天津市红桥区九年级上学期期中数学试卷(有答案)

天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=0
2．将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81
3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m＞B．m=C．m＜D．m＜﹣
5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（）
A．90°B．95°C．100° D．120°
6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）
A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
7．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）
A．B．
C D．
8．抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）
A．B．
C． D．
9．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是x=﹣
10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（）
A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°
11．已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（）
A．△＞M B．△=M
C．△＜M D．无法确定△与M的大小
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x=3时，y=0；
②3a+b＞0；
③﹣1≤a≤﹣；
④≤n≤4．
其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于．
14．将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为．15．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于．
16．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为（万件）．
17．如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于．
18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B 在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣1）=3﹣3x
（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）
20．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．
求证：△ABD为等边三角形．
21．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．
（1）直接写出A点的坐标；
（2）求二次函数y=ax2+bx﹣3的解析式．
22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
23．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
24．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
25．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；
（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；
（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．
天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是x2﹣2x﹣3=0，
故选A
2．将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣81
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【解答】解：一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式为4x2+5x﹣81=0，
二次项系数，一次项系数，常数项4，5，﹣81，
故选：B．
3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选C．
4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m＞B．m=C．m＜D．m＜﹣
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选C．
5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（）
A．90°B．95°C．100° D．120°
【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，
∴∠AOB=100°．
故选C．
6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）
A．（3，2） B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（﹣3，2），
∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故选：D．
7．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）
A．B．
C． D．
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵二次项系数a＜0，
∴开口方向向下，
∵一次项系数b=0，
∴对称轴为y轴，
∵常数项c=1，
∴图象与y轴交于（0，1），
故选B．
8．抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）
A．B．
C． D．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：
=﹣（x2﹣2x）﹣1
=﹣ [（x﹣1）2﹣1]﹣1
=﹣（x﹣1）2﹣．
故选：C．
9．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是x=﹣
【考点】二次函数的性质．
【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．
A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；
D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．
故选D．
10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（）
A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°
【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；垂径定理．
【分析】先根据平行四边形的性质得出AB=BC，故可得出△OAB是等边三角形，所以∠AOB=60°，再由OF⊥OA可知∠AOF=90°，OF⊥BC，故可得出∠BOF的度数，进而得出∠COF的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB=BC，OA∥BC．
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
∵OF⊥OA，
∴∠AOF=90°，OF⊥BC，
∴∠BOF=∠COF=90°﹣60°=30°，
∴∠CBF=∠COF=15°．
故选B．
11．已知x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M大小关系的下列说法中，正确的是（）
A．△＞M B．△=M
C．△＜M D．无法确定△与M的大小
【考点】根的判别式．
【分析】根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和△的关系，本题得以解决．
【解答】解：∵x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12+bx1+c=0，
∴ax12+bx1=﹣c，
∴M=（2ax1+b）2==4a（ax12+bx1）+b2=4a÷（﹣c）+b2=b2﹣4ac=△，
故选B．
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x=3时，y=0；
②3a+b＞0；
③﹣1≤a≤﹣；
④≤n≤4．
其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下
可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=﹣=1，可得出b=﹣2a，将b=﹣2a代入3a+b中，结合a＜0即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（﹣1，0）代入抛物线解析式中，再结合b=﹣2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物
线的顶点坐标的纵坐标为，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．
【解答】解：①由抛物线的对称性可知：
抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2﹣（﹣1）=3，
即点B的坐标为（3，0），
∴当x=3时，y=0，①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为x=﹣=1，
∴b=﹣2a，
3a+b=a＜0，②不正确；
③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3．
令x=﹣1，则有a﹣b+c=0，
又∵b=﹣2a，
∴3a=﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，
解得：﹣1≤a≤﹣，③正确；
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），
∴n==c﹣，
又∵b=﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a≤﹣，
∴n=c﹣a，≤n≤4，④正确．
综上可知：正确的结论为①③④．
故选C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于110．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系找出x1+x2=﹣100、x1•x2=10，将代数式x1x2﹣x1﹣x2变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=﹣100，x1•x2=10，
