( )
A ．32
B ．81
16 C ．9
8 D ．2
3
3．函数
y = ）
A ．[1,]-+∞
B ．[]1,0-
C ．()1,-+∞
D ．()1,0-
4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ）
A ．163π
B ．32
3π C ．64
3π D ．256
3π
5．函数3
()21x f x x =--的零点所在的区间为（ ）
A ．()1,2
B ．()2,3
C ．()3,4
D ．() 4,5
6．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A ．3y x =
B ．||=2x y
C ．lg y x =-
D ．x x
y e e -=-
7．函数()23x f x a -=+恒过定点P （ ）
A ．()0,1
B ．()2,1
C ．()2,3
D ．()2,4
8．已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，则这个圆柱的体积等于（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
9．设20.9
2
0.9,2,log0.9
a b c
===，则( )
A．b a c
>>B．b c a
>>C．a b c
>>D．a c b
>>
10．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )
A．16 B．32 C．44 D．64 11．()()
2
ln32
f x x x
=-+的递增区间是（）
A．(),1
-∞B．3
1,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．
3
,
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
D．()
2,+∞
12．已知
(3)4,1
()
log,1
a
a x a x
f x
x x
--<
⎧
=⎨
≥
⎩
在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．
1
(0,)
4
B．(0,)
+∞C．()
1,3D．()
0,1
第II卷（非选择题)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．集合{}
1,0,1
-的子集有_____________个.（用数字作答）
14．已知()2
210
30
x x
f x
x x
-≥
⎧
=⎨
⎩
，
，＜
，则f（f（﹣1））的值为_____．
15．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________.
16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()1f x x =+，则
()2f -=__________.
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．已知全集U =R ，集合{}42A x x =-≤≤-，集合{}
30B x x =+≥，
求：（1）A B U ；
（2）()U C A B I ．
18．计算下列各式的值：
（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++-
（Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+
19．在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．已知CD ＝EF ，AD ⊥平面ABEF ，BE ⊥AF ．
（1）求证：DF ∥平面BCE ；
（2）求证：平面ADF ⊥平面BCE ．
20．已知对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象经过点（9,2）.
(1)求函数()f x 的解析式；
（2）如果不等式(1)1f x +<成立，求实数x 的取值范围．
21．在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．
（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．
（2）求证：BC SA ⊥．
22．已知定义域为R 的函数()221x x a
f x -+=+是奇函数．
()1求实数a 的值；
()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明
数学期考参考答案
1．D
【解析】
【分析】
直接利用交集的定义计算即可.
【详解】
因为{}2,3,4,6A =，{}1,2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I .
故选:D.
【点睛】
本题考查了集合交集的计算，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】 现将9
4化成2
32⎛⎫ ⎪⎝⎭
，然后再根据指数幂的运算公式即可求出结果. 【详解】
1
122
2933==422
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
【点睛】
本题主要考查指数幂的运算公式，熟练掌握运算公式是解决问题的关键.
3．C
【解析】
【分析】 函数
y =10x +>，解不等式即可得定义域.
【详解】 由函数
y =1010
x x +≥
⎧⎨+≠⎩，解得1x >-，
即函数
y =
()1,-+∞. 故选：C.
【点睛】 本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方数非负，分式分母不为0，考查运算能力，属于基础题．
4．B
【解析】
【分析】
先求球半径，再求球体积.
【详解】
因为24π=16πR ，所以34322,ππ33R V R ==
=,选B. 【点睛】
本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.
5．A
【解析】
【分析】
连续函数f （x ）＝32x x
--1在（0，+∞）上单调递增且f （1）f （2）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果．
【详解】
∵函数f （x ）＝32x x
--1在定义域（0，+∞）上单调递增， ∴f （1）＜0，f （2）＞0，f （3）>0，f （4）＞0，f （5）＞0， ∴根据根的存在性定理得f （x ）＝32x
x -
-1的零点所在的一个区间是（1，2）， 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．
6．B
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】
对于A 选项，3
y x =为奇函数；
对于B 选项，令()2x f x =，函数()f x 的定义域为R ，()()2x f x f x -==，故函数为偶函数，符合题意；
对于C 选项，函数的定义域为()0,∞+，故函数为非奇非偶函数；
对于D 选项，令()x x f x e e -=-，函数()f x 的定义域为R ，且()()e e x x f x f x --=-=-，故函数为奇函数.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
令指数为零，求出x 的值，并代入函数()y f x =的解析式，即可得出定点P 的坐标.
【详解】
令20x -=，得2x =，()0
234f a =+=Q ，因此，定点P 的坐标为()2,4. 故选：D.
【点睛】
本题考查指数型函数图象过定点问题，一般利用指数为零可求得定点的坐标，考查运算求解能力，属于基础题.
8．A
【解析】
分析：已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，根据圆柱的侧面积公式，求出底面半径，即可得到圆柱的体积.
详解：已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，设圆柱的底面半径为,r 根据圆柱的侧面积
公式214,2r r ππ⨯=∴=，则圆柱的体积()2
2214.V r h πππ==⨯⨯=
故选A.
点睛：本题考查圆柱的侧面积和圆柱的体积，属中档题.
9．A
【解析】
【分析】
先由题中条件分别判断出a b c ，，的范围，进而可得出结果.
【详解】
因为()20.90,1a =∈，0.921b =>，2log 0.90c =<，所以b a c >>. 故选A
【点睛】
本题主要考查指数函数与对数函数的性质，熟记性质即可比较大小，属于基础题型.
