【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修2 第一章1.3-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
A 级 基础巩固
一、选择题
1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A ．4倍
B ．3倍 C.2倍
D ．2倍
解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，
所以S 底＝πa 2，
S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D
2.如图所示，ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析：因为V C ­A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C ­AA ′B ′B ＝1－13＝2
3.
答案：C
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )
A ．3π
B ．33π
C ．6π
D ．9π
解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ， 又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝3
4l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.
所以S 圆锥表＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.故选A. 答案：A
4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
解析：由l ＝14×2πr ＝8得圆锥底面的半径r ＝16π≈16
3，所以米堆
的体积V ＝14×13πr 2h ＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有
320
9÷1.62≈22(斛)．
答案：B
5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A ．1∶ 2
B ．1∶ 3
C ．2∶ 2
D ．3∶ 6
解析：棱锥B ′ ­ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B ′C ＝2，S △B ′AC ＝
32
. 三棱锥的表面积S 锥＝4×3
2＝23，
又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题
6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．
解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，
所以其母线长l ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－222＋22＝5， 所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π
7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．
解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22
×3－1
3
π×22×3＝8π.
答案：8π
8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.
则S 侧＝8＋22，S 底＝2×（1＋2）2×1＝3.
故S 表＝S 侧＋S 底＝11＋2 2. 答案：11＋22 三、解答题
9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．
解：设圆柱的底面半径为R ，高为h ， 当圆柱的底面周长为2π时，h ＝4π，
由2πR ＝2π，得R ＝1， 所以V 圆柱＝πR 2h ＝4π2.
当圆柱的底面周长为4π时，h ＝2π， 由2πR ＝4π，得R ＝2，
所以V 圆柱＝πR 2h ＝4π·2π＝8π2. 所以圆柱的体积为4π2或8π2.
10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．
解：由三视图知直观图如图所示，则高AA ′＝2 cm ，底面高B ′D ′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×2
3
＝4(cm)．
一个底面的面积为1
2×23×4＝43(cm 2)．
所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．
所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．
B 级 能力提升
1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )
A.20
3π B.103π C ．6π
D.163
π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103
π.
答案：B
2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．
解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22
×8＝196π3
.
设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2
×8＝
28π3r 2
＝196π
3
，解得r ＝7.
答案：7
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．
解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体．
V四棱柱＝23＝8，V四棱锥＝1
3×22×2＝
8
3.
故几何体的体积V＝V四棱柱＋V四棱锥＝8＋8
3＝
32
3(cm
3)．。