人教B版高中数学必修三课件高一:2.3变量的相关性
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法.
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
4.回归直线方程的系数计算公式
方程或 公式
回归直线 方程
^
y
=
^
a
+
^
bx
^
系数b的
计算公式
n
^
b
=
∑i=1xiy i-nxy ∑i=n 1xi2-nx2
上方加记
区别:在 y 的上方加“^”是为了区分 Y 的实
高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)
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2.3 变量的相关性
2
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课程目标
1. 会 根 据 现 实 问 题中 两 个相关 变量 的数 据作出
散点图,并利用散点图直 观认识 变量 间的 相关关 系. 2. 理 解 用 最 小 二 乘法 求 回归直线方程的思想,能 用最小 二乘 法求 回归直 线方程,并能根据方程进 行预测或估算.
���∑��� =1 ������������2
=87777,
∑
������ =1
xiyi=55950,
所
以
10
^
������
=
∑ ������������������������ -10������������
������=1
10
∑
������ ���2���
-10������2
=
553985500-100-1×05×55×5921.7≈0.668.
������=1
5
∑
������
���2��� -5
������
2
=
11920.3--55××442×5=1.23,
1.回归分析有三个步骤: (1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验, 也可以画散点 图. (2)求回归直线方程,注意运算的正确性. (3)根据回归直线进行预测估计:估计值不是实际值,两者会有一 定的误差. 2. 求回归直线方程, 首先应注意到, 只有在散点 图大致呈线性时, 求出的回归直线方程才有意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义.
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2.两个变量的线性相关 (1)散点图:将样本中 n 个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角 坐标系中得到的图形. (2)正相关与负相关
①正相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也 由小变大,这种相关称为正相关.
答案:C
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探究二
探究三
探究四
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(2)解:由测得的数据表可知:
10
10
10
������
=55,
������
=91.7,
���∑��� =1 ������ ���2���
=38500,
随堂练习
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(1)解析:回归直线方程���^��� = ���^��� + ���^���x,���^���=1.23,即���^��� = ���^���+1.23x,线性
回归直线一定经过样本点中心(4,5), 代入可得 5=���^���+1.23×4, 所以 ���^���=0.08,故回归直线方程为���^���=1.23x+0.08,故选 C.
若由资料可知 Y 对 x 呈线性相关关系.试求: (1)回归直线方程. (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少万元?
思路分析:根据回归系数的求解公式算出���^���与���^���,然后令方程中的
x 为 10 即可得所求的维修费用.
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通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地进行判断.
2.如果两个变量满足确定的函数关系,一般可将其表达式得出. 【典型例题 1】(1)下列两个变量之间的关系为相关关系的是 () A.角度和它的正弦值 B.圆的半径和圆的面积 C.正 n 边形的边数和内角之和 D.人的年龄和身高
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探究四
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(2)解:散点图如下:
由散点图知销售价格与房屋面积这两个变量是正相关的关系.
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画出数据对 应的散 点图, 并指 出销售价 格与房 屋面积 这两个变 量是正相关还是负相关.
(1)解析:角与它的正弦值是函数关系;圆的半径 r 与面积 S=πr2,
正 n 边形的边数与内角之和 h(n)=(n-2)·180°都是函数关系.而人的年
龄和身高则具有相关关系. 答案:D
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探究一
探究二
(6)写出回归直线方程.
2.有时题目中若给出样本的中心点(������, ������),则可直接套用点斜式
方程求解.
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【典型例题 2】(1)若回归直线方程的斜率的估计值是 1.23,样本
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探究二求回归直线方程
1.求回归直线方程的步骤
(1)计算平均数������, ������.
������
(2)计算 xi 与 yi 的积,求∑ xiyi.
������
������ =1
(3)计算���∑���=1���������2��� .
������
②负相关 :如果一个 变量的值由 小变大时, 另一个变 量的值由大 变小,这种相关称为负相关.