10．B
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC ．然后由直角三角形面积公式求解．
【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC ．
则BC PC ⊥．
∴该几何体的表面积1(34543445)322
S =⨯+⨯+⨯+⨯=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
11．D
【解析】
【分析】
首先求出函数的定义域，然后利用二次函数的性质研究2()32g x x x =-+的单调性，结合函数ln y x =的单调性即可得结果.
【详解】
解：令2320x x -+>，解得1x <-或2x >，
在()(),12,-∞-+∞U 上，2()32g x x x =-+的单调增区间为()2,+∞， 因为函数ln y x =在定义域内单调递增，
所以()()
2ln 32f x x x =-+的递增区间是()2,+∞， 故选：D.
【点睛】
本题考查复合函数的单调性，注意：一定要先求函数的定义域.
12．C
【解析】
【分析】
根据分段函数恒增，列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
因为(3)4,1()log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上是增函数，
所以30134log 1a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，即3135a a a ⎧⎪<⎪>⎨⎪⎪≥⎩
，解得：13a <<.
故选：C
【点睛】
本题主要考查由分段函数恒增求参数，只需保证每段都是增函数，并注意结点位置的取值即可，属于常考题型.
13．7
【解析】
【分析】
根据含n 个元素的集合的子集个数为n 2个，即可得出结果.
【详解】
含n 个元素的集合的真子集个数为n 2个，
所以集合{}1,0,1-的真子集个数为823=.
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查求集合的子集个数，熟记公式即可，属于基础题型.
14．5
【解析】
【分析】
先求(1)f -的值，再求f （f （﹣1））的值.
【详解】
根据题意，()221030
x x f x x x -≥⎧=⎨⎩，，＜， 则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，
则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5.
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．2
【解析】
【分析】
画出直观图，得到B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，再求顶点B ′到x ′轴的距离.
【详解】
画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，
故顶点B ′到x ′轴的距离为2
.
【点睛】 本题主要考查直观图和原图的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16．3-
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性进行转化求解即可．
【详解】
根据函数的奇偶性的性质可得
()()()22213f f -=-=-+=-.
故答案为：3-.
【点睛】
本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．
17．（1）{}4A B x x ⋃=≥-（2）{
()3U C A B x x ⋂=<-或}2x >-
【解析】
【分析】
（1）先化简集合B ，再根据并集的概念，即可求出结果；
（2）先求出交集，再求补集，即可得出结果.
【详解】
（1）因为{}{}303B x x x x =+≥=≥-，{}42A x x =-≤≤- 所以{}4A B x x ⋃=≥-；
（2）由（1）可得{}32A B x x ⋂=-≤≤-，因为U =R ， 所以{()3U C A B x x ⋂=<-或}2x >-.
【点睛】
本题主要考查集合交并补的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.
18．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12
. 【解析】
试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m
a a a a a -===
，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1
2232
33343441112292992
⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)证明四边CDFE 是平行四边形,再用线面平行的判定定理即可证明；
(2)利用线面垂直得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】
证明：（1）,,AB CD EF Q 相互平行，四边形ABEF 是梯形．CD EF =， ∴四边形CDFE 是平行四边形，
DF CE ∴P ，
DF BCE ∴⊄平面 ，CE BCE ⊂平面，
∴DF BCE P 平面
（2）∵AD ⊥平面ABEF ，BE ⊂平面ABEF ，
BE AD ∴⊥,
BE AF ⊥Q ,AF A AD =I ,
∴BE ⊥平面ADF ，
∵BE ⊂平面BCE ，∴平面ADF ⊥平面BCE .
【点睛】
本题主要考查的是线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，是中档题.
20．（1）3()log f x x =； （2）12x -<<.
【解析】
【分析】
（1）根据条件可得log 92a =，解得a ，即可得解析式；
（2）由函数解析式可得()3log 11x +<，解对数不等式即可得解.
【详解】
（1）因为函数过点（9，2）
所以log 92a =，即29a =，
因为0a >，所以3a =.
所以函数()f x 的解析式为()3log f x x =;
()()31log 1f x x +=+.
由()11f x +<可得()3log 11x +<，即()33log 1log 3x +<
即1013
x x +>⎧⎨+<⎩，即12x -<<. 所以，实数x 的取值范围是12x -<<.
【点睛】
本题主要考查了解对数不等式，注意真数大于0，属于基础题.
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
[证明] （1）∵AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，∴F 是SB 的中点，又因为E 是SA 的中点，
∴EF ∥AB ，∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ； 同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E ⋂=，∴平面EFG ∥平面ABC .
（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥， ∴AF ⊥平面SBC ，∵BC ⊂平面SBC ，∴AF BC ⊥，
又因为AB BC ⊥，AF AB A ⋂=，AF 、AB ⊂平面SAB ，
∴BC ⊥平面SAB ，∵SA ⊂平面SAB ，∴BC SA ⊥.
【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.
22．（1）1；（2）减函数，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；
（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.
【详解】
()1根据题意，函数()221
x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数， 则()0020021
a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，()()12121212
x x
x x f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；
()2由()1的结论，()12121221
x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，
则()()()()()
22
12121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，
又由12x x <，则()21220x x ->，()1210x +>，()2210x +>，
则()()120f x f x ->，
则函数()f x 在R 上为减函数．
【点睛】
本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.。