5.4 三角函数的图象与性质(解析版).pdf

y
1相邻两个交点之间距离为半个周期,从而可求出结
果.
【解析】因为函数
y
tanx
的最小正周期为 π ,由
tanx
1 x
可得
kπ
4
, kòZ
所以函数 y tanx 与直线 y 1相邻两个交点之间距离为函数 y tanx 的半个周期,即 2 .
10．（多选）对于函数 f x a sin x b tan x c （其中, a,b R, c Z ）,选取 a,b, c 的一组值计算 f 1
y＝sin
x
的定义域为[a,b],值域为
1,
1 2
,则
b－a
的最大值和最小值之和等于( )
4 A． 3
8 B． 3
C．2π
D．4π
【参考答案】C
【分析】作出
y＝sin
x
的图像,由其值域为
1,
1 2
,可得
b－a
的最大值和最小值,从而可得到结论.
【解析】解：如图,
13 5 4
3 5 2
可知 b－a 的最大值为 6 6 = 3 ,b－a 的最小值为 2 6 = 3 ,
即
2 cos2
x
cos
x
1
0
,解得
1 2
cos
x
1
．
2k 2 x 2k 2 , k Z
由余弦函数的图象,知
3
3
,
所以所求函数的定义域为
2k
2 3
,
2k
2 3
,
k
Z
．
19．利用“五点法”作出函数 y 2 sin x 1（ 0 x 2 ）的简图．
3 【分析】求出横坐标分别为 0 , 2 , , 2 , 2 时所对应的函数值,通过列表、描点、连线即可作出图象.
故 b－a 的最大值和最小值之和为 2 ,
故选 C.
7．若函数
f
(x)
sin x(
0) 在区间
0,
3
上单调递增,在区间
3
,
2
上单调递减,则
（
）
4
A． 3
B． 2
3 C． 2
2 D． 3
【参考答案】C
0„
【分析】利用当
x„
2 时,函数
f
x
是增函数,当
2
„
x„
时,函数
f
x 为减函数,求出当
5.4 三角函数的图象与性质
A 组-[应知应会]
1．函数
y＝tan
x
x
k
π 2
,k Z
的单调性为( )
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间
π 2
k
,
π 2
k
(k∈Z)上为增函数
D．在每一个开区间
π 2
2k ,
π 2
2k
(k∈Z)上为增函数
【参考答案】C
A．0
B．1
C．2
D．3
【参考答案】D
【分析】由正弦函数的对称性可判断①,由余弦函数的对称性可判断②,由三角函数的有界性可判断③.
【解析】由于正弦曲线的对称中心为 k , 0 , k Z ,可得 y sin x, x R 的图象关于点 P , 0 成中心对
称,即①正确；
由于余弦曲线的对称轴为 x k , k Z ,可得 y cos x, x R 的图象关于直线 x 成轴对称,即②正确；
M
,最小值为
m
,则 m
M
=___________ .
【参考答案】2
【解析】
f
x
x
12 sinx
x2 1
1
2x sinx x2 1
,令
g(x)
2x sinx x2 1
,则
g(x)
为奇函数,
所以 g(x) 的最大值和最小值和为 0,又 g(x) f (x) 1.
有 M 1 m 1 0 ,即 m M 2 .
故 A 错误；
对于 B, y cos x cos x, y cos x cos x ,即其图象相同,故 B 正确；
对于
C,当
x
0
时,
y
sin
x
sin x ,即两图象相同,故
C
错误；
y cos x cos x
对于 D,
,故这两个函数图象相同,故 D 正确,
故选 BD.
12．函数 y lg(sin x cos x) 的定义域为___________
x
,
f 3 x 1 sin 3 x 1 sin x
∴
.
又∵
f
x 是以
为周期的偶函数,∴
f
3
x
f
x
f
x
,
∴当
x
5 2
, 3
时,
f
x
1 sin
x
.
