【备战】高考数学 历届真题专题18 矩阵变换 理

历届真题专题
【2011年高考试题】 一、填空题:
1．(2011年高考上海卷理科10)行列式a b
c d
（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最
大的是 。

【答案】6 【解析】因为a b
c d
=ad bc -，,,,{1,1,2}a b c d ∈-，所以容易求得结果. 二、解答题:
1.(2011年高考江苏卷21)选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2A αβ=．
解：（I ）设矩阵M 的逆矩阵111
2
2x y M x y -⎛⎫=
⎪⎝⎭，则1
10.01MM -⎛⎫= ⎪⎝⎭
又2003M ⎛⎫=
⎪⎝⎭，所以1
12220100301x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，
所以112211221121,20,30,31,,0,0,,23
x y x y x y x y =====
===即 故所求的逆矩阵1
102.103M -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭
【2010年高考试题】 一、填空题：
1．（2010年高考上海市理科4）行列式
cos
sin 3
6
sin
cos
3
6
π
π
π
π
的值是 。

【答案】0 【解析】原式=cos
cos
6
3
π
π
⋅-sin
sin
6
3
π
π
⋅=cos(
)63π
π+=cos 2
π
=0.
2．（2010年高考上海市理科10）在n 行n 列矩阵12321
234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪
⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭
中，
记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，
11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= 。

【答案】45
3．（2010年上海市春季高考11)方程21
24
1
013
9
x
x =-的解集为 。

答案：{3,2}-
解析：
222124
1921243180139
x x x x x x =+--+-=-，即2
60x x +-=，故123,2x x =-= 4．
（2010年上海市春季高考14)
答案：1。

解析：不妨取1231,23,45x x n x n ==+=+，…… 故
21(23)(45)(21)
n S n n n =+++++
+-[135(21)][24(1)2]n n n n n =+++
+-+++
+-
2232n n n n n =+⨯=+
故3
2
333
1
1lim lim lim 11
111n n n n S n n n n n n
→∞→∞→∞+
+===+++，故答案为1. 二、解答题： 1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=11a b ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，20c N d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2020MN ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭，
2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡100k ,N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。

满分10分。

解：由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由
002200
10001022
k k
--
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。

计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是||k，则由题设知：||212
k=⨯=。

所以k的值为2或-2。

【2009年高考试题】
（2009江苏卷）
选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵
32
21
A
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵.
21.
(1)解:依题意得
由
2 3
,
1 1
M
-
⎛⎫
= ⎪
-
⎝⎭
得1
M=,故1
1 3
,
1 2
M-
-
⎛⎫
= ⎪
-
⎝⎭
从而由
2 313
1 15
x
y
-
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
得
1 313113352
1 25113253
x
y
--⨯+⨯
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
--⨯+⨯-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故
2,
(2,3)
3,
x
A
y
=
⎧
-
⎨
=-
⎩
即为所求.
设圆半径为r,则r+
2
3
r=2+3,a 得r=2,外接圆的面积为4π。

【2008年高考试题】
（江苏）选修4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦
⎤
2 00 1对应的变换作用下得到曲线
F ，求F 的方程．。