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()
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思考 2 判断下列图形中具有相关关系的两个变量是
答案:C
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零件个数 x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间 Y/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
如果 Y 与 x 具有线性相关关系,求回归直线方程.
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【典型例题 3】假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修 费用 Y(单位:万元)有如下的统计资料:
x2 3 4 5 6 Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
^ ^ ∑ ������������������������ -n ������������
(4)将结果代入公式������
=
������=1������
∑
������
���2��� -n
������2
,求������.
������=1
(5)用���^��� = ������ − ���^���������,求���^���.
两种关系之间的联系.两类关系在一定条件下可以相互转化,如 正方形面积 S 与其边长 x 之间虽然是确定性关系,但在每次测量面积 时,由于测量误差等原因,其数值大小表现为一种随机性.而对于具有 线性关系的两个变量来说,在求得其回归直线之后,又可以用一种确 定性的关系来对这两种变量间的关系进行估计.
在现实生活中,相关关系大量存在.从某种意义上说,函数关系是 一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究 相关关系,不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我 们对函数关系的认识上升到一个新的高度.
(i=1,2,…,n)
刻画了实际观察值 yi 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,
������
通常是用离差的平方和,即 Q=∑ (yi-a-bxi)2 作为总离差,并使之达到
������ =1
最小.这样,回归直线就是所有直线中 Q 取最小值的那一条,由于平方
又叫二乘方,所以这种使“离差平方和为最小”的方法,叫做最小二乘
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探究三Leabharlann 探究四(2)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数 据:
房屋面积/m2 61 70 115 110 80 135 105 销售价格/万元 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22
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探究三
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5
解:(1)由题意知������=4,������=5,���∑���=1���������2��� =90,
5
∑ xiyi=112.3,
������ =1
5
^
于是������
=
∑ ������������������������ -5������·������
号“^ ”的意义 际值 y;y ^ 表示观察值
系数a^的 计算公式
^
a
=
y
−
^
bx
a,b 上方加“^ ”表示 由观察值按最小二乘 法求得的估计值
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思考 3 回归直线方程求出的值一定是准确的吗? 提示:不是.回归直线方程求出的值是估计值,不是准确值.
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3.最小二乘法
设 x,Y 的 一组 观察 值为 (xi,yi),i=1,2,…,n, 且 回归 直线 方程 为
���^���=a+bx,当
x
取值
xi(i=1,2,…,n)时,Y
的观察值为
yi,差
^
yi-������������
学习脉络
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1.两个变量的关系
分类 函数关系 特征 两变量关系确定
相关关系 两变量关系带有随机性
思考 1 函数关系与相关关系有何区别和联系? 提示:函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,
知回归直线方程过定点(������, ������),这一点可以称之为中心点.
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探究二
探究三
探究四
探究一相关关系的判断
1. 判断两个变量是否相关, 一是根据实际经 验;二是利用散点图.
思考 4 结合直线的点斜式方程,你能推导出回归直线
方程���^���
=
���^���
+
^
������x
经过的定点吗?
提 示: 由���^���
=
������
−
���^���������得���^���
=
^
������x+������
−
^
������������
,
即���^���
−
������
=
^
������(x-������ ),由此可
也可能是伴随关系.例如有人发现,对于在校儿童,身高与阅读技能有
很强的相关关系.然而学会新词并不能使儿童马上长高,而是涉及第
三个因素——年龄,当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高,而且由
于长大身高也会高些.
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������=1
���^���≈91.7-0.668×55=54.96,
因此,所求回归直线方程为���^���=0.668x+54.96.
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探究三
探究四
探究三利用回归直线方程对总体进行估计
点的中心为(4,5),则回归直线的方程是( )
A. ���^���=1.23x+4 B. ���^���=1.23x+5
C.���^���=1.23x+0.08
D.���^���=0.08x+1
(2)一个车间为了规定工 时定额, 需要确定 加工零件所 花费的时
间,为此进行了 10 次试验,测得数据如下: