许喜梅第十二章研备学案

第十二章全等三角形
12．1全等三角形
班级姓名小组
学习目标：
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
重点：重点：掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．
难点：全等三角形性质的应用．
学习过程：
一、基础感知，自主学习（自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”）
结合下列问题，有重点地研读课本内容，把重点的内容画出来，有疑问的地方标出来。

1、相关知识点总结归纳
(1) 放在一起能够完全重合，叫做全等形，叫做全等三角形．重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做
(2)全等三角形的，全等三角形的。

自学：理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，2应用．
（1）下列图形中的全等图形是
（2）．如图，△ABC与△DEF能重合，则记
作，读作，对应
顶点是：；对应边是：；对应角是：．
（3）．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相
等的边有，相
等的角有．
强调：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．
（4）．已知△OCA≌△OBD，若OC＝3 cm，BD＝4 cm，OD＝6 cm.则△OCA的周长cm；若∠C＝110°，∠A＝30°，则∠BOD＝．
探究1：如图，下面各图的两个
三角形全等，指出它们的对应顶
点、对应边、对应角，其中△ABC
可以经过怎样的变换得到另一个
三角形？
解：
强调：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是寻求全等的一种策略． 探究2：如图，△ABC ≌△DEF ，AB ＝DE ，AC ＝DF ，且点B ，E ，C ，F 在同一条直线上．
(1)求证：BE ＝CF ，AC ∥DF ；
(2)若∠D ＋∠F ＝90°，试判断AB 与BC 的位置关系． (1)证明： (2)结论： 证明： 二、合作探究，释疑点拨
1.小组内部组长给讲，其他同学补充，对于有问题的地方先讨论，解决不了的做标记。

2．师生共同处理共性问题和有难点的问题。

3．围绕本节重点和难点，写出本节课的知识点和方法。

找对应元素的常用方法有两种： (一)从运动角度看
1．翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素． 3．平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素． (二)根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． 2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
三、当堂检测，拓展延伸。

1．如图，△ABC ≌△CDA ，求证：AB ∥CD.
2．如图，△ABE ≌△ACD ，∠ADE ＝∠AED ，∠
B
＝∠
C ，指出其他的对应边和对应角．
12.2三角形全等的判定(1)
班级姓名小组
学习目标：
1．掌握三角形全等的判定(SSS)，掌握简单的证明格式．
2．初步体会尺规作图．
重、难点：掌握三角形全等的判定(SSS)．
学习过程：
一、基础感知，自主学习（阅读课本课本P35－36页“探究1，探究2及例1”）
结合下列问题，有重点地研读课本内容，把重点的内容画出来，有疑问的地方标出来。

1.总结归纳：
(1)已知三角形的一个或两个元素，三角形的形状和大小（能不能）确定，
三个角相等的三角形确定，但不确定．
(2)三边分别相等的两个三角形，简写成
(3)三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．
2．利用尺规作图画一个角等于已知角，初步体会尺规作图．
强调：用尺规作图作一个角等于已知角的依据是．3．在△ABC和△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则．4．若两个三角形全等，则它们的三边对应相等；反之，若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等．
5.下列命题正确的是()
A．有一边对应相等的两个等边三角形全等
B．有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C．有一边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一边对应相等的两个直角三角形全等
6.已知AB＝3，BC＝4，AC＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝．
探究1如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B＝∠D.
证明：
点拨精讲：在证明过程中善于挖掘如“公共边”这个隐含条件，可以考虑添加辅助线．
探究2如图，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.
二、合作探究，释疑点拨
1.小组内部组长给讲，其他同学补充，对于有问题的地方先讨论，解决不了的做标记。

2．师生共同处理共性问题和有难点的问题。

3．围绕本节重点和难点，写出本节课的知识点和方法。

三、当堂检测，拓展延伸。

1．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：(1)∠DAB＝∠CBA；(2)∠ACD＝∠BDC.
证明：
12.2三角形全等的判定(2)
班级姓名小组
学习目标：
1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”，理解满足边边角的两个三角形不一定全等．
2．能把证明角或线段相等的问题转化为证明它们所在的两个三角形全等．
重点：能把证明角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．难点：理解满足边边角的两个三角形不一定全等．
学习过程：
一、基础感知，自主学习（阅读课本P37－38页“探究3及例2”内容）
结合下列问题，有重点地研读课本内容，把重点的内容画出来，有疑问的地方标出来。

1.任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝
∠A(即两边和它们的夹角分别相等)．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
总结归纳：(可以简写成“边角边”或“SAS”)．
点拨：三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定了．
思考:有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，并会通过画图举反例．
点拨：如果给定两个三角形的类型(如两个钝角三角形)，两边和其中
一边的对角对应相等的这两个三角形全等．
2．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是() A．∠A＝∠D B．∠E＝∠C
C．∠A＝∠C D．∠ABD＝∠EBC
3．如图，AO＝BO，CO＝DO，AD与BC交于E，∠O＝40°，
∠B＝25°，则∠BED的度数是()
4．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等．(填“一定”或“不一定”)
5．如图，AB，CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB.求证：
∠D＝∠B.
二、合作探究，释疑点拨
1.小组内部组长给讲，其他同学补充，对于有问题的地方先讨论，解决不了的做标记。

