人教版八年级数学上册 角平分线 讲义

角平分线
思考：如图，AD是∠CAB的角平分线，∠ACD=∠ABD=90°，则DC与DB的有什么关系？为什么？
1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等
格式：∵AD是∠CAB的角平分线
∴∠1=∠2
又∵∠ACD=∠ABD=90°
∴DC=DB
思考：如果这次反过来，已知DC=DB，∠ACD=∠ABD=90°，能证明∠1=∠2吗？
2、角平分线逆定理：角的内部到这个角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上
格式：∵DC=DB，∠ACD=∠ABD=90°
∴∠1=∠2
∴AD是∠CAB的角平分线
1、如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）
A、PD＝PE
B、OD＝OE
C、∠DPO＝∠EPO
D、PD＝OD
2
1
D A
P
O
E
B
2、如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）
A．PN＜3
B．PN＞3
C．PN≥3
D．PN≤3
3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中
错误的是（）
A. DC＝DE
B. ∠AED＝90°
C. ∠ADE＝∠ADC
D. DB＝DC
4、如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结
论中不正确的是（）
TQ＝PQ B、∠MQT＝∠MQP
C、∠QTN＝90°
D、∠NQT＝∠MQT
5、在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）
A. BC＞AE
B. BC＝AE
C. BC＜AE
D. 以上都有可能
6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )
A ．2 cm
B ．3 cm
C ．4 cm
D ．5 cm
7、如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C 、D 分别在角的两边OA 、OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD 的是（ ）
A 、PC ⊥OA ，PD ⊥O
B B 、OC=OD
C 、∠OPC=∠OP
D D 、PC=PD
8、如图,△ABC 的面积为1cm2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ,则△PBC 的面积为（ ） A.0.4cm2
B.0.5cm2
C.0.6cm2
D.0.7cm2
9、如图所示，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD ＝DC ，∠BAC ＝80°，则∠BAD ＝_____， ∠CDA ＝_____
E
D
C
B
A
10、如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是_____
11、如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是______
（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为
12、如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是_____cm.
13、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_________°
14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC
（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数
15、如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C。

求证：AC＝BC
16、如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD
求证：AD平分∠BAC
D
C
B
A
O
E
17、如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O
(1)若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，试判断OE与OD的大小关系.并证明你的结论
(2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由
例1、如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，
点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）
A.PM＞PN
B.PM＜PN
C.PM=PN
D.不能确定
18、如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= cm．
19、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
20、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°求证：DE＝DF
21、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.
22、如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。