16．若方程 sin x 4m 1在 x 0, 2 上有解,则实数 m 的取值范围是______．
【参考答案】
1 2
,
0
【分析】根据正弦函数的性质可得 sin x 1,1,进而得 1 4m 1 1,解出不等式即可得结果.
【参考答案】 3
【解析】正切函数在给定的定义域内单调递增,
则函数的最小值为
f
3
tan
3
3
.
14．（2019·保定市第二中学高一月考）满足 cos x 0, x 0, 2 的 x 的取值范围是______．
【参考答案】
0,
2
3 2
,
2
y cos x, x 0, 2
【分析】作出函数
6
f 1 g 1 c f 1 g 1 c f 1 f 1 2c
∵
,
,∴
.
∵cZ
,∴
f
1
f
1
为偶数.故选
ABC.
11．（多选）下列命题中,真命题的是（ ）
A． y sin x 的图象与 y sin x 的图象关于 y 轴对称
y cos x
y cos x
B．
的图象与
的图象相同
C． y sin x 的图象与 y sin x 的图象关于 x 轴对称
【解析】列表：
x
0
2
3
2
2
11
2sin x
0
2
2sin x 1
1
1
描点作图,如图所示．
0
2
0
1
3
1
tan
20．比较
6 5
与
tan
13 5
的大小.
【分析】根据诱导公式将正切函数式化简,再结合正切函数的图像与性质即可比较大小.
【解析】由诱导公式可知
tan 6 5
tan 5
,
tan
13 5
(2k , 2k 5 ), k Z
【参考答案】
4
4
7
sin x cos x 0 2 sin(x ) 0
【解析】
4
2k x 2k (k Z )
(2k , 2k 5 ), k Z
4
,即定义域为
4
4
13．函数
f
x
tan
x
在
3
,
4
上的最小值为__________.
【解析】由正切函数的图象可知选项 C 正确
故选 C
2．在区间
3π 2
,
3π 2
内,函数
y＝tanx
与函数
y＝sinx
的图象交点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【参考答案】C
【解析】如图,在同一坐标系内画出函数
y＝tanx
与函数
y＝sinx
的在区间
3π 2
,
3π 2
内的图象,由图象可得
f
x 在
3
, 3
上为增函数可得
f
x
的值域,根据值域端点的正负可得实数 m
的取值范
围.
【解析】因为
f
x
2 sin
x
tan
x
m
,故
f
x 在
3
, 3
上单调递增,
其值域为 2 3 m, 2 3 m .
m 2 3 0
因为
f
x 有零点,故
m
2
2 0 ,即 2
3m2
3 ,故选 D.
6．函数
D． y cos x 的图象与 y cos x 的图象相同
【参考答案】BD
【分析】利用正弦曲线和余弦曲线以及正余弦函数的奇偶性,借助图象变换,逐个判断,即可得出结论.
【解析】对于 A, y sin x 是偶函数,而 y sin x 为奇函数,故 y sin x 与 y sin x 的图象不关于 y 轴对称,
的图象,观察图象即可得结果.
【解析】画出函数 y cos x, x 0, 2 的图象,如图所示．
由图象,可知在
0,
2
上,满足
cos
x
0
的
x
的取值范围为
0,
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
,
2
,
故参考答案为
0,
2
3 2
,
2
.
8
15．已知
f
x 是以
为周期的偶函数,且当
x
0,
2
时,
f
(x)
1 sin
x
,则当
0„
x„
2 时,函数
f
x
为增函数,当
2
„
x„
时,函数
f x 为减函数,根据题目条件可求出 的值
0„
【解析】因为当
x„
2 时,函数
f
x 是增函数,
„ 当2
x„
时,函数
f
x
0„
为减函数,即当
x„
2 时,函数
f x 为增函数,
„ 当 2
x„
时,函数
f
x 为减函数,所以 2
3
,所以
3 2.
f 1
和
,所得出的正确结果可能是（ ）
A．4 和 6
B．3 和 1
C．2 和 4
D．1 和 2
【参考答案】ABC
【分析】求出 f 1 和 f 1 ,求出它们的和；由于 c Z ,判断出 f (1) f (1) 为偶数。
g x a sin x b tan x g x
【解析】设
,显然
为奇函数.