2．师生共同处理共性问题和有难点的问题。

3．围绕本节重点和难点，写出本节课的知识点和方法。

利用SAS证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角，在书写证明过程时相等的角应写在中间；证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”“公共角”“公共边”等
三、当堂检测，拓展延伸。

1如图，AB∥CD，AB＝CD.求证：AD ∥BC.2．如图，AB＝AD，AC ＝AE，∠1＝∠2.求证：BC＝DE.
3如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D 三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，
试确定AE
与
CD的关系，并证明你的结论．
12.2三角形全等的判定(3)
班级姓名小组
学习目标：
理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”，能运用它们判定两个三角形全等．
重、难点：理解和掌握全等三角形判定方法3和判定方法4及应用．
学习过程：
一、基础感知，自主学习（阅读课本P39－40页的内容）
结合下列问题，有重点地研读课本内容，把重点的内容画出来，有疑问的地方标出来。

总结归纳：
1. ，简称角边角或( )
2 ，简称角角边或( )
3.三角形全等的条件至少需要相等的元素(其中至少需要一条边相等)．
学生自主完成
1．能确定△ABC≌△DEF的条件是()
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是()
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是() A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
4如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ.
求证：HN＝PM.
5求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等．
已知：
求证：
证明：
二、合作探究，释疑点拨
1.小组内部组长给讲，其他同学补充，对于有问题的地方先讨论，解决不了的做标记。

2．师生共同处理共性问题和有难点的问题。

3．围绕本节重点和难点，写出本节课的知识点和方法。

三、当堂检测，拓展延伸。

1．课本
2．如图，PM＝PN，∠M＝∠N.求证：AM＝BN.
12.2三角形全等的判定(4)
班级姓名小组
学习目标：
1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．
2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．
重、难点：直角三角形全等判定方法“斜边、直角边”(即“HL”)的应用．
学习过程：
一、基础感知，自主学习（阅读课本P41－42页的内容）
结合下列问题，有重点地研读课本内容，把重点的内容画出来，有疑问的地方标出来。

总结归纳：
(1)斜边和分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“”或“HL”．
(2)两直角边对应相等的两个直角三角形，根据是或．
(3)一锐角和一直角边或斜边对应相等的两个直角三角形，根据是或AAS 和或．
1．如图，E，B，F，C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB
＝FC，AB＝DF，则Rt△ABC≌，全等的根据是．
2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；()
(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；()
(3)一个锐角和斜边对应相等；()
(4)两直角边对应相等；()
(5)一条直角边和斜边对应相等．()
3．下列说法正确的是()
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
4、如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝DC；(2)AD∥BC.
二、合作探究，释疑点拨
1.小组内部组长给讲，其他同学补充，对于有问题的地方先讨论，解决不了的做标记。

2．师生共同处理共性问题和有难点的问题。

3．围绕本节重点和难点，写出本节课的知识点和方法。

三、当堂检测，拓展延伸。

1、如图，E，F分别为线段AC上的两点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M.
求证：BM＝DM，ME＝MF.
2、如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？
12．3角的平分线的性质
班级姓名小组
学习目标：
掌握角平分线的性质及画法．
重、难点：掌握角平分线的性质及画法．
学习过程：
一、基础感知，自主学习（阅读课本P48－49页的内容）
结合下列问题，有重点地研读课本内容，把重点的内容画出来，有疑问的地方标出来。

总结归纳：
①角的平分线上的点到角的两边的．
②文字命题的证明方法：
a.明确命题中的；
b.根据题意，画出图形，并用表示已知和求证；
c.经过分析，找出，写出．
掌握角平分线的判定
(1)角的到点在角的平分线上．
(2)三角形三条角平分线的交点到．
1．课本P50页练习题1，2.
2．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长多少？
3．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．
(1)如果一个点在角的平分线上，那么它；
(2)如果角的内部某点到角两边的距离相等，那么；
(3)综上所述，角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合．
4．三角形内，到三边距离相等的点是．
5如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公
路的距离都相等，试问：
(1)有几处可选择？
(2)你能画出塔台的位置吗？
二、合作探究，释疑点拨
1.小组内部组长给讲，其他同学补充，对于有问题的地方先讨论，解决不了的做标记。

2．师生共同处理共性问题和有难点的问题。

3．围绕本节重点和难点，写出本节课的知识点和方法。

三、当堂检测，拓展延伸。

1、如图，OD平分∠POQ，DA⊥OP于A，DB⊥OQ于B，点C在OD上，CM⊥AD 于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
2、如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由．。