∴x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x1+x2）=10﹣（﹣100）=110．
故答案为：110．
14．将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数的最大值为4．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，将该函数的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函数解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，
所以该抛物线顶点坐标是（1，4），
所以所得图象对应函数的最大值为4．
故答案是：4．
15．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于115°．
【考点】旋转的性质．
【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1=∠C+∠B=115°，即可得出结论．
【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠BAB1=∠C+∠B=115°，
即旋转角等于115°．
故答案为：115°．
16．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为y=（1+x）2（万件）．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】根据产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，即可得出2011年的产量y与x间的关系式为y=（1+x）2．
【解答】解：∵某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，2009年产量为1万件，
∴2010年产量为：1×（1+x）；
2011年的产量y与x间的关系式为：y=1×（1+x）×（1+x）=（1+x）2；
即：y=（1+x）2．
故答案为：y=（1+x）2．
17．如图，直线L1∥L2，圆O与L1和L2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等
于或．
【考点】切线的性质；平行线的性质；平移的性质．
【分析】当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠1，在Rt△OAM中可求得AM；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，则OM平分∠AMN，在Rt△OAM中可求得MA的长，可求得答案．
【解答】解：
当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图1，
∵MA、MN是⊙O的切线，
∴OM平分∠AMN，OA⊥MA，
∴∠AMO=30°，
∴OM=2OA=2，
在Rt△OAM中，MA==；
当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图2，
∵∠1=60°，
∴∠AMN=120°，
同上可知∠AMO=∠AMN=60°，
∴OM=2AM，
在Rt△OAM中，MA2=OM2﹣OA2，即MA2=4MA2﹣1，解得MA=；
综上可知MA的长度为或，
故答案为：或．
18．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B 在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经
过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵令x=0，则y=，
∴点A（0，），
根据题意，点A、B关于对称轴对称，
∴顶点C的纵坐标为×=，
即=，
解得b1=3，b2=﹣3，
由图可知，﹣＞0，
∴b＜0，
∴b=﹣3，
∴对称轴为直线x=﹣=，
∴点D的坐标为（，0），
设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，
则，
解得，
所以，y=x2﹣x+．
故答案为：y=x2﹣x+．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x（x﹣1）=3﹣3x
（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）将原方程移项、合并同类项即可得出（x﹣1）（x+3）﹣0，解之即可得出结论；（2）利用完全平方公式将原方程边形为2（x﹣1）2﹣3=0，开方后即可得出结论．
【解答】解：（1）x（x﹣1）=3﹣3x=3（1﹣x），
移项、合并同类项，得：（x﹣1）（x+3）﹣0，
解得：x1=﹣3，x2=1；
（2）2x2﹣4x﹣1=2（x2﹣2x）﹣1=2（x﹣1）2﹣3=0，
∴（x﹣1）2=，
解得：x﹣1=±，
∴x1=1+，x2=1﹣．
20．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．
求证：△ABD为等边三角形．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定．
【分析】根据垂径定理求出AE=DE，根据线段垂直平分线性质得出BA=BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据等边三角形判定推出即可．
【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴AE=DE，
∴BD=BA，
∵∠D=∠C=60°，
∴△ABD为等边三角形．
21．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．
（1）直接写出A点的坐标；
（2）求二次函数y=ax2+bx﹣3的解析式．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）根据抛物线的对称性直接写出点A的坐标；
（2）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求它们的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），
∴A点横坐标为：=﹣1，
∴A点的坐标为：（﹣1，0）；
（2）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3得：
，
解得：．
故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根的判别式；等腰三角形的性质．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）2=0，解得k=，然后解方程得到b=c=2，根据三
角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k=，则方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC 的周长．
【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
=4k2+4k+1﹣16k+8，
=4k2﹣12k+9
=（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k=，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；
当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，解得k=，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，
所以△ABC的周长=4+4+2=10．
23．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；
（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a=；
故答案为：
（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•=2430，
解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．
答：中间通道的宽度为2米．
24．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；（2）利用点A、B、C的坐标来求线段AB、AC、BC的长度，得到AC2+BC2=AB2，则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．利用待定系
数法求得直线C′D的解析式，然后把y=0代入直线方程，求得．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点D的坐标为；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当x=0时，y=﹣2，
∴C（0，﹣2），则OC=2．
当y=0时，，
∴x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．
设直线C′D的解析式为y=ax+b（a≠0），则
，
解得，
∴．
当y=0时，，则，
∴．
25．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；
（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；
（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）只要证明△AOM≌△CON，推出∠AOM=∠CON=22.5°即可解决问题．
（2）如图2中，过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．先证明△OAE≌△OCN（ASA），再证明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME=∠OMN，利用角平分线性质定理即可解决问题．
（3）由（2）可知，MN=AM+CN，可以推出△BMN的周长为BA+BC是定值．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN，
∴AM=CN．
在△OAM与△OCN中，
∴△OAM≌△OCN（SAS），
∴∠AOM=∠CON，
∴∠AOM=∠CON=22.50，
∴MN∥AC时，旋转角为22.50．
（2）证明：如图2中，
过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．∴∠AOE=∠CON．
在△OAE与△OCN中，
∴△OAE≌△OCN（ASA），
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME与△OMN中，
∴△OME≌△OMN（SAS），
∴∠OME=∠OMN．
∵MA⊥OA，MF⊥OF．
∴OA=OF=2，
∴在旋转过程中，高为定值．
\
（3）旋转过程中，p值不变化．
理由：∵△OME≌△OMN，
∴ME=MN，
∵AE=CN，
∴MN=ME﹣AM+AE=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4．∴△MBN的周长p为定值．
2017年1月19日。