此时 f x 0 ,此时函数 f x 的图像位于 x 轴的上方,排除选项 B.故选 A.
5．函数
f
(x)
2 sin
x
tan
x
m,
x
3
, 3
有零点,则
m
的取值范围是（
）
A．[2 3, )
B． (, 2 3]
C． (, 2 3) (2 3, )
D．[2 3, 2 3]
【参考答案】D
3
【分析】利用
由于 1 sin x 1 , 1 cos x 1,可得 y sin x, y cos x 的图象不超过两直线 y 1和 y 1所夹的范
围,即③正确；
故正确的个数为 3 个.
故选 D．
2
4．函数 f (x) cos x ln x2 的部分图像大致是图中的（）
A．
B．
C．
D．
【参考答案】A
【分析】利用平方关系式的变形形式,将 cos2 x 化成1 sin2 x 后,将 sin x 看成整体,函数变为二次函数,根据
参考答案选 C
8．已知
f
(x)
tan x(0
1)
[0,
在区间
2 3
]
上的最大值为
3 ,则 （
）
1 A． 2
1 B． 3
2 C． 3
3 D． 4
【参考答案】A
【分析】根据已知区间,确定 x 的范围,求出它的最大值,结合 0＜ ＜1,求出 的值．
【解析】因为 x 0，23即 ,
0 x 2 3 ,又 0 1
tan 13 5
tan
3 5
0 3 ∵ 52 5
tan
0, tan 3
0
由正切函数的图像可知 5
5
tan tan 3
∴
5
5
tan 6
即
5
tan
13 5
21．求函数 y cos2 x 4 sin x 的最大值和最小值,及取到最大值和最小值时的 x 的取值集合．
0 x 2 ＜ 2
所以
33
5
f x tan 2 tan 3
max
所以
3
3
,
2 ， 1
所以 3 3
2
故选 A
9．函数 y＝|tanx|与直线 y＝1 相邻两个交点之间距离是（ ）
π A． 4
π B． 3
π C． 2
D．π
【参考答案】C
【分析】根据
tanx
1
y
确定函数
tanx
与直线
x 0, 2 sin x 1,1
【解析】由正弦函数的图象,知当
时,
,
要使方程 sin x 4m 1在 x 0, 2 上有解,
9
1 m0
则 1 4m 1 1,故 2
,
1 m0
故参考答案为 2
,
故参考答案为
1 2
,
0
.
17．（2019·山东济南一中期中）设函数
f
x
x
12 sin
x2 1
x
的最大值为
参考答案为：2. 18．求下列函数的定义域．
y
（1）
log2
1 sin
x
1
；
（2） y 2sin2 x cos x 1 ．
log
2
1 sin
x
1
0
【分析】（1）为使函数有意义,需满足 sin x 0
,利用正弦函数的性质解出不等式即可；（2）为使
函数有意义,需满足 2 sin2 x cos x 1 0 ,将 sin2 x 换为1 cos2 x ,利用余弦函数的性质解出即可.
两图象有 3 个交点．选 C．
3．给出下列命题：
① y sin x, x R 的图象关于点 P , 0 成中心对称；
② y cos x, x R 的图象关于直线 x 成轴对称；
③ y sin x, y cos x 的图象不超过两直线 y 1和 y 1所夹的范围．
其中正确的个数是（ ）
10
log
2
1 sin
x
1
0
【解析】（1）为使函数有意义,需满足 sin x 0
,
sin x 1
2
即 sin x 0 ,
根据函数
y
sin
x,
x
0,
2
的图象,得
x
0,
6
5 6
,
．
所以所求函数的定义域为
2k ,
2k
6
2k
5 6
,
2k
,
k
Z
．
（2）为使函数有意义,需满足 2 sin2 x cos x 1 0 ,