全国统考高考数学大一轮复习选修4_5不等式选讲1备考试题文含解析

选修4-5 不等式选讲
练好题·考点自测
1.〖改编题〗若a,b,c∈R,且满足|a-c|<b,给出下列结论:
①a+b>c;②b+c>a;③a-c>b;④|a|+|b|>|c|.
其中错误的个数为() A.1 B.2
C.3
D.4
2.〖2019浙江,16,4分〗已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤2
,则实数a的最大值
3
是.
−a|+a在区间〖1,4〗上的最大值是5,则a的取值范围是.
3.〖2017 浙江,17,4分〗已知a∈R,函数f(x)=|x+4
x
4.〖2020全国卷Ⅱ,23,10分〗〖文〗已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
拓展变式
1.〖2020全国卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
(1)在图1中画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
图1
2.〖2018全国卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围.
3.〖2019全国卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明: (1)1a +1b +1
c ≤a 2+b 2+c 2
; (2)(a +b )3
+(b +c )3
+(c +a )3
≥24.
4.〖2021湖南模拟〗已知函数f (x )=|x +1|+2|x -a |. (1)当a =1时,求不等式f (x )≤7的解集;
(2)已知a >-1,且f (x )的最小值等于3,求实数a 的值.
答 案
选修4-5 不等式选讲
1.A 由题意得,{a -c >−b ,a -c <b ,∴{a +b >c ,
b +
c >a ,∴①,②都正确,③不正确.
又|a -c |=|c -a |≥|c |-|a |,
∴|c |-|a |<b =|b |,∴|a |+|b |>|c |.④正确.故选A.
2.4
3 f (t +2)-f (t )=〖a (t +2)3-(t +2)〗-(at 3-t )=2a (3t 2
+6t +4)-2,因为存在t ∈R,使得|f (t +2)-f (t )|≤2
3,所以−2
3
≤2a (3t 2+6t +4)-2≤2
3
有解.因为3t 2
+6t +4≥1,所以
2
3(3t 2+6t+4)
≤a ≤
4
3(3t 2+6t+4)
有解,所以a ≤〖
4
3(3t 2+6t+4)
〗max =4
3
,所
以a 的最大值为4
3.
3.(-∞,9
2
〗 ∵x ∈〖1,4〗,∴x +4
x
∈〖4,5〗.分类讨论:①当a ≥5时,f (x )=a -x −4
x
+a =2a -x −4
x
,函数f (x )在区间〖1,4〗
上的最大值为2a -4=5,∴a =92,舍去;②当a ≤4时,f (x )=x +4x −a +a =x +4
x ≤5,此时符合题意;③当4<a <5时,〖f (x )〗
max
=max{|4-a |+a ,|5-a |+a },则{|4-a |+a ≥|5−a |+a ,|4-a |+a =5或{|4-a |+a <|5−a |+a ,|5-a |+a =5,
解得a =92或a <9
2.综上可得,实数a 的取
值范围是(-∞,9
2〗.
4.(1)当a =2时,f (x )={7−2x ,x ≤3,
1,3<x ≤4,2x -7,x >4.
因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤3
2
或x ≥11
2
}.
(2)因为f (x )=|x -a 2|+|x -2a +1|≥|a 2-2a +1|=(a -1)2,故当(a -1)2
≥4,即a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4. 当-1<a <3时,f (a 2
)=|a 2
-2a +1|=(a -1)2
<4. 所以a 的取值范围是(-∞,-1〗∪〖3,+∞).
1.(1)由题设知f (x )={-x -3,x ≤−1
3,5x -1,-13
<x ≤1,x +3,x >1.
y =f (x )的图象如图D 1所示.
图D 1
(2)函数y =f (x )的图象向左平移1个单位长度后得到函数y =f (x +1)的图象,如图D 2所示.
图D 2
由-x -3=5(x +1)-1,解得x =−7
6,故函数y =f (x )的图象与函数y =f (x +1)的图象的交点坐标为(−7
6,−11
6).由图D 2可知当且仅当x <−7
6时,函数y =f (x )的图象在函数y =f (x +1)的图象上方.
故不等式f (x )>f (x +1)的解集为(-∞,−7
6).
2.(1)当a =1时,f (x )=|x +1|-|x -1|,即f (x )={-2,x ≤−1,
2x ,-1<x <1,2,x ≥1.
故不等式f (x )>1的解集为(1
2,+∞).
(2)当x ∈(0,1)时|x +1|-|ax -1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax -1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时,|ax -1|≥1;
若a >0,|ax -1|<1的解集为(0,2a ),所以2
a ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2〗.
3.(1)因为a 2
+b 2
≥2ab ,b 2
+c 2
≥2bc ,c 2
+a 2
≥2ac ,且abc =1,故有
a 2+
b 2+
c 2≥ab +bc +ca =
ab+bc+ca
abc
=1a +1b +1
c .
所以1
a +1
b +1
c ≤a 2
+b 2
+c 2
,当且仅当a =b =c =1时“=”成立. (2)因为a ,b ,c 为正数且abc =1,故有
(a +b )3
+(b +c )3
+(c +a )3
≥3√(a +b )3(b +c )3(a +c )3
3
=3(a +b )(b +c )(a +c )≥3×2√ab ×2√bc ×2√ac =24.
当且仅当a =b =c 时两等号同时成立, 所以(a +b )3
+(b +c )3
+(c +a )3
≥24.
4.(1)当a =1时,f (x )=|x +1|+2|x -1|.
当x <-1时,f (x )≤7即-3x +1≤7,解得x ≥-2,故-2≤x <-1. 当-1≤x ≤1时,f (x )≤7即-x +3≤7,解得x ≥-4,故-1≤x ≤1. 当x >1时,f (x )≤7即3x -1≤7,解得x ≤8
3
,故1<x ≤8
3
.
综上,f (x )≤7的解集为〖-2,8
3〗. (2)因为a >-1,所以f (x )=
{-3x +2a -1(x <−1),
-x +2a +1(−1≤x <a ),3x -2a +1(x ≥a ),
作出y=f(x)的大致图象,如图D 3所示.
由y=f(x)的图象知,f(x)min=f(a)=a+1=3,解得a=2,所以实数a的值为2.
图